Prädikatenlogik. Einführende Beispiele Geschwister x y ( u v (Eltern(u, v, x) Eltern(u, v, y) Geschwister(x, y)))

Transkript

1 Prädikatenlogik Einführende Beispiele Geschwister x y ( u v (Eltern(u, v, x) Eltern(u, v, y) Geschwister(x, y))) symmetrische Relation x y (R(x, y) R(y, x)) Das Zeichen bezeichnen wir als Existenzquantor und das Zeichen als Allquantor.

2 Prädikatenlogik (2) Einführende Beispiele Das letzte Beispiel ist eine Formel, die die Terme f(z) und a enthält, wobei P ein Symbol für Relationen, f ein Funktionssymbol, a ein Symbol für eine Konstante und x, y und z Variable sind. x y P(x, y) z (P(z, z) P(z, f(z))) P(a, a)

3 Prädikatenlogische Formel Prädikatenlogischer Terme werden induktiv definiert: 1.Jede Variable ist ein Term. 2.Jedes Konstantensymbol ist eine Term. 3.Sind t 1,..., t n Terme und ist f ein n-stelliges Funktionssymbol, dann ist f(t 1,..., t n ) ein Term. 4.(Prädikatenlogische) Terme werden nur mit (1) bis (3) gebildet.

4 Prädikatenlogische Formel Prädikatenlogischer Formeln werden induktiv definiert: 1.Sind t 1,..., t n Terme und ist P ein Prädikatssymbol, dann ist P(t 1,..., t n ) eine Formel. Wir bezeichnen P(t 1,..., t n ) auch als Primformel. 2.Sind t 1 und t 2 Terme, dann ist t 1 = t 2 eine Formel. Die Formel t 1 = t 2 ist auch eine Primformel. 3.Ist α eine Formel, dann ist auch (α) eine Formel. 4.Sind α und β Formeln, dann sind (α β) und (α β) Formeln. 5.Sei x ein Variablensymbol und α eine Formel, dann sind x (α) und x (α) Formeln. 6.Formeln werden nur mit (1) bis (5) gebildet.

5 Bindung, Notation und binden stärker als alle aussagenlogischen Junktoren. x P(x) Q(x) (logisch) äquivalent zu ( x P(x)) Q(x) Vorerst vereinbaren wir: Prädikatssymbole P, Q, R,..., P 1, P 2,... Variablen x, y, z,..., x 1, x 2, x 3,... Funktionssymbole f, g, h,..., f 1, f 2,... 0-stellige Funktionssymbole (Konstantensymbole) a, b, c,..., a 1, a 2, a 3,... Formeln griechischen Buchstaben α, β, σ,...

6 Notation Prädikatssymbole P, Q, R,..., P 1, P 2,... Variable x, y, z,..., x 1, x 2, x 3,... Funktionssymbole f, g, h,..., f 1, f 2,... 0-stellige Funktionssymbole (Konstantensymbole) a, b, c,..., a 1, a 2, a 3,... Formeln griechischen Buchstaben α, β, σ,... Beispiele von Formeln sind: 1. x (P(x) Q(x)) y (S(y) z R(x, z)) 2. x (P(x) x Q(x)) mit den Primformeln P(x) und Q(x). 3. x P(f(x, y, a), z) y S(h(f(y))) mit Termen f(y), h(f(y)) und f(x, y, a). 4. x y z (R(x, z, y) R(x, f(f(z)), x)) 5. x (x = f(x) P(x, x)) mit den Termen x und f(x)

7 Wirkungsbereich In der Formel x α oder x α bindet der Quantor alle Vorkommen der Variable mit Namen x in der Formel α, außer den Vorkommen von x, die durch einen weiteren Quantor innerhalb von α gebunden sind. x ist die Variable des Quantors, und der Wirkungsbereich des Quantors ist die Formel α. Ein Vorkommen einer Variable x heißt frei, wenn es nicht im Wirkungsbereich eines Quantors für x liegt. Wir sagen auch, dass die Variable x frei vorkommt. Ein Vorkommen einer Variable x heißt gebunden, wenn es im Wirkungsbereich eines Quantors für x liegt.

8 Wirkungsbereich (2) Beispiel: 1. x (P(x) Q(x)) y (S(y) z R(x, z)) Der Wirkungsbereich des ersten Allquantors ist (P(x) Q(x)), der des Existenzquantors ist (S(y) z R(x, z)) und der des letzten Allquantors ist R(x, z). Bis auf das letzte Vorkommen von x sind alle Vorkommen von Variablen gebunden. 2. x (P(x) x Q(x)). Der Wirkungsbereich des Allquantors ist (P(x) x Q(x)) und der des Existenzquantors ist Q(x). Das Vorkommen von x in P(x) ist durch den Allquantor gebunden. Dagegen ist das Vorkommen von x in Q(x) nicht durch diesen Quantor, sondern durch den Existenzquantor gebunden. Enthält eine Formel keine freien Variablen, so bezeichnen wir diese Formel als eine geschlossene Formel.

9 Konsistente Umbenennung Eine Formel ist konsistent umbenannt, falls 1.es nicht zugleich eine freie Variable und eine gebundene Variable mit Namen x gibt; 2.die Variablen verschiedener Vorkommen von Quantoren verschiedene Variablennamen besitzen. Verfahren für die konsistente Umbenennung von Formeln an: a)solange ein Variablenname x sowohl frei als auch gebunden vorkommt,wähle einen neuen Variablennamen z und ersetze alle freien Vorkommen von x durch z. b)solange es zwei Quantoren mit einer Variable gleichen Namens gibt, wähle einen der Quantoren und einen neuen Variablennamen z. Ersetze im Wirkungsbereich des Quantors alle Vorkommen von x durch z, außer den Vorkommen von x, die durch einen weiteren Quantor in diesem Wirkungsbereich gebunden sind.

10 Konsistente Umbenennung (Beispiel) Beispiel: Gegeben sei: R(x) x (P(x) x (Q(x) x S(x))) x kommt frei in R(x) und gebunden in der zweiten Teilformel vor, wähle den neuen Namen z und ersetze gemäß (a): R(z) x (P(x) x (Q(x) x S(x))) Der erste und der zweite Allquantor binden x; wähle den ersten Allquantor; wähle y als neuen Namen; da alle Vorkommen von x in x (Q(x) x S(x))) im Wirkungsbereich des führenden Allquantors liegen, wird nur das Vorkommen von x in P(x) ersetzt. Ergebnis mit (b): R(z) y (P(y) x (Q(x) x S(x))) Der zweite und der dritte Quantor binden x; wähle den neuen Namen y 1 und ersetze x in Q(x). Ergebnis mit (b): R(z) y (P(y) y 1 (Q(y 1 ) x S(x)))

11 Semantik Signatur (Logik) Die Mengen der Konstantensymbole, der Funktionssymbole und der Prädikatssymbole einer Formel, denen wir durch eine Interpretation eine Bedeutung zuordnen, können wir zu einem Tripel zusammenfassen: = (K, F, R) mit K, die Menge der Konstantensymbole, F die Menge der Funktionssymbole und R die Prädikatssymbole. In der Logik wird das Tripel ebenfalls als Signatur bezeichnet. Die durch eine Formel α induzierte Signatur (α) besteht aus der Menge der in der Formel α vorkommenden Konstantensymbole, der Menge der vorkommenden Funktionssymbole und der Menge der auftretenden Prädikatssymbole.

12 Interpretation(1) Interpretation: Eine zu einer Signatur syntaktisch passende Interpretation besteht aus 1.einer beliebigen, aber nicht leeren Menge U, dem Grundbereich; 2.einer Abbildung, die den verschiedenen Symbolen aus konkrete Objekte über dem Grundbereich U wie folgt zuordnet: a)jeder Variablen x einen Wert x U U b)jedem Konstantensymbol a aus eine Konstante a 1 U c)jedem n-stelligen Funktionssymbol ƒ aus eine Funktion f 1 : U n U d)jedem n-stelligen Prädikatssymbol P aus eine Relation P 1 U n.

13 Interpretation(2) Modifizierte Interpretation Sei I eine gegebene Interpretation über dem Grundbereich U und ein Wert x U U. Dann bezeichnet eine Interpretation I[x/x U ], die mit I völlig übereinstimmt bis auf die Bindung eines Wertes an die Variable x, die unter I den Wert I(x), unter I[x/x U ] jedoch den Wert x U erhält. Es wird also x der Wert x U zugeordnet. Die restlichen Zuweisungen bleiben bestehen. Der Wahrheitswert wahr wird wieder durch das Zeichen w und der Wahrheitswert falsch durch das Zeichen f repräsentiert.

14 Interpretation(3) Definition: Interpretation für Formeln Wir erweitern die Interpretation auf prädikatenlogische Formeln, deren Variable konsistent umbenannt sind: Für jeden Term ƒ(t 1,..., t n ) legen wir fest I(ƒ(t 1,..., t n )) =I(ƒ)(I(t 1 ),..., I(t n )). Für Formeln gilt 1.I(P(t 1,...,t n )) = I(P)(I(t 1 ),...,I (t n )); 2.I(t 1 = t 2 ) = w genau dann, wenn I(t 1 ) = I( t 2 ); 3.I( α)=w genau dann, wenn I(α)=f; 4.I(α β)=w genau dann, wenn I(α)=w und I(β)=w; 5.I(α β)=w genau dann, wenn I(α)=w oder I(β)=w; 6.I( x α)=w genau dann, wenn es ein x U U gibt mit I[x/x U ](α)=w; 7.I( x α)=w genau dann, wenn für jedes x U U gilt I[x/x U ](α)=w.

15 Interpretation(Beispiel) Sei α = x y P(x, y) x y (x=y P(x, f(y)) ) P(a, a) Eine zu α syntaktisch passende Interpretation I ist dann U = {3, 4} der Grundbereich I(a) = a 1 = 3 I(f)=f 1 mit f 1 (3)=4 und f 1 (4)=3 I(P) = P 1, der Relation P 1 = {(3, 4), (4, 3)} Dann gilt: I( x y P((x, y)) = w. Für alle x U {3, 4} gilt: I [x/xu] ( y P(x, y)) = w. Für alle x U {3, 4} gibt es ein y U {3, 4} mit I [x/xu][y/yu] (P(x, y)) = w. Für alle x U {3, 4} gibt es ein y U {3, 4} mit (x U, y U ) P 1. Weiterhin gilt für die zweite Teilformel, wobei wir hier umgekehrt vorgehen: Für alle x U, y U {3, 4} gilt mit x U = y U auch (x U, f(y U )) P 1. Für alle x U, y U {3, 4} gilt I [x/xu][y/yu] ( x = y P(x, f(y)) ) = w. I( x y (x = y P(x, f(y)))) = w. Da auch noch (3, 3) P 1 gilt, sind alle drei Teilformeln für die Interpretation wahr. Insgesamt erfüllt die Interpretation I also die prädikatenlogische Formel α.

16 Interpretation: abzählbar Satz: (von Löwenheim/Skolem) Jede erfüllbare Formel der Prädikatenlogik erster Stufe besitzt eine erfüllende Interpretation mit einem abzählbaren Grundbereich. Wir brauchen also nur Interpretationen mit einem endlichen oder einem abzählbaren zu ΙΝ isomorphen Grundbereich zu betrachten.

17 Folgerung/ Äquivalenz Wie in der Aussagenlogik Definition: Semantische Folgerung Sei M eine Menge prädikatenlogischer Formeln und β eine prädikatenlogische Formel. β folgt semantisch aus M, in Zeichen M = β gilt genau dann, wenn für jede Interpretation I, für die alle Formeln in M erfüllt sind, auch β wahr ist. D.h. wenn I(α)=w für alle α M gilt, dann muss auch I(β)=w gelten. Enthält M nur eine Formel α, schreibt man auch kurz α = β. Definition: Logische Äquivalenz Die Formeln α und β heißen logisch äquivalent, in Zeichen α β, genau dann, wenn I(α )=I( β) für alle Interpretationen I gilt.

18 Umformungsregeln Umformungsregeln (Fortsetzung): Quantorwechsel Quantortausch Quantorenzusammenfassung Quantorelimination Quantifizierung ( x α) x ( α) und ( x α) x ( α) x y α y x α und x y α y x α x α x β x (α β) und x α x β x (α β) Sei x keine freie Variable in α, dann gilt: x α α und x α α Sei x keine freie Variable in β, dann gilt: x α β x (α β) x α β x (α β) x α β x (α β) x α β x (α β)

19 Umformungsregeln (Beispiele) Beispiel: Quantorenwechsel: y x P(x, y) y x P(x, y) y x P(x, y) Quantorenzusammenfassung: x y P(x, y) x R(x) x ( y P(x, y) R(x)) Quantorenelimination: x ist keine freie Variable in y P(y) x R(x) x ( y P(y) x R(x)) y P(y) x R(x) Quantifizierung: x ist keine freie Variable in y S(y). x P(x) y S(y) x (P(x) y S(y)) Konsistente Umbenennung: x (P(x) x S(x)) y (P(y) x S(x))

20 Erfüllbarkeitsäquivalenz Definition: Erfüllbarkeitsäquivalenz Zwei Formeln α und β sind erfüllbarkeitsäquivalent, in Zeichen α sat β, falls gilt: α ist erfüllbar genau dann, wenn β erfüllbar ist.

21 Negationsnormalform Definition: Negationsnormalform Eine Formel α ist in Negationsnormalform (NNF) genau dann, wenn jedes Negationszeichen direkt vor einer Primformel steht. Verfahren (Erweiterung auf Prädikatenlogik). 1.Ersetze (α β) durch α β 2.Ersetze (α β) durch α β 3.Ersetze α durch α 4.Ersetze ( x α) x α 5.Ersetze ( x α) x α Es gilt: Zu jeder prädikatenlogischen Formel α gibt es eine logisch äquivalente Formel in Negationsnormalform.

22 Transformation in NNF Beispiel : ( ( x P(x) y S(x, y)) z S(z, z) ) ( x P(x) y S(x, y)) z S(z, z) De Morgan ( x P(x) y S(x, y)) z S(z, z) Negation ( x P(x) y S(x, y)) z S(z, z) De Morgan ( x P(x) y S(x, y)) z S(z, z) Negation ( x P(x) y S(x, y)) z S(z, z) Quantoren

23 Pränexe Normalform (PNF) Definition: Pränexe Normalform Eine Formel α ist in pränexer Normalform, falls sie die Form Q 1 x 1...Q n x n β hat, wobei Q i {, } für 1 i n und β quantorenfrei ist. β wird als Kern der Formel bezeichnet. Die Quantorenfolge vor dem quantorenfreien Kern β wird als Präfix der Formel bezeichnet. Verfahren: Eingabe ist eine Formel in NNF 1.Führe eine konsistente Umbenennung durch, sodass verschiedene Quantoren sich auf verschiedene Variablen beziehen und keine Variable sowohl gebunden als auch frei vorkommt. 2.Wende folgende Ersetzungsregeln so lange wie möglich an: Ersetze ( xα) β durch x(α β) Ersetze ( xα) β durch x(α β) Ersetze ( xα) β durch x(α β) Ersetze ( xα) β durch x(α β)

24 Transformation in PNF Beispiel: x P(x) x (P(x) R(x)) x (Q(x) y R(y)) x 1 P(x 1 ) x 2 (P(x 2 ) R(x 2 )) x 3 (Q(x 3 ) y R(y)) x 1 P(x 1 ) x 2 (P(x 2 ) R(x 2 )) x 3 y(q(x 3 ) R(y)) x 1 x 2 x 3 y ( P(x 1 ) (P(x 2 ) R(x 2 )) Q(x 3 ) R(y)) Es gilt: Zu jeder prädikatenlogischen Formel α gibt es eine logisch äquivalente Formel in pränexer Normalform.

25 Skolem Normalform (SKNF) Definition: Skolem Normalform (SKNF) Eine Formel α ist in Skolem-Normalform, falls sie die Form x 1... x n β hat, wobei β quantorenfrei ist. Der Präfix von α enthält also keine Existenzquantoren.

26 Transformation in SKNF Verfahren zur Erzeugung einer Skolem-Normalform 1.Erstelle eine pränexe Normalform der Formel. 2.Die existenzquantifizierten Variablen werden eliminiert durch: Variable y von führenden Existenzquantoren werden durch neue Konstantensymbole a y ersetzt: [y/a y ] Jede existenzquantifizierte Variable y im Bindungsbereich der allquantifizierten Variablen x 1,..., x n wird durch einen Term f y (x 1,..., x n ) ersetzt mit einem neuen Funktionssymbol f y : [y/f y (x 1,..., x n )] Für verschiedene Variablen y sind auch die a y bzw. f y verschieden. Die Existenzquantoren werden eliminiert. Die Ergebnisformel ist erfüllbar genau dann, wenn die Ausgangsformel erfüllbar ist. Es gilt: Zu jeder prädikatenlogischen Formel α gibt es eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolem-Normalform (SKNF).

27 Transformation in SKNF (Beispiel) Beispiel: Transformation in SKNF α = x 1 x 2 x 3 y ( P(x 1 ) (P(x 2 ) S(g(y, x 1, x 2 ))) Q(x 3 ) R(y)) Ersetze x 1 durch ein neues Konstantensymbol a, streiche den Existenzquantor x 1 : α sat x 2 x 3 y ( P(a) (P(x 2 ) S(g(y, a, x 2 ))) Q(x 3 ) R(y)). Ersetze y durch ein neues Funktionssymbol f mit f(x2, x3), streiche den Existenzquantor y: α sat x 2 x 3 ( P(a) (P(x 2 ) S(g(f(x 2, x 3 ), a, x 2 ))) Q(x 3 ) R(f(x 2, x 3 )))

28 Modellbildung (1) 1. Anzahl der Elemente im Grundbereich a) Mindestens drei Elemente β 3 = x 1 x 2 x 3 ( x 1 =x 2 x 1 =x 3 x 2 =x 3 ). b) Mindestens n Elemente β n = x 1... x n ( x 1 =x 2... x 1 =x n x 2 =x 3... x n-1 =x n ) c) Maximal n Elemente γ n = x 1... x n y (y=x 1... y=x n ) d) Genau n Elemente: β n γ n

29 Modellbildung (2) Eigenschaften von Relationen: α 1 = x R(x, x) reflexiv α 2 = x R( x, x) irreflexiv α 3 = x y (R(x, y) R(y, x)) symmetrisch α 4 = x y z (R(x, y) R(y, z) R(x, z)) transitiv α 5 = x y (R(x, y) R(y, x) x=y) antisymmetrisch

30 Modellbildung (3) Zahleneigenschaften: α = x y (Kl(x, y) z (x+z = y z = 0)) β = x y (m(x, 0) = 0 m(x, y+1) = m(x, y)+x) σ = x (Prim(x) (Kl(1, x) y z (m(y, z) = x y = x z = x)) Ν sei der Grundbereich der Interpretationen, 0 und 1 die Zahlen und + sei als die übliche Addition interpretiert.

31 Modellbildung (4) Verwandschaft: Gegeben sei der folgende Text: Eva ist die Mutter von Paul und Maria. Egon ist der Vater von Vera. Hans ist der Vater von Maria und Paul. x und y sind die Eltern von z, falls x der Vater von z und y die Mutter von z ist. Es handelt sich um Geschwister, falls beide dieselben Eltern haben. Formalisierung: (a) Mutterbeziehung: Mutter(eva, paul) Mutter(eva, maria) (b) Vaterbeziehungen: Vater(hans, paul) Vater(hans, maria) Vater(egon, vera) 1.Axiomatisierung (d. h. Modellbildung) der Eltern: x y z ((Vater(x, z) Mutter(y, z)) Eltern(x, y, z)) 2.Axiomatisierung (d. h. Modellbildung) der Geschwister: x y( u v(eltern(u, v, x) Eltern(u, v, y)) Geschwister(x, y)) 3.α sei die Konjunktion der Teilformeln.