Termersetzungssysteme. Andrei Morozyuk
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- Rolf Thilo Meinhardt
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2 Verlauf 1 Grundlagen Terme
3 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen
4 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen
5 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen Oparationelle und Semantische Gleihheit
6 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen Oparationelle und Semantische Gleihheit 2
7 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen Oparationelle und Semantische Gleihheit 2 Regel
8 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen Oparationelle und Semantische Gleihheit 2 Regel Rewriterelation
9 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen Oparationelle und Semantische Gleihheit 2 Regel Rewriterelation Termination
10 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen Oparationelle und Semantische Gleihheit 2 Regel Rewriterelation Termination Konfluenz
11 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen Oparationelle und Semantische Gleihheit 2 Regel Rewriterelation Termination Konfluenz
12 Grundlagen:Definition Terme Sei F = n 0 F n eine Menge von Funktionssymbolen(Signatur) mit F n F m = und χ eine (abzählbare) Menge von Variablensymbolen so, dass χ F =. Die Menge aller Terme T (F, χ) wird induktiv definiert: χ T (F, χ) für alle n 0, f F n und für alle t 1...t n T (F, χ) gilt: f (t 1...t n ) T (F, χ) (n (arity) ist die Stelligkeit von f) Eigenschaften von T (F, χ) bzw. von F T (F, χ) ist die kleinste Menge die χ enthält und unter Anwendung von Funktionen aus F abgeschlossen ist
13 Grundlagen:Definition Terme Sei F = n 0 F n eine Menge von Funktionssymbolen(Signatur) mit F n F m = und χ eine (abzählbare) Menge von Variablensymbolen so, dass χ F =. Die Menge aller Terme T (F, χ) wird induktiv definiert: χ T (F, χ) für alle n 0, f F n und für alle t 1...t n T (F, χ) gilt: f (t 1...t n ) T (F, χ) (n (arity) ist die Stelligkeit von f) Eigenschaften von T (F, χ) bzw. von F T (F, χ) ist die kleinste Menge die χ enthält und unter Anwendung von Funktionen aus F abgeschlossen ist Sei Var(t) die Menge aller Variablen, die in Term t vorkommen, alle Terme t mit Var(t) = bezeichnet man als Grundterme
14 Grundlagen:Definition Terme Sei F = n 0 F n eine Menge von Funktionssymbolen(Signatur) mit F n F m = und χ eine (abzählbare) Menge von Variablensymbolen so, dass χ F =. Die Menge aller Terme T (F, χ) wird induktiv definiert: χ T (F, χ) für alle n 0, f F n und für alle t 1...t n T (F, χ) gilt: f (t 1...t n ) T (F, χ) (n (arity) ist die Stelligkeit von f) Eigenschaften von T (F, χ) bzw. von F T (F, χ) ist die kleinste Menge die χ enthält und unter Anwendung von Funktionen aus F abgeschlossen ist Sei Var(t) die Menge aller Variablen, die in Term t vorkommen, alle Terme t mit Var(t) = bezeichnet man als Grundterme Funktionssymbolen mit arity 0 werden Konstanten genannt
15 Grundlagen:Definition Terme Sei F = n 0 F n eine Menge von Funktionssymbolen(Signatur) mit F n F m = und χ eine (abzählbare) Menge von Variablensymbolen so, dass χ F =. Die Menge aller Terme T (F, χ) wird induktiv definiert: χ T (F, χ) für alle n 0, f F n und für alle t 1...t n T (F, χ) gilt: f (t 1...t n ) T (F, χ) (n (arity) ist die Stelligkeit von f) Eigenschaften von T (F, χ) bzw. von F T (F, χ) ist die kleinste Menge die χ enthält und unter Anwendung von Funktionen aus F abgeschlossen ist Sei Var(t) die Menge aller Variablen, die in Term t vorkommen, alle Terme t mit Var(t) = bezeichnet man als Grundterme Funktionssymbolen mit arity 0 werden Konstanten genannt Mit t p bezeichent man den Subterm von t an der p-ten Stelle, wobei p ist ein String über N(kann auch leer sein)
16 Grundlagen:Definition Terme Sei F = n 0 F n eine Menge von Funktionssymbolen(Signatur) mit F n F m = und χ eine (abzählbare) Menge von Variablensymbolen so, dass χ F =. Die Menge aller Terme T (F, χ) wird induktiv definiert: χ T (F, χ) für alle n 0, f F n und für alle t 1...t n T (F, χ) gilt: f (t 1...t n ) T (F, χ) (n (arity) ist die Stelligkeit von f) Eigenschaften von T (F, χ) bzw. von F T (F, χ) ist die kleinste Menge die χ enthält und unter Anwendung von Funktionen aus F abgeschlossen ist Sei Var(t) die Menge aller Variablen, die in Term t vorkommen, alle Terme t mit Var(t) = bezeichnet man als Grundterme Funktionssymbolen mit arity 0 werden Konstanten genannt Mit t p bezeichent man den Subterm von t an der p-ten Stelle, wobei p ist ein String über N(kann auch leer sein)
17 Grundlagen:Wie stellt man sich am besten Terme vor?
18 Grundlagen:Substituitonen Definition:Substituition Substituiton ist eine spezielle Abbildung σ:χ T (F, χ), die Variablen auf Terme abbildet,wobei x σ(x) nur für eine endliche Anzahl von Variablen gelten darf Schreibweise:{x 1 s 1,..., x n s n } Bemerkung zur Substituitonen σ:t (F, χ) T (F, χ) mit Eigenschaft: σ(f (t 1,..., t n )) = f (σ(t 1 ),..., σ(t n ))für alle Terme aus T und alle Substituitonen σ
19 Grundlagen:Substituitonen Definition:Substituition Substituiton ist eine spezielle Abbildung σ:χ T (F, χ), die Variablen auf Terme abbildet,wobei x σ(x) nur für eine endliche Anzahl von Variablen gelten darf Schreibweise:{x 1 s 1,..., x n s n } Bemerkung zur Substituitonen σ:t (F, χ) T (F, χ) mit Eigenschaft: σ(f (t 1,..., t n )) = f (σ(t 1 ),..., σ(t n ))für alle Terme aus T und alle Substituitonen σ Beispiel:Verkettung von Substituitionen σ 1 = {x 1 f (y, z), x 2 0}, σ 2 = {x y, z 0, x 1 1} σ 2 σ 1 = {x 1 f (y, 0), x 2 0, z 0, x y}
20 Grundlagen:Substituitonen Definition:Substituition Substituiton ist eine spezielle Abbildung σ:χ T (F, χ), die Variablen auf Terme abbildet,wobei x σ(x) nur für eine endliche Anzahl von Variablen gelten darf Schreibweise:{x 1 s 1,..., x n s n } Bemerkung zur Substituitonen σ:t (F, χ) T (F, χ) mit Eigenschaft: σ(f (t 1,..., t n )) = f (σ(t 1 ),..., σ(t n ))für alle Terme aus T und alle Substituitonen σ Beispiel:Verkettung von Substituitionen σ 1 = {x 1 f (y, z), x 2 0}, σ 2 = {x y, z 0, x 1 1} σ 2 σ 1 = {x 1 f (y, 0), x 2 0, z 0, x y}
21 Grundlagen:Gleichungen, Operationelle E-Gleichheit Definition:Menge von Gleichungen über T (F, χ) Eine Menge E von Gleichungen über T (F, χ) ist eine Teilmenge von {{s, t} : s, t T (F, χ)} Definition:Operationelle E-Gleichheit Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) zwei Terme s,t T (F, χ) bezeichnet man als operationell E-gleich, Schreibweise: s E t falls s = u[σ(l)] p t = u[σ(r)] p für eine Gleichung l = r in E und eine Substitution σ.
22 Grundlagen:Gleichungen, Operationelle E-Gleichheit Definition:Menge von Gleichungen über T (F, χ) Eine Menge E von Gleichungen über T (F, χ) ist eine Teilmenge von {{s, t} : s, t T (F, χ)} Definition:Operationelle E-Gleichheit Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) zwei Terme s,t T (F, χ) bezeichnet man als operationell E-gleich, Schreibweise: s E t falls s = u[σ(l)] p t = u[σ(r)] p für eine Gleichung l = r in E und eine Substitution σ. Beispiel zur operationellen E-Gleichheit E = {f (x, f (y, z)) = f (f (x, y), z), f (i(e), x) = x, f (x, x) = e} f (i(e), f (e, e)) = E f (f (i(e), e), e) = E f (e, e) = E e
23 Grundlagen:Gleichungen, Operationelle E-Gleichheit Definition:Menge von Gleichungen über T (F, χ) Eine Menge E von Gleichungen über T (F, χ) ist eine Teilmenge von {{s, t} : s, t T (F, χ)} Definition:Operationelle E-Gleichheit Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) zwei Terme s,t T (F, χ) bezeichnet man als operationell E-gleich, Schreibweise: s E t falls s = u[σ(l)] p t = u[σ(r)] p für eine Gleichung l = r in E und eine Substitution σ. Beispiel zur operationellen E-Gleichheit E = {f (x, f (y, z)) = f (f (x, y), z), f (i(e), x) = x, f (x, x) = e} f (i(e), f (e, e)) = E f (f (i(e), e), e) = E f (e, e) = E e
24 Semantische Gleichheit Definition: F-Algebra Sei F eine Menge von Funktionssymbole.Unter einer Algebra A versteht man eine Wertemenge(Universe) A und F A eine Menge von Abbildungen so, dass zu jedem f F mit arity n N eine Abbildung f A in F A : f A : A n A zugeordnet wird. Beispiel:F-Algebra T (F, χ) als Universe mit F ist eine F-Algebra
25 Semantische Gleichheit Definition: F-Algebra Sei F eine Menge von Funktionssymbole.Unter einer Algebra A versteht man eine Wertemenge(Universe) A und F A eine Menge von Abbildungen so, dass zu jedem f F mit arity n N eine Abbildung f A in F A : f A : A n A zugeordnet wird. Beispiel:F-Algebra T (F, χ) als Universe mit F ist eine F-Algebra
26 Grundlagen:Auswertung von Termen Figure: Beispiel der Wertzuweisung einem Term Beispiel:Auswertung von Termen Sei A eine F-Algebra, θ : χ A eine Auswertung von Variabelen in A:
27 Grundlagen:Semantische Gleichheit Definition:Gültigkeit einer Gleichung Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) und A eine F-Algebra eine Gleichung s=t in E heißt gültig in A falls die Auswertungen φ(s) und φ(t) für beliebige Wertenzuweisungen an Variablen in t und s in A identisch sind. Definition:Modell Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) und A eine F-Algebra, A ist ein Modell von E, falls jede Gleichung aus E in A gültig ist.
28 Grundlagen:Semantische Gleichheit Definition:Gültigkeit einer Gleichung Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) und A eine F-Algebra eine Gleichung s=t in E heißt gültig in A falls die Auswertungen φ(s) und φ(t) für beliebige Wertenzuweisungen an Variablen in t und s in A identisch sind. Definition:Modell Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) und A eine F-Algebra, A ist ein Modell von E, falls jede Gleichung aus E in A gültig ist. Definition:Semantische E-Gleichheit Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) und A eine F-Algebra zwei Terme s und t sind genau dann semantisch E-gleich,falls s=t in allen Modellen von E gültig ist.
29 Grundlagen:Semantische Gleichheit Definition:Gültigkeit einer Gleichung Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) und A eine F-Algebra eine Gleichung s=t in E heißt gültig in A falls die Auswertungen φ(s) und φ(t) für beliebige Wertenzuweisungen an Variablen in t und s in A identisch sind. Definition:Modell Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) und A eine F-Algebra, A ist ein Modell von E, falls jede Gleichung aus E in A gültig ist. Definition:Semantische E-Gleichheit Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) und A eine F-Algebra zwei Terme s und t sind genau dann semantisch E-gleich,falls s=t in allen Modellen von E gültig ist.
30 Grundlagen:Semantische Gleichheit:Satz von Birkhoff Satz von Birkhoff Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ), zwei Terme s,t aus T (F, χ) sind genau dann semantisch E-gleich, wenn sie operationell E-gleich sind. Semantische und Operationelle E-Gleichheiten stimmen überein
31 Grundlagen:Semantische Gleichheit:Satz von Birkhoff Satz von Birkhoff Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ), zwei Terme s,t aus T (F, χ) sind genau dann semantisch E-gleich, wenn sie operationell E-gleich sind. Semantische und Operationelle E-Gleichheiten stimmen überein
32 Motivation Wie kann man prüfen bzw. entscheiden ob zwei Terme bzgl. eines Reduktionssystems gleich sind?
33 :Regeln Definition:Regel Eine Regel ist eine Äquivalenz s=t (s,t aus T (F, χ)) wobei s keine Variable ist und Var(t) Var(s). Schreibweise: s t Definition:Reduktionssystem, Termersetzungssystem Eine Menge von Regeln R bezeichnet man als Termersetzungssystem
34 :Regeln Definition:Regel Eine Regel ist eine Äquivalenz s=t (s,t aus T (F, χ)) wobei s keine Variable ist und Var(t) Var(s). Schreibweise: s t Definition:Reduktionssystem, Termersetzungssystem Eine Menge von Regeln R bezeichnet man als Termersetzungssystem Beispiel:Termersetzungssystem R = {f (x, f (y, z)) f (f (x, y), z), f (i(e), x) x, f (x, x) e}
35 :Regeln Definition:Regel Eine Regel ist eine Äquivalenz s=t (s,t aus T (F, χ)) wobei s keine Variable ist und Var(t) Var(s). Schreibweise: s t Definition:Reduktionssystem, Termersetzungssystem Eine Menge von Regeln R bezeichnet man als Termersetzungssystem Beispiel:Termersetzungssystem R = {f (x, f (y, z)) f (f (x, y), z), f (i(e), x) x, f (x, x) e}
36 :Rewriterelation Definition:Rewriterelation bzgl. R Sei R ein Termersetzungssystem und s,t T (F, χ), Term s wird zum Term t bzgl. R überschrieben Schreibweise: s R t falls es s p = σ(l) und t=s[σ(r)] p für eine Regel l r in R, eine Position p in s und eine Substituition σ Bemerkungen - Rewriterelation ist abgeschlossen unter Substitutionen und kompatibel mit F-Operationen Allgemein:Sei eine beliebige Relation auf T (F, χ) 1. ist kompatibel mit F-Operationen:für alle t,s aus T (F, χ) t s impliziert: f (t 1,..., t i 1, t, t i+1,..., t n ) f (t 1,..., t i 1, s, t i+1,..., t n ) für alle n N {0},1 i n und für alle f aus F n 2. ist abgeschlossen unter Substituitonen:für alle s,t aus T (F, χ) mit t s impliziert: σ(t) σ(s) für alle Substitutionen σ
37 :Rewriterelation Definition:Rewriterelation bzgl. R Sei R ein Termersetzungssystem und s,t T (F, χ), Term s wird zum Term t bzgl. R überschrieben Schreibweise: s R t falls es s p = σ(l) und t=s[σ(r)] p für eine Regel l r in R, eine Position p in s und eine Substituition σ Bemerkungen - Rewriterelation ist abgeschlossen unter Substitutionen und kompatibel mit F-Operationen Allgemein:Sei eine beliebige Relation auf T (F, χ) 1. ist kompatibel mit F-Operationen:für alle t,s aus T (F, χ) t s impliziert: f (t 1,..., t i 1, t, t i+1,..., t n ) f (t 1,..., t i 1, s, t i+1,..., t n ) für alle n N {0},1 i n und für alle f aus F n 2. ist abgeschlossen unter Substituitonen:für alle s,t aus T (F, χ) mit t s impliziert: σ(t) σ(s) für alle Substitutionen σ
38 :Beispiel R = {f (x, f (y, z)) f (f (x, y), z), f (i(e), x) x, f (x, x) e} f (i(e), f (e, e)) R f (f (i(e), e), e) R f (e, e) R e
39 :Beispiel R = {f (x, f (y, z)) f (f (x, y), z), f (i(e), x) x, f (x, x) e} f (i(e), f (e, e)) R f (f (i(e), e), e) R f (e, e) R e Definition:Normalform Sei R ein Termersetzungssystem über T (F, χ) und t ein Term aus T (F, χ) die Normalform wird genau dann erreicht, wenn es keine Stelle p in t exestiert an der die Reduktion stattfinden kann.
40 :Beispiel R = {f (x, f (y, z)) f (f (x, y), z), f (i(e), x) x, f (x, x) e} f (i(e), f (e, e)) R f (f (i(e), e), e) R f (e, e) R e Definition:Normalform Sei R ein Termersetzungssystem über T (F, χ) und t ein Term aus T (F, χ) die Normalform wird genau dann erreicht, wenn es keine Stelle p in t exestiert an der die Reduktion stattfinden kann. Bemerkungen -Eine Normalform muss nicht immer existieren -es kann mehrere Normalformen von einem Term geben
41 :Beispiel R = {f (x, f (y, z)) f (f (x, y), z), f (i(e), x) x, f (x, x) e} f (i(e), f (e, e)) R f (f (i(e), e), e) R f (e, e) R e Definition:Normalform Sei R ein Termersetzungssystem über T (F, χ) und t ein Term aus T (F, χ) die Normalform wird genau dann erreicht, wenn es keine Stelle p in t exestiert an der die Reduktion stattfinden kann. Bemerkungen -Eine Normalform muss nicht immer existieren -es kann mehrere Normalformen von einem Term geben
42 :Konvergenz Definition:Konvergenz Ein Termersetzungssystem R heißt konvergent genau dann, wenn es konfluent und terminierend ist.
43 :Konvergenz Definition:Konvergenz Ein Termersetzungssystem R heißt konvergent genau dann, wenn es konfluent und terminierend ist. Definition:Termination Ein Termersetuzungsystem R über T (F, χ)heißt terminierend falls es keine unenliche Kette t 1 R t 2 R t 3..., t i T (F, χ)i 1.
44 :Konvergenz Definition:Konvergenz Ein Termersetzungssystem R heißt konvergent genau dann, wenn es konfluent und terminierend ist. Definition:Termination Ein Termersetuzungsystem R über T (F, χ)heißt terminierend falls es keine unenliche Kette t 1 R t 2 R t 3..., t i T (F, χ)i 1. Definiton: Konfluenz Sei R ein Termersetzungssystem über T (F, χ) heißt konfluent falls es für alle s,t,r T (F, χ) mit s R t,s R r dann ist r t.
45 :Konvergenz Definition:Konvergenz Ein Termersetzungssystem R heißt konvergent genau dann, wenn es konfluent und terminierend ist. Definition:Termination Ein Termersetuzungsystem R über T (F, χ)heißt terminierend falls es keine unenliche Kette t 1 R t 2 R t 3..., t i T (F, χ)i 1. Definiton: Konfluenz Sei R ein Termersetzungssystem über T (F, χ) heißt konfluent falls es für alle s,t,r T (F, χ) mit s R t,s R r dann ist r t. Bemerkungen Konvergenz bedeutet Existenz genau einer Normalform
46 :Konvergenz Definition:Konvergenz Ein Termersetzungssystem R heißt konvergent genau dann, wenn es konfluent und terminierend ist. Definition:Termination Ein Termersetuzungsystem R über T (F, χ)heißt terminierend falls es keine unenliche Kette t 1 R t 2 R t 3..., t i T (F, χ)i 1. Definiton: Konfluenz Sei R ein Termersetzungssystem über T (F, χ) heißt konfluent falls es für alle s,t,r T (F, χ) mit s R t,s R r dann ist r t. Bemerkungen Konvergenz bedeutet Existenz genau einer Normalform
47 Termersetzungsysteme:Church-Rosser- Eigenschaft,Konfluenz Definition:Church-Rosser-Eigenschaft Church-Rosser Eignschaft <=> x R y x y Satz Church-Rosser-Eigenschaft <=> Konfluenz.
48 Termersetzungsysteme:Church-Rosser- Eigenschaft,Konfluenz Definition:Church-Rosser-Eigenschaft Church-Rosser Eignschaft <=> x R y x y Satz Church-Rosser-Eigenschaft <=> Konfluenz. Falls R konvergent und endlich ist dann ist R entscheidbar.
49 Termersetzungsysteme:Church-Rosser- Eigenschaft,Konfluenz Definition:Church-Rosser-Eigenschaft Church-Rosser Eignschaft <=> x R y x y Satz Church-Rosser-Eigenschaft <=> Konfluenz. Falls R konvergent und endlich ist dann ist R entscheidbar.
50 :Termination Die Frage ob ein endliches Termersetzungssystem Terminiert ist unentscheidbar Satz:Spezialfall Sei R ein endliches right-ground Termersetzungssystem d.h. R = {l 1 r 1, l 2 r 2,..., l n r n } mit Var(r i ) = i {1...n} dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1.R terminiert nicht 2. Es exestiert eine Regel l i r i in R so, dass r i + R t[r i] p
51 :Termination Die Frage ob ein endliches Termersetzungssystem Terminiert ist unentscheidbar Satz:Spezialfall Sei R ein endliches right-ground Termersetzungssystem d.h. R = {l 1 r 1, l 2 r 2,..., l n r n } mit Var(r i ) = i {1...n} dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1.R terminiert nicht 2. Es exestiert eine Regel l i r i in R so, dass r i + R t[r i] p
52 Termersetzungsysteme:Termination:Spezialfall Bei einem right-ground Termersetzungssystem R ist Termination entscheidbar. Algorithmus zur Überprüfung der Terination eines right-ground Termersetzungssystems k = 1 1 Generiere alle Reduktionsfolgen der Länge k beginnend mit r i, 1...n
53 Termersetzungsysteme:Termination:Spezialfall Bei einem right-ground Termersetzungssystem R ist Termination entscheidbar. Algorithmus zur Überprüfung der Terination eines right-ground Termersetzungssystems k = 1 1 Generiere alle Reduktionsfolgen der Länge k beginnend mit r i, 1...n 2 Falls es keine Folgen generierbar sind, dann STOP, R terminiert sonst:
54 Termersetzungsysteme:Termination:Spezialfall Bei einem right-ground Termersetzungssystem R ist Termination entscheidbar. Algorithmus zur Überprüfung der Terination eines right-ground Termersetzungssystems k = 1 1 Generiere alle Reduktionsfolgen der Länge k beginnend mit r i, 1...n 2 Falls es keine Folgen generierbar sind, dann STOP, R terminiert sonst: 3 Falls es doch Folgen der Länge k exestieren,prüfe ob es eine Folge exestiert, die 2. (aus dem Satz:Speziallfall) erfüllt, falls JA dann STOP, R terminiert nicht sonst k := k + 1 gehe zu 1.
55 Termersetzungsysteme:Termination:Spezialfall Bei einem right-ground Termersetzungssystem R ist Termination entscheidbar. Algorithmus zur Überprüfung der Terination eines right-ground Termersetzungssystems k = 1 1 Generiere alle Reduktionsfolgen der Länge k beginnend mit r i, 1...n 2 Falls es keine Folgen generierbar sind, dann STOP, R terminiert sonst: 3 Falls es doch Folgen der Länge k exestieren,prüfe ob es eine Folge exestiert, die 2. (aus dem Satz:Speziallfall) erfüllt, falls JA dann STOP, R terminiert nicht sonst k := k + 1 gehe zu 1.
56 :Termination:Rewriteorder Definition:Rewriteorder Sei F eine Signatur und χ eine Variablenmenge(abzählbar unendlich) eine strenge Ordnungngsrelation > auf T (F, χ) heißt Rewriteorder genau dann wenn: 1. > ist kompatibel mit F-Operationen 2. > ist abgeschlossen unter Substitutionen Defintion:Reductionorder Ein Reductionorder ist ein wellfounded Rewriteorder d.h.: es exestiert keine unednliche Kette t 1 > t 2 > t 3 >...
57 :Termination:Rewriteorder Definition:Rewriteorder Sei F eine Signatur und χ eine Variablenmenge(abzählbar unendlich) eine strenge Ordnungngsrelation > auf T (F, χ) heißt Rewriteorder genau dann wenn: 1. > ist kompatibel mit F-Operationen 2. > ist abgeschlossen unter Substitutionen Defintion:Reductionorder Ein Reductionorder ist ein wellfounded Rewriteorder d.h.: es exestiert keine unednliche Kette t 1 > t 2 > t 3 >... Satz:Kriterium für Termination Ein Termersetzungssystem R terminiert genau dann, wenn es ein Reductionorder > exestiert, so dass l > r für alle Regeln l r in R gilt.
58 :Termination:Rewriteorder Definition:Rewriteorder Sei F eine Signatur und χ eine Variablenmenge(abzählbar unendlich) eine strenge Ordnungngsrelation > auf T (F, χ) heißt Rewriteorder genau dann wenn: 1. > ist kompatibel mit F-Operationen 2. > ist abgeschlossen unter Substitutionen Defintion:Reductionorder Ein Reductionorder ist ein wellfounded Rewriteorder d.h.: es exestiert keine unednliche Kette t 1 > t 2 > t 3 >... Satz:Kriterium für Termination Ein Termersetzungssystem R terminiert genau dann, wenn es ein Reductionorder > exestiert, so dass l > r für alle Regeln l r in R gilt.
59 :Termination:Reductionorder: Beispiel für ein Reductionorder für alle s,t T (F, χ): s>t <=> s > t und für alle x χ gilt s x t x
60 :Termination:Reductionorder: Beispiel für ein Reductionorder für alle s,t T (F, χ): s>t <=> s > t und für alle x χ gilt s x t x
61 :Konfluenz Das Problem festzustellen ob ein endliches Termersetzungssystem Konfluent ist, ist unentscheidbar
62 :Konfluenz Das Problem festzustellen ob ein endliches Termersetzungssystem Konfluent ist, ist unentscheidbar Definition:Lokale Konfluenz R heißt lokal konfluent <=> für alle x,y,z T (F, χ) x R y, x R z y z
63 :Konfluenz Das Problem festzustellen ob ein endliches Termersetzungssystem Konfluent ist, ist unentscheidbar Definition:Lokale Konfluenz R heißt lokal konfluent <=> für alle x,y,z T (F, χ) x R y, x R z y z
64 :Konfluenz Newman s Lemma Ein terminierendes Termersetzungssystem R ist konfluent <=> R ist lokal konfluent.
65 :Konfluenz Newman s Lemma Ein terminierendes Termersetzungssystem R ist konfluent <=> R ist lokal konfluent.
66 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen
67 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen
68 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen Impliziert: t 1 = s[σ 1 (r 1 )] p1 s[t]p1 s[(σ1 (l 1 ))[σ 2 (r 2 )] p ] p1 = s[σ 2 (r 2 )] p2 = = t 2
69 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen Impliziert: t 1 = s[σ 1 (r 1 )] p1 s[t]p1 s[(σ1 (l 1 ))[σ 2 (r 2 )] p ] p1 = s[σ 2 (r 2 )] p2 = = t 2
70 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Nichtkritischer Fall
71 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritischer Fall Kritischer Fall l 1 p / χ und σ 1 (l 1 p ) = σ 2 (l 2 )
72 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritischer Fall Kritischer Fall l 1 p / χ und σ 1 (l 1 p ) = σ 2 (l 2 ) Definition:Kritische Paare Seien l i r i i = 1, 2 zwei Regeln aus R mit Var(l 1, r 2 ) Var(l 2, r 2 ) =.Weiter sei p eine Position in l 1 so, dass l 1 p / χ und θ ein mgu(most general unifier) von l 1 p =? l 2 dann wird ein kritisches Paar definiert θ(r 1 ), (θ(l 1 ))[θ(r 2 )] p
73 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritischer Fall Kritischer Fall l 1 p / χ und σ 1 (l 1 p ) = σ 2 (l 2 ) Definition:Kritische Paare Seien l i r i i = 1, 2 zwei Regeln aus R mit Var(l 1, r 2 ) Var(l 2, r 2 ) =.Weiter sei p eine Position in l 1 so, dass l 1 p / χ und θ ein mgu(most general unifier) von l 1 p =? l 2 dann wird ein kritisches Paar definiert θ(r 1 ), (θ(l 1 ))[θ(r 2 )] p
74 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritische Paare Kritisches Paar 1 f(f(x,y),z) f(x,f(y,z)) 2 f (i(x 1 ), x 1 ) e
75 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritische Paare Kritisches Paar 1 f(f(x,y),z) f(x,f(y,z)) 2 f (i(x 1 ), x 1 ) e Kritisches Paar Lemma Falls s R t i i = 1, 2 dann ist entweder t 1 t 2 oder t i = s[u i ] p, i = 1, 2 mit u 1, u 2 oder u 2, u 1 ist eine Instanz eines kritischen Paares von R.
76 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritische Paare Kritisches Paar 1 f(f(x,y),z) f(x,f(y,z)) 2 f (i(x 1 ), x 1 ) e Kritisches Paar Lemma Falls s R t i i = 1, 2 dann ist entweder t 1 t 2 oder t i = s[u i ] p, i = 1, 2 mit u 1, u 2 oder u 2, u 1 ist eine Instanz eines kritischen Paares von R. Satz Ein Termersetzungssystem R ist lokal konfluent <=> jedes kritisches Paar von R ist vereinbar.
77 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritische Paare Kritisches Paar 1 f(f(x,y),z) f(x,f(y,z)) 2 f (i(x 1 ), x 1 ) e Kritisches Paar Lemma Falls s R t i i = 1, 2 dann ist entweder t 1 t 2 oder t i = s[u i ] p, i = 1, 2 mit u 1, u 2 oder u 2, u 1 ist eine Instanz eines kritischen Paares von R. Satz Ein Termersetzungssystem R ist lokal konfluent <=> jedes kritisches Paar von R ist vereinbar.
78 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritische Paare Satz Ein terminierendes Termersetzungssystem ist konfluent <=> jedes kritisches Paar ist vereinbar.
79 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritische Paare Satz Ein terminierendes Termersetzungssystem ist konfluent <=> jedes kritisches Paar ist vereinbar. Konfluenz eines endlichen, terminierenden Termersetzungssystems R ist entscheidbar
80 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritische Paare Satz Ein terminierendes Termersetzungssystem ist konfluent <=> jedes kritisches Paar ist vereinbar. Konfluenz eines endlichen, terminierenden Termersetzungssystems R ist entscheidbar Algorithmus zur Überprüfung von Konfluenz im Spezialfall 1 für jedes Paar l 1 r 1,l 2 r 2 aus R und für jede Position p in l 1 p / χ prüfe ob variablendisjunkte Varianten von l 1 p und l 2 unifizierbar sind 2 für jedes Kritisches Paar Prüfe ob ihre Normalformen syntaktisch gleich sind
81 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritische Paare Satz Ein terminierendes Termersetzungssystem ist konfluent <=> jedes kritisches Paar ist vereinbar. Konfluenz eines endlichen, terminierenden Termersetzungssystems R ist entscheidbar Algorithmus zur Überprüfung von Konfluenz im Spezialfall 1 für jedes Paar l 1 r 1,l 2 r 2 aus R und für jede Position p in l 1 p / χ prüfe ob variablendisjunkte Varianten von l 1 p und l 2 unifizierbar sind 2 für jedes Kritisches Paar Prüfe ob ihre Normalformen syntaktisch gleich sind
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