Einführung in die Prädikatenlogik

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1 Kapitel 2 Einführung in die Prädikatenlogik 2.1 Syntax und Semantik Prädikatenlogische Formeln sind im Gegensatz zu aussagenlogischen Formeln aufgebaut aus gewissermaßen parametrisierten Elementaraussagen. Auch diese können durch die logischen Operationen (Junktoren) verknüpft werden, zusätzlich können über Quantifizierungen Einschränkungen der Parameter vorgenommen werden. Zeichenvorrat: 1. Individuenvariablen: x, y, z,...,x 1, x 2, Individuenkonstanten: a, b, c,...,a 1, a 2, Funktionssymbole beliebiger Stelligkeiten: f, g, h,..., f 1, f 2, Prädikatssymbole beliebiger Stelligkeiten: P, Q, R,...,P 1, P 2, Junktoren:,, 6. Quantoren:, 7. Hilfszeichen: (, ),, (Komma) Die Stelligkeit von Prädikats- und Funktionssymbolen wird bisweilen in Form eines oberen Indexes gekennzeichnet; so bezeichnet f (n) ein n-stelliges Funktionssymbol. Wir gehen davon aus, daß die Stelligkeit einer Funktion oder eines Prädikats immer mindestens 1 ist, sie haben also immer mindestens ein Argument. Außerdem fordern wir, daß die Funktionen und Prädikate innerhalb eines Kontextes immer mit der gleichen Anzahl von Argumenten verwendet wird, also nicht mit wechselnder Anzahl z.b. als P(x) und P(u, v). Eine Auswahl von Individuenkonstanten, Funktionssymbolen mit festen Stelligkeiten, Prädikatssymbolen mit festen Stelligkeiten, die jeweils auch nur aus endlich vielen Elementen bestehen kann, wird als Signatur Σ bezeichnet. Man kann auf die Individuenkonstanten verzichten, wenn man 0-stellige Funktionszeichen zuläßt. (Eine 0-stellige Funktion hat keine Argumente, von denen der Funktionswert abhängen könnte; die Funktion ist daher konstant.) Läßt man 0-stellige Prädikatensymbole zu, so ist die Aussagenlogik unmittelbar eine Teilmenge der Prädikatenlogik. Will man ohne die 0-stelligen Prädikate die Aussagenlogik in die Prädikatenlogik einbetten, so kann man stattdessen für eine aussagenlogische Variable p eine Formel xp(x) verwenden. Mit Hilfe der Individuenvariablen, der Individuenkonstanten und der Funktionssymbole werden nun induktiv die Terme definiert, mit denen die Prädikate parametrisiert werden können. 1

2 Definition (Terme) Die Klasse der Terme wird induktiv definiert durch die folgenden vier Schritte. (1) Jede Individuenvariable ist ein Term. (2) Jede Individuenkonstante ist ein Term. (3) Sind t 1,...,t n Terme und f eine n-stellige Funktion, so ist auch f(t 1,...,t n ) ein Term. (4) Nur mit (1) (3) gebildete Ausdrücke sind Terme. Jeder Term besitzt eine eindeutige Zerlegung: Er ist entweder eine Variable, eine Konstante oder ein (mit Hilfe einer Funktion) zusammengesetzter Term. Man kann die Klasse der Terme auch einschränken durch eine gegebene Signatur und eine Menge von Variablen. T Σ (V ) bezeichnet die Klasse der Terme die mit Individuenkonstanten und Funktionssymbolen der Signatur Σ und Variablen aus der Variablenmenge V gebildet werden können. Aufbauend auf der Klasse der Terme wird ebenfalls induktiv die Klasse der prädikatenlogischen Formeln definiert. Definition (Prädikatenlogische Formeln) Die Klasse der prädikatenlogischen Formeln wird induktiv definiert durch die folgenden fünf Schritte. (1) Sind t 1,...,t n Terme und P eine n-stelliges Prädikatssymbol, so ist P(t 1,...,t n ) eine Formel. (2) Ist α eine Formel, so ist auch ( α) eine Formel. (3) Falls α und β Formeln sind, so sind auch (α β) und (α β) Formeln. (4) Falls α eine Formel ist und x eine Individuenvariable, so sind auch ( xα) und ( xα) Formeln. (5) Nur mit (1) (4) gebildete Ausdrücke sind Formeln. Auch prädikatenlogische Formeln werden häufig auch als (prädikatenlogische) Ausdrücke bezeichnet; die nach (1) der vorstehenden Definition gebildeten atomaren Formeln heißen auch Primformeln. Jede prädikatenlogische Formel besitzt eine eindeutige Zerlegung: Sie ist entweder ein Atom, eine Negation, eine Konjunktion, eine Disjunktion oder eine existenz- bzw. allquantifizierte Formel. Die Quantoren beziehen sich nur auf Individuenvariablen. Es können also nur Aussagen über Existenz von Objekten bzw. universelle Aussagen gemacht werden. Wir sprechen daher von der Prädikatenlogik erster Stufe. Im Gegensatz dazu verfügt die Prädikatenlogik zweiter Stufe auch über Funktions- und Prädikatsvariablen, über die quantifiziert werden darf. Man kann dort Aussagen über z.b. die Existenz einer injektiven Abbildung machen. Da wir hier nur erststufige Formeln betrachten, sprechen wir statt von der Prädikatenlogik erster Stufe nur von der Prädikatenlogik, da keine Mißverständnisse zu befürchten sind. Werden in einer Formel nur die Individuenkonstanten, Funktionssymbole und Prädikatensymbole einer vorgegebenen Signatur Σ verwendet, so sprechen wir von Formeln über Σ. Umgekehrt induzieren die in einer Formel vorkommenden Symbole eine Signatur. Analog zur Aussagenlogik führen wir die Implikation (α β) als eine Abkürzung für (( α) β) ein. Ebenfalls als Abkürzung verwenden wir wieder die Äquivalenz (α β) für ((α β) (β α)). 2

3 Zur Klammereinsparung ist es wieder sinnvoll, Bindungsregeln festzulegen. Bindungsregeln: 1.), und binden stärker als. 2.) bindet stärker als. 3.) Binäre Operatoren gleicher Stärke werden als links geklammert angesehen. Dabei ist zu beachten, daß in (4) der Definition der Formeln die Klammerung quantifizierter Formeln auch den Bindungsbereich der Variablen kennzeichnen. So ist es sinnvoll, in einer Formel xp(x) Q(x) trotz Bindungsregeln die Klammerung ( xp(x)) Q(x) beizubehalten, um Mißverständnissen vorzubeugen. Wie in der Aussagenlogik bezeichnen wir negierte und nicht-negierte Primformeln als Literale. Eine nicht-negierte Primformel P(t 1,...,t n ) heißt auch positives Literal und P(t 1,...,t n ) negatives Literal. Für die späteren Definitionen ist es sinnvoll, unterscheiden zu können, ob Variablen im Bindungsbereich eines Quantors in einer Formel vorkommen oder nicht. Wir führen daher die Begriffe gebundene und freie Variable ein. Definition (Gebundene / freie Variablen) Für Terme t und Formeln α der Prädikatenlogik definieren wir die Mengen vars(t) bzw. vars(α) der Variablen, freevars(α) der freien Variablen und boundvars(α) der gebundenen Variablen von t bzw. α induktiv durch: (1) Ist t eine Individuenvariable, t = x, so ist vars(t) = {x}. (2) Ist t eine Individuenkonstante, t = a, so ist vars(t) =. (3) Ist t = f(t 1,...,t n ) mit Termen t 1,...,t n so ist vars(t) = n i=1 vars(t i ). (4) Ist α = P(t 1,...,t n ) mit Termen t 1,...,t n, so ist vars(α) = freevars(α) = n i=1 vars (t i ) und boundvars(α) =. (5) Ist α = β mit einer Formel β, so ist vars(α) = vars(β), freevars(α) = freevars(β) und boundvars(α) = boundvars(β). (6) Falls α = β γ oder α = β γ mit Formeln β und γ, so ist vars(α) = vars(β) vars(γ), freevars(α) = freevars(β) freevars(γ) und boundvars(α) = boundvars(β) boundvars(γ). (7) Falls α = xβ oder α = xβ mit einer Formel β und einer Individuenvariablen x, so ist vars(α) = vars(β) {x}, freevars(α) = freevars(β) \ {x} und boundvars(α) = boundvars(β) {x}. Aufgrund der Schachtelung von Strukturen in den Termen können wir die Längendefinition über die Atomvorkommen in der Prädikatenlogik nicht verwenden. Als Längenmaß kann allerdings die Gesamtzahl aller Vorkommen von Variablen, Konstanten, Funktionen und Prädikaten verwendet werden. Eine Formel x y(p(f(x, x), y) Q(x)) hat danach die Länge 9. Auf eine formale Definition des Längenmaßes verzichten wir hier, wollen aber dennoch bemerken, daß Schachtelungen von Negationen und die Längen der Bezeichner bei diesem Längenmaß genau wie in der Aussagenlogik unberücksichtigt bleiben. 3

4 Definition (Interpretation) Eine Interpretation I ist ein nicht leerer Grundbereich ω zusammen mit einer Abbildung der Individuenvariablen, Individuenkonstanten, Funktionskonstanten und Prädikatskonstanten einer (durch eine Formel α induzierten) Signatur Σ und einer Variablenmenge V auf entsprechende Objekte (gleicher Stelligkeit) über dem Grundbereich ω: I : ω x x ω ω f (n) f ω : ω n ω.. a a ω ω P (n) P ω ω n. Die Abbildung der Variablen und Konstanten auf Elemente von ω läßt sich induktiv erweitern zu einer ebenfalls mit I bezeichneten Interpretation der Terme in T Σ (V ) durch Elemente von ω: I(f(t 1,...,t n ) = I(f)(I(t 1 ),..., I(t n )) Den Formeln können dann Wahrheitswerte zugewiesen werden durch eine auf der Interpretation der Terme basierende Funktion, die wieder mit I bezeichnet wird: (1) I(P(t 1,...,t n )) = 1 gdw. P ω (I(t 1 ),...,I(t n )) gilt. (2) I( α) = 1 gdw. I(α) = 0. (3) I(α β) = 1 gdw. I(α) = 1 und I(β) = 1. I(α β) = 1 gdw. I(α) = 1 oder I(β) = 1. (4) I( xα) = 1 gdw. für jedes x ω ω gilt I [x/xω](α) = 1 I( xα) = 1 gdw. es ein x ω ω gibt mit I [x/xω](α) = 1. Dabei bezeichnet I [x/xω] die Interpretation, die mit I völlig übereinstimmt bis auf die Zuweisung eines Wertes an die Variable x, die unter I den Wert I(x), unter I [x/xω] jedoch den Wert x ω erhält. Für eine Formel α müssen zwei Interpretationen, die auf den in α vorkommenden Symbolen gleich sind, auch den gleichen Wahrheitswert liefern. Wie in der Aussagenlogik kann man daher auch in der Prädikatenlogik ein Koinzidenzlemma zeigen. Lemma (Koinzidenzlemma) Seien I 1 und I 2 zwei Interpretationen für eine prädikatenlogische Formel α, Σ α die von α induzierte Signatur. Stimmen I 1 und I 2 auf Σ α und freevars(α) überein, so gilt I 1 (α) = I 2 (α) Die Anzahl der möglichen Interpretationen ist trotz dieses Koinzidenzlemmas nicht auf eine endliche Anzahl beschränkbar. Daher lassen sich Formeln der Prädikatenlogik nicht durch systematisches Testen der Interpretationen entscheiden. Beispiel: Sei α = x yp(x, y) z(p(z, z) P(z, f(z))) P(a, a). Dann ist durch I mit I : ω = {1, 2} a 1 f (1) f ω : ω ω f ω (1) = 2, f ω (2) = 1 P (2) P ω = {(1, 2), (2, 1)} Offensichtlich gilt für diese Interpretation: Für alle x ω {1, 2} gibt es ein y ω {1, 2} mit (x ω, y ω ) P ω. = Für alle x ω {1, 2} gibt es ein y ω {1, 2} I [x/xω][y/y ω](p(x, y)) = 1. = Für alle x ω {1, 2} gilt I [x/xω]( yp(x, y)) = 1. = I( x yp(x, y)) = 1. 4

5 Weiter gilt für I: Für alle z ω {1, 2} gilt mit (z ω, z ω ) P ω auch (z ω, f ω (z ω )) P ω. = Für alle z ω {1, 2} gilt I [z/zω](p(z, z) P(z, f(z))) = 1. = I( z(p(z, z) P(z, f(z)))) = 1 Da auch noch (1, 1) P ω gilt, folgt insgesamt I(α) = 1, diese Interpretation I erfüllt also die prädikatenlogische Formel α. Analog zur entsprechenden Definition in der Aussagenlogik können mit Hilfe der Interpretationen die Begriffe erfüllbar und widerspruchsvoll sowie der semantische Folgerungsbegriff definiert werden. Definition (erfüllbar, widerspruchsvoll, Tautologie) Eine prädikatenlogische Formel α heißt erfüllbar genau dann, wenn es eine Interpretation I mit I(α) = 1 gibt. α heißt falsifizierbar genau dann, wenn es eine Interpretation I mit I(α) = 0 gibt. α heißt widerspruchsvoll genau dann, wenn für alle Interpretationen I(α) = 0 gilt. α ist eine Tautologie genau dann, wenn für alle Interpretationen I(α) = 1 gilt. Statt α ist eine Tautologie verwendet man auch die Sprechweise α ist (allgemein )gültig. Offensichtlich besteht wieder der folgende Zusammenhang zwischen den Begriffen. Für eine prädikatenlogische Formel α gilt: α ist widerspruchsvoll α ist nicht erfüllbar α ist Tautologie α ist nicht falsifizierbar Definition (Semantischer Folgerungsbegriff) Seien α und β Formeln, dann folgt β (semantisch) aus α (α = β) genau dann, wenn für alle Bewertungen I gilt: I(α) = 1 = I(β) = 1 Eine Formel β folgt also semantisch aus einer Formel α, wenn β in jedem Kontext wahr ist, in dem auch α wahr ist. Wir erweitern den Folgerungsbegriff wieder durch α 1,...,α n = β bzw. F = β mit einer Formelmenge F, wenn β gilt unter der Voraussetzung, daß alle α 1,...,α n bzw. alle Formeln aus F gelten. Die Schreibweise = α ist damit äquivalent zu α ist Tautologie. Wie in der Aussagenlogik kann die Folgerung α = β überprüft werden, indem wir (α β) auf Widerspruch testen. Lemma Sei α eine prädikatenlogische Formel, dann gilt: a) α = β (α β) ist widerspruchsvoll. b) α ist widerspruchsvoll Für alle Formeln β gilt: α = β c) α ist widerspruchsvoll Es gibt eine Formel β mit : α = (β β) Für den Folgerungsbegriff in der Prädikatenlogik läßt sich auch ein Deduktionstheorem beweisen. Lemma (Deduktionstheorem für =) Seien α und β prädikatenlogische Formeln und M eine Menge solcher Formeln, dann gilt: M {α} = β = M = (α β) 5

6 Auch zwei prädikatenlogische Formeln α und β heißen (logisch) äquivalent, abgekürzt α β, genau dann, wenn für jede Bewertung I gilt: I(α) = I(β), d.h. wenn gilt = α β. Die Manipulation prädikatenlogischer Formeln durch die Ersetzung von Vorkommen von Teilformeln durch andere logisch äquivalente Formeln ist ebenfalls möglich. Das Resultat einer solchen Ersetzung ist logisch äquivalent zur Ausgangsformel. Diese Ersetzungen dürfen nicht verwechselt werden mit den später noch zu definierenden Ersetzungen von Variablen durch Terme. Dort sind Restriktionen aus den Bindungsbereichen der Quantoren zu beachten. Die aus der Aussagenlogik bekannten Vererbungsregeln und Umformungsgesetze gelten auch hier, sowie einige zusätzliche, die die Quantifikationen berücksichtigen. Vererbung α β = α β α β = γ α γ β und γ α γ β α β = xα xβ und xα xβ Negation α α Idempotenz α α α α α α Kommutativität α β β α α β β α Assoziativität (α β) σ α (β σ) (α β) σ α (β σ) Distributivität (α β) σ (α σ) (β σ) (α β) σ (α σ) (β σ) De Morgan (α β) α β (α β) α β Quantorwechsel ( xα) x( α) und ( xα) x( α) Quantortausch x yα y xα und x yα y xα Quantorzusammenfassung xα xβ x(α β) und xα xβ x(α β) Quantorelimination (x freevars(α)) xα α und xα α Quantifizierung (x freevars(β)) xα β x(α β) und xα β x(α β) xα β x(α β) und xα β x(α β) Umbenennung (x vars (α)) xα x α[x/x ] und xα x α[x/x ] α[x/x ] bezeichnet die Ersetzung aller Vorkommen von x durch x. Eine weitere Abschwächung des Äquivalenzbegriffes ist die sogenannte Erfüllbarkeitsäquivalenz. Sie verbindet zwei Formeln nur in Bezug auf ihre Erfüllbarkeit. Definition (Erfüllbarkeitsäquivalenz) Zwei Formeln α und β heißen erfüllbarkeitsäquivalent, abgekürzt α sat β, genau dann, wenn gilt: α ist erfüllbar β ist erfüllbar Also sind auch alle erfüllbaren prädikatenlogischen Formeln erfüllbarkeitsäquivalent und auch alle widerspruchsvollen prädikatenlogischen Formeln. 2.2 Normalformen Pränexe Normalform (PNF) Die im vorhergehenden Abschnitt genannten äquivalenzerhaltenden Umformungen erlauben unmittelbar die Transformation auch von prädikatenlogischen Formeln in die Negationsnormalform. Die Negationsnormalform (NNF) für prädikatenlogische Formeln erlaubt wie in der Aussagenlogik Negationszeichen nur direkt vor einer Primformel und keine zwei Negationszeichen direkt hintereinander. 6

7 Lemma Zu jeder prädikatenlogischen Formel α gibt es eine äquivalente Formel in Negationsnormalform (NNF). Durch die auch in der Negationsnormalform noch fast überall möglichen Quantoren ist die unmittelbare Anwendung von Distributivgesetzen für logisches Und und Oder meist nicht zulässig. Die Transformationsregeln für Quantoren erlauben aber die Bildung einer logisch äquivalenten pränexen Form, d.h. einer Formel, die zunächst ein Präfix aus Quantoren und dann einen quantorfreien Kern aufweist, Q 1 x 1...Q n x n α mit Q i {, } für 1 i n und boundvars(α) =. Wir nennen diese Formelgestalt pränexe Normalform (PNF). In der Literatur findet man häufig noch die zusätzliche Forderung, daß für eine pränexe Normalform der Kern in konjunktiver Normalform (KNF) vorliegen muß. Für eine Umformung in pränexe Normalform ist zu berücksichtigen, daß folgende Äquivalenzen nicht bestehen: xα xβ x(α β) xα xβ x(α β) Dies verifiziert man leicht durch α = P(x) und β = P(x) mit der Interpretation x ist gerade für P(x) über dem Grundbereich der ganzen Zahlen. Zusätzlich sind bei den Äquivalenzen aus dem letzten Abschnitt die Bedingungen x freevars(β) für das Vorziehen der Quantifizierung zu berücksichtigen. Ein Ausweg aus diesem Dilemma ist das Umbenennen der gebundenen Variablen durch neue Variablen, die bisher nicht in der Formel vorkommen. Vermeidet man dann noch Quantorzusammenfassungen, so gelangt man zu einer logisch äquivalenten pränexen Form. Die Transformationsregeln erlauben folgendes Vorgehen: 1. Benenne durch Verwendung von neuen Variablen alle quantifizierten Variablen so um, daß verschiedene Quantoren sich auf verschiedene Variablen beziehen und keine quantifizierte Variable auch frei vorkommt. 2. Führe die folgenden Ersetzungsregeln solange aus, wie sie anwendbar sind. a) Ersetze ( xα) β durch x(α β) b) Ersetze ( xα) β durch x(α β) c) Ersetze ( xα) β durch x(α β) d) Ersetze ( xα) β durch x(α β) e) Ersetze xα durch x α f) Ersetze xα durch x α 3. Führe die folgenden Ersetzungsregeln solange aus, wie sie anwendbar sind. g) Ersetze (α β) durch α β h) Ersetze (α β) durch α β 4. Führe die folgenden Ersetzungsregeln solange aus, wie sie anwendbar sind. i) Ersetze (α β) γ durch (α γ) (β γ) Offensichtlich lassen sich die Schritte e) und f) aus 2) sowie 3) zur Bildung der Negationsnormalform auch vorab ausführen. Hier wird allerdings durch 1) und 2) zunächst eine pränexe Form erstellt, die in 3) zu einer pränexen Negationsnormalform transformiert wird. Schritt 4) schließlich transformiert den quantorfreien Kern von der Negationsnormalform in die Konjunktive Normalform um. Lemma Zu jeder prädikatenlogischen Formel α gibt es eine äquivalente Formel in pränexer Normalform (PNF). 7

8 Beispiel: α = x(p(x) Q(x)) x( P(x) R(x)) x(q(x) yr(y)) x 1 (P(x 1 ) Q(x 1 )) x 2 ( P(x 2 ) R(x 2 )) x 3 (Q(x 3 ) yr(y)) x 1 (P(x 1 ) Q(x 1 )) x 2 (P(x 2 ) R(x 2 )) x 3 y(q(x 3 ) R(y)) x 1 x 2 x 3 y(( P(x 1 ) Q(x 1 )) (P(x 2 ) R(x 2 )) Q(x 3 ) R(y)) Skolem-Normalform Die in einer pränexen Normalform vorkommenden Existenzquantoren werden in jeder Interpretation so gedeutet, daß in Abhängigkeit von den Werten der im Präfix vorstehenden allquantifizierten Variablen ein Wert für die existenzquantifizierte Variable bestimmt werden muß, der die Formel erfüllt. Hierdurch wird auf dem Grundbereich der Interpretation eine Abbildung definiert, die den Werten der -Variablen den Wert der -Variablen zuordnet. Es ist daher naheliegend, anstelle der -Variablen eine neue Funktion einzusetzen mit den -Variablen als Argumenten. Diese Ersetzung nennt man Skolemisierung. Untersucht man die Erfüllbarkeit von Formeln, so haben freie Variablen und existenzquantifizierte Variablen, die nicht im Bindungsbereich einer allquantifizierten Variablen liegen, die gleiche Bedeutung. 1 Daher beschränken wir uns im folgenden auf geschlossene Formeln, d.h. auf Formeln ohne freie Variablen. Lemma In einer geschlossenen prädikatenlogischen Formel α mit paarweise verschiedenen quantifizierten Variablen sei y eine existenzquantifizierte Variable, die im Bindungsbereich der allquantifizierten Variablen x 1,...,x n liegt. Sei β die Formel, die sich durch Elimination des Quantors y und Ersetzung aller weiteren Vorkommen von y durch f(x 1,...,x n ) mit einer für α neuen Funktion f ergibt. Dann sind α und β erfüllbarkeitsäquivalent. Die Erweiterung erfüllender Interpretationen für α um eine Funktion für f in der zuvor beschriebenen Weise ergibt unmittelbar eine erfüllende Bewertung für β. Umgekehrt kann für y immer der Funktionswert für f(x 1,...,x n ) in einer erfüllenden Interpretation für β gewählt werden. Eine pränexe Normalform ohne Existenzquantoren nennen wir Skolem-Normalform (SKNF). Als unmittelbare Konsequenz erhalten wir das folgende Lemma. Lemma Zu jeder prädikatenlogischen Formel α gibt es eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolem-Normalform (SKNF). Beispiel: x 1 x 2 x 3 y(( P(x 1 ) Q(x 1 )) (P(x 2 ) R(x 2 )) Q(x 3 ) R(y)) SKNF x 2 x 3 (( P(a x1 ) Q(a x1 )) (P(x 2 ) R(x 2 )) Q(x 3 ) R(f y (x 2, x 3 ))) Die Skolem-Normalform ist die Basis für das weitere Arbeiten. Wenn der quantorfreie Kern der Skolem-Normalform in Konjunktiver Normalform vorliegt, lassen sich die Allquantoren, aus denen das Präfix ja nur noch besteht, auf die einzelnen Klauseln verteilen (Umkehrung der Regeln für Quantorzusammenfassung und für Quantifizierung). Mit Hilfe der Quantorelimination kann eine äquivalente Form erreicht werden, die aus einer Konjunktion geschlossener allquantifizierter Klauseln besteht ohne überflüssige Quantoren. Die so entstandene Form heißt Klauselnormalform. 1 Untersucht man die Frage, ob eine Formel Tautologie ist, so ist diese Aussage nicht richtig. Beispielsweise ist die Formel P(x) y P(y) nicht erfüllt, wenn eine Interpretation des Prädikates für ein Element des Grundbereichs zutrifft, für ein anderes jedoch nicht und die Interpretation letzteres der freien Variablen x zuweist. Die Formel xp(x) y P(y) xp(x) xp(x) ist offensichtlich tautologisch. 8

9 Lemma Zu jeder prädikatenlogischen Formel α in Skolem-Normalform gibt es eine äquivalente Formel in Klauselnormalform. Für das Verständnis der Prädikatenlogischen Resolution sind folgende Eigenschaften der Klauselnormalform wichtig: Klauseln, d.h. die allquantifizierten geschlossenen Disjunktionen können beliebig verdoppelt werden. Die quantifizierten Variablen können beliebig umbenannt werden. Beide Manipulationen führen zu logisch äquivalenten Formeln. Weitere Einschränkungen der Klauseln in der Klauselnormalform werden analog zur Aussagenlogik definiert, d.h. Unit-Klauseln bestehen aus nur einem Literal, Horn-Klauseln besitzen höchstens ein positives Literal, etc. Da alle Variablen einer Klauselnormalform jeweils pro Klausel allquantifiziert sind und die Kommutativität des logischen Oder sowie die Invarianz bzgl. Literalverdopplung auch hier gelten, hat sich für die Prädikatenlogik ebenfalls eine mengenorientierte Schreibweise der Klauselnormalform eingebürgert. So steht in der mengenorientierten Schreibweise für die Formel {{ P(a, f(x)), P(x, z)}, {P(a, f(b)), P(x, y), P(g(y), x)}} x z( P(a, f(x)) P(x, z)) x y(p(a, f(b)) P(x, y) P(g(y), x)) Zu beachten ist, das nur wirklich identische Literale als Mehrfachvorkommen gezählt werden können, nicht jedoch zwei Literale mit bis auf Variablen identische Struktur. So kann eine Klausel x z( P(x, z) P(x, z)) reduziert werden zu x z P(x, z); dies gilt jedoch nicht für die Klausel x z( P(x, z) P(z, x)). 2.3 Grenzen der Prädikatenlogik Bisher haben wir einzelne Formeln betrachtet und auf Erfüllbarkeit oder Widersprüchlichkeit geprüft. Endliche Mengen von Formeln können auch gleichzeitig überprüft werden, da man sie durch das logische Und verknüpfen kann. Anders ist die Situation jedoch bei unendlichen Mengen von Formeln. Solche unendlichen Mengen benötigt man beispielsweise, wenn man formalisieren will, daß jedes Prädikat für mindestens ein Argumentetupel wahr sein soll. 2 Die Erfüllbarkeit einer solchen Menge ist gegeben, wenn eine Interpretation existiert, die alle enthaltenen Formeln gleichzeitig erfüllt. Umgekehrt kann man sich fragen, ob auch die Widersprüchlichkeit einer unendlichen Formelmenge erst aus der Gesamtheit aller enthaltenen Formeln resultieren kann. Der nachfolgende Satz gibt darauf eine negative Antwort. Satz (Endlichkeitssatz) Sei M eine (unendliche) Menge von Formeln. Dann ist M widerspruchsvoll genau dann, wenn es eine endliche Teilmenge M von M gibt, so daß M widerspruchsvoll ist. Mit diesem Satz hat man ein Testverfahren für die Widersprüchlichkeit einer unendlichen Formelmenge M erhalten. Man testet systematisch alle endlichen Teilmengen der Formelmenge. Dazu zählt man die Formeln von M auf: (α n ) n IN. Nun konstruiert man eine Folge endlicher Teilmengen (M n ) n IN induktiv durch M 0 = und M n+1 = M n {α n }. Diese endlichen Teilmengen M n von 2 In der Prädikatenlogik erster Stufe ist es nicht zulässig über Prädikate zu quantifizieren. 9

10 M testet man nacheinander. Ist die Gesamtformelmenge widerspruchsvoll, so gibt es nach dem Endlichkeitssatz eine endliche Teilmenge von Formeln, die bereits widerspruchsvoll ist. Diese endliche Teilmenge ist aber irgendwann in einer Teilmenge M n unserer Folge enthalten. Leider ist dieses Verfahren nur dazu geeignet festzustellen, ob eine Formelmenge M widerspruchsvoll ist. Ist sie dagegen erfüllbar, so hält dieses Verfahren nicht. Die Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik erster Stufe, auf die wir hier nicht näher eingehen wollen, läßt leider auch kein besseres Verfahren zu. Die Erfüllbarkeit einer Formel der Prädikatenlogik erster Stufe ist definiert durch die Existenz einer erfüllenden Interpretation für diese Formel. Solch eine Interpretation zu finden, ist aufgrund der Flexibilität der Interpretationen nicht einfach; bereits die mathematischen Interpretationen einer Formel sind zu zahlreich, als daß man sie systematisch durchprobieren könnte. Wünschenswert wäre es daher, eine Menge von Standard-Interpretationen zu definieren, die natürlich eine erfüllende Bewertungen enthält, sofern es sie gibt, aber auch ein systematisches Testen zuläßt. Dazu legen wir zunächst den Grundbereich dieser Standard-Interpretationen fest. Definition (Herbrand-Universum) Sei α eine geschlossene Formel in Skolem-Normalform, d.h. α = x 1... x n β mit vars(β) = {x 1,...,x n } und β quantorfrei. Das Herbrand-Universum H(α) zu α wird induktiv definiert durch: 1. H(α) enthält alle Konstanten von α. Kommt in α keine Konstante vor, so sei die Konstante a in H(α). 2. Ist f eine in α vorkommende n-stellige Funktion und sind t 1,...,t n H(α), so gilt auch f(t 1,...,t n ) H(α). 3. H(α) enthält nur die nach 1. und 2. gebildeten Terme. Tritt in α eine Konstante auf, so enthält H(α) offensichtlich die Menge aller variablenfreien Terme, die aus Konstanten und Funktionen von α aufgebaut werden können. Beispiel: Zu der Formel α = xp(f(x)) Q(b) gehört das Herbrand-Universum H(α) = {b, f(b), f(f(b)), f(f(f(b))), f(f(f(f(b)))),...}. Das Herbrand-Universum eignet sich als Grundbereich einer Interpretation, da es nach Definition nicht leer ist. Da es sich aber um eine Menge von Termen handelt, ist das Verständnis von Funktionen über diesem Grundbereich nicht so einfach wie bei Funktionen über den natürlichen Zahlen. Wenn etwa die Formel α das 2-stellige Funktionssymbol f enthält, so kann man eine Funktion f H(α) definieren durch: f H(α) : H(α) H(α) H(α) f H(α) (t 1, t 2 ) := f(t 1, t 2 ) Die Argumente von f H(α) sind Terme. Als Funktionswert ordnen wir dem Argumentetupel (t 1, t 2 ) den Term zu, der durch Einsetzen dieser Terme an den Argumentpositionen des Funktionssymbols f entsteht. Den Wert f(t 1, t 2 ) muß man also als Zeichenkette sehen, die aus den Zeichenketten t 1 und t 2 auf festgelegte Art und Weise konstruiert wird. In der Funktion f H(α) ist diese Konstruktionsvorschrift festgelegt. Definition (Herbrand-Interpretation) Sei α eine geschlossene Formel in Skolem-Normalform und H(α) das zugehörige Herbrand-Universum. Eine Interpretation I mit Grundbereich H(α) heißt Herbrand-Interpretation, wenn für jedes Funktionssymbol f in α gilt I(f(t 1,...,t n )) = f(t 1,...,t n ). 10

11 In einer Herbrand-Interpretation wird also einem Funktionssymbol f in α die oben definierte Funktion f H(α) zugeordnet. Eine Herbrand-Interpretation weist dagegen keine Vorschriften für die Interpretation der Prädikate über dem Grundbereich H(α) auf. Daher gibt es nicht nur eine, sondern mehrere, im allgemeinen sogar unendlich viele verschiedene Herbrand-Interpretationen. Ein Theorem, auf dessen Beweis wir hier nicht eingehen wollen, besagt, daß die Herbrand-Interpretationen die Rolle der oben angesprochenen Standard-Interpretationen übernehmen können. Satz Sei α eine geschlossene Formel in Skolem-Normalform. Dann gilt: α erfüllbar α besitzt erfüllende Herbrand-Interpretation Korollar (Satz von Löwenheim/Skolem) Jede erfüllbare Formel der Prädikatenlogik erster Stufe besitzt eine erfüllende Interpretation mit abzählbarem Grundbereich. Der Satz von Löwenheim und Skolem erlaubt es uns, auf die Untersuchung von Modellen mit überabzählbarem Grundbereich z.b. die reellen Zahlen zu verzichten. Definition (Herbrand-Erweiterung) Sei α eine geschlossene Formel in Skolem-Normalform, d.h. α = x 1... x n β mit vars(β) = {x 1,...,x n } und β quantorfrei. Dann ist die Herbrand-Erweiterung von α definiert als E(α) = {β[x 1 /t 1,...,x n /t n ] t 1,...,t n H(α)} Die Ersetzung der Variablen im quantorfreien Kern β einer geschlossenen Skolem-Normalform α führt zu einer variablenfreien Formel, einer sogenannten Grundinstanz von α. Die Herbrand- Erweiterung von α ist die Menge aller Grundinstanzen von α und daher nicht endlich, wenn H(α) nicht endlich ist. Die Herbrand-Erweiterung von α hat aber einen wesentlichen Vorteil: da keine Variablen in E(α) enthalten sind, können wir alle Primformeln in E(α) als aussagenlogische Atome auffassen. Satz (Satz von Gödel/Herbrand/Skolem) Sei α eine geschlossene Formel in Skolem-Normalform. Dann ist α erfüllbar genau dann, wenn E(α) im aussagenlogischen Sinn erfüllbar ist. Mit dem Endlichkeitssatz folgt, daß alle endlichen Teilmengen von E(α) erfüllbar sein müssen, damit E(α) erfüllbar ist, oder umgekehrt, daß der Nachweis der Existenz einer endlichen widerspruchsvollen Teilmenge von E(α) zeigt, daß E(α) widerspruchsvoll ist. Das im Anschluß an den Endlichkeitssatz beschriebene Suchverfahren liefert uns damit die Möglichkeit, durch systematisches Testen aller endlichen Teilmengen von E(α) solch eine widerspruchsvolle Teilmenge zu entdecken, wobei für dem Erfüllbarkeitstest der endlichen Teilmengen beispielsweise Wahrheitstafeln oder die aussagenlogische Resolution zum Einsatz kommen können. Neben dem grundsätzlichen Problem, daß dieses Verfahren im allgemeinen nur bei widerspruchsvollen Ausgangsformeln zu einem Ergebnis führt, hat die Prädikatenlogik erster Stufe auch andere Schwachstellen. Dadurch, daß wir bisher keine Möglichkeit vorgesehen haben, in den Formeln die Identität zweier Objekte zu formulieren, gibt es zu jeder Formel, die über einem endlichen Bereich erfüllt werden kann, auch eine erfüllende Interpretation über einem unendlichen Bereich existiert. Wir nehmen daher für die Aussage des nächsten Satzes noch zusätzlich ein zweistelliges Prädikat = zu den Prädikatssymbolen hinzu, das wir aufgrund der leichteren Lesbarkeit in Infix-Notation verwenden: t 1 = t 2. Interpretationen müssen dieses Prädikat = so interpretieren, daß es die Gleichheit über dem Grundbereich der Interpretation ist. Bei einer Interpretation mit Grundbereich IN ist = also die übliche Gleichheit zwischen natürlichen Zahlen, die nur zutrifft, wenn es sich um die gleiche Zahl handelt. Für eine Herbrand-Interpretation I gilt I(t 1 = t 2 ) = 1 genau dann, wenn es sich bei t 1 und t 2 um dieselbe Zeichenkette handelt. 11

12 Durch die Gleichheit, die man üblicherweise sofort in die Definition der Formeln der Prädikatenlogik erster Stufe aufnimmt, hat man nun die Möglichkeit, bestimmte Anzahlen von Elementen in Grundbereichen erfüllender Interpretationen zu fordern. Zwar konnten wir bisher schon durch einstellige Prädikate ausdrücken, daß eine Mindestanzahl von Objekten existieren muß, beispielsweise setzt P(a) P(b) P(c) Q(b) Q(c) mindestens drei Elemente im Grundbereich einer erfüllenden Interpretation voraus, aber wir hatten keine Möglichkeit zur Angabe von oberen Schranken. Die Formel β n := x 1... x n x i x j 1 i<j n hat nur erfüllende Interpretationen mit Grundbereichen mit mehr als n Elementen. Die Formel γ n := x 1... x n y 1 i n y = x i hat nur erfüllende Interpretationen mit Grundbereichen mit höchstens n Elementen. Satz Die Endlichkeit ist nicht axiomatisierbar, d.h. es gibt keine Formelmenge M, die durch jede Interpretation mit einen endlichen Grundbereich erfüllt wird. Der Beweis des Satzes wird indirekt geführt. Man nimmt an, daß eine Formelmenge M mit der Eigenschaft des Satzes existiert. Diese Formelmenge kann man um die Formelmenge {β n n 2} erweitern. Die so entstandene Formelmenge M ist nach dem Endlichkeitssatz erfüllbar, wenn jede endliche Teilmenge M e erfüllbar ist. Jede endliche Teilmenge M e der Formelmenge enthält aber nur endlich viele β n. Der maximale Index der β n sei k. Also gilt M e M {β 2,...,β k } und letztere Menge wird erfüllt von jeder Interpretation mit einem Grundbereich von mindestens k Elementen. Da aber für {β n n 2} eine erfüllende Interpretation einen unendlichen Grundbereich haben muß, erhält man einen Widerspruch. 2.4 Substitution und Unifikation In der Aussagenlogik werden für die Resolution zwei Klauseln mit komplementären Literalen benötigt. Diese Klauseln werden als Implikationen gesehen wie durch einen Kettenschluß miteinander verschmolzen. In der Prädikatenlogik sind Literale aber nicht unbedingt sofort komplementär. Die Literale P(x) und P(g(y)) umfassen bei passender Einsetzung für die allquantifizierten Variablen x und y aber durchaus komplementäre Spezialfälle, etwa P(g(g(a))) und P(g(g(a))) mit einer Konstanten a. Die Grundlage für die Bildung dieser Spezialfälle ist die Ersetzung von Variablen durch Terme. Diese Ersetzung ist allerdings nicht so einfach zu handhaben wie die Ersetzung von Teilformeln durch logisch äquivalente andere Formeln, z.b. bei der Anwendung des Distributivgesetzes für das logische Und. Die Forderung nach logischer Äquivalenz verhindert dort, daß fehlerhafte Ergebnisse entstehen. Ersetzen wir aber in der Formel x yp(x, y) die Variable y durch den Term x, so erhalten wir mit x yp(x, x), also xp(x, x) eine Formel, die keine Folgerung der Ausgangsformel mehr ist, in diesem Sinne also kein Spezialfall der Ausgangsformel mehr ist. Problematisch ist bei diesen Ersetzungen, daß der eingesetzte Term Variablen enthalten kann, die ihrerseits durch andere Quantoren gebunden sind. 12

13 Definition (Substitution) Unter einer Substitution [x/t] verstehen wir die simultane Ersetzung aller Vorkommen der Variablen x durch einen Term t. Dieser Ersetzungsvorgang wird induktiv für Terme und Formeln definiert durch: (1) x[x/t] = t und für eine Individuenvariable y x ist y[x/t] = y. (2) Für eine Individuenkonstante a ist a[x/t] = a. (3) Für eine n-stellige Funktion f und Terme t 1,...,t n ist f(t 1,...,t n )[x/t] = f(t 1 [x/t],...,t n [x/t]). (4) Für ein n-stelliges Prädikat P und Terme t 1,...,t n ist P(t 1,...,t n )[x/t] = P(t 1 [x/t],...,t n [x/t]). (5) Ist α eine Formel und ist α[x/t] definiert, so ist ( α)[x/t] = α[x/t]. (6) Sind α und β Formeln und sind α[x/t] und β[x/t] definiert, so ist (α β)[x/t] = α[x/t] β[x/t] und (α β)[x/t] = α[x/t] β[x/t]. (7) Für eine Formel α und eine Variable y gilt: (a) Gilt x freevars(α), so ist ( yα)[x/t] = yα und ( yα)[x/t] = yα. (b) Gilt x freevars(α), y vars(t) und ist α[x/t] definiert, so ist ( yα)[x/t] = yα[x/t] und ( yα)[x/t] = yα[x/t]. Häufig fassen wir eine endliche Anzahl von Substitutionen zu einer zusammen und verwenden die Notation [x 1 /t 1,...,x n /t n ] für die Ausführung der Einzelsubstitutionen [x 1 /t 1 ],...,[x n /t n ] hintereinander in genau dieser Reihenfolge. Da die Reihenfolge wichtig sein kann, sprechen wir auch von einer Ersetzungsliste. Die Zusammenfassung einer endlichen Anzahl von Substitutionen [x 1 /t 1,...,x n /t n ] bezeichnen wir ebenfalls als Substitution. Für eine Formel α und eine Substitution σ ist ασ das Ergebnis der Substitution. Ist ασ variablenfrei, so bezeichnen wir σ als Grundsubstitution. Man muß beachten, daß die Substitution in manchen Fällen nicht definiert ist. Bei Formeln in Klauselnormalform, wie wir sie später bei der Resolution betrachten werden, tritt dieses Problem jedoch nicht auf. Die simultane Ersetzung aller Vorkommen von x erlaubt, daß in dem hierfür einzusetzenden Term t die Variable x wieder vorkommen darf. Stellt man sich die Substitution [x/t] aber als sukzessive Ersetzung der einzelnen Vorkommen von x vor, so terminiert das Ersetzungsverfahren nicht. P(x) wird bei [x/f(x)] zu P(f(f( ))) mit unendlich tiefer Schachtelung der Funktion f. Eine Ersetzungsliste läßt sich ohne weiteres in eine Form bringen, so daß die Einzelersetzungen unabhängig voneinander sind und damit in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden können. Eine Substitution dieser Art für [x 1 /t 1,...,x n /t n ] ist beispielsweise [x 1 /(t 1 [x 2 /t 2,...,x n /t n ]), x 2 /(t 2 [x 3 /t 3,...,x n /t n ]),...,x n /t n ] Allerdings kann die Größe der Terme, die jetzt in der Substitution darzustellen sind, exponentiell sein im Vergleich zur Länge der Terme in der Ersetzungsliste. Wir werden nachfolgend immer nur Ersetzungslisten zur Darstellung von Substitutionen verwenden. Lemma Seien x eine freie Variable der prädikatenlogischen Formel α und seien weiter x 1,...,x n die Variablen des Terms t. Wenn die Variablen x 1,...,x n in α nicht frei vorkommen, dann gilt für die Substitution [x/t]: xα = x 1... x n α[x/t] 13

14 Dieses Ergebnis überträgt sich natürlich sofort auf Ersetzungslisten von mehreren Einzelsubstitutionen. Korollar Sei α eine quantorfreie prädikatenlogische Formel mit Variablen x 1,...x n sowie σ eine Substitution. eien y 1,...,y m die Variablen in σ(α), dann gilt: x 1... x n α = y 1... y n σ(α) Da eine Substitution für eine Klausel als Bildung eines Spezialfalles dieser Klausel aufgefaßt werden kann, zeigt das Korollar, daß jede spezialisierte Klausel eine Folgerung der ursprünglichen Klausel ist. Definition (Unifikator) Seien α 1 und α 2 prädikatenlogische Formeln. Eine Substitution [x 1 /t 1,...,x n /t n ] heißt Unifikator von α 1 und α 2, falls gilt α 1 [x 1 /t 1,...,x n /t n ] = α 2 [x 1 /t 1,...,x n /t n ]. α 1 und α 2 heißen dann unifizierbar. Der Begriff des Unifikators kann genauso auch für beliebige Formelmengen und nicht nur für zwei Formeln definiert werden. Für die Literale P(a, x) und P(x, y ) ist [x /a, x/b, y /b] ein Unifikator. Für die Formulierung einer Resolutionsregel für die Prädikatenlogik können wir nun davon ausgehen, daß eine Formel in Klauselnormalform vorliegt. Die Formel enthalte zwei Klauseln, die keine gemeinsame Variable haben und von denen die eine ein positives Literal und die andere ein negatives Literal über dem gleichen Prädikat P enthält. Indem wir nun geeignete Spezialisierungen der Klauseln betrachten, können wir auch hier von komplementären, sonst aber gleichen Literalen ausgehen. Allerdings sollten die Klauseln nicht überspezialisiert werden, um nachfolgend noch ein hohes Maß an weiteren Spezialisierungen in den nächsten Resolutionsschritten vornehmen zu können. Definition (Allgemeinster Unifikator) Ein Unifikator σ der prädikatenlogischen Formeln α 1 und α 2 heißt allgemeinster Unifikator (most general unifier, mgu) von α 1 und α 2, wenn es zu jedem anderen Unifikator τ von α 1 und α 2 eine Substitution τ existiert, so daß gilt σ τ = τ. σ τ bezeichnet die Hintereinanderausführung der beiden Substitutionen σ und τ (erst σ anwenden, dann τ ). Sind beide durch Ersetzungslisten gegeben, etwa σ = [y 1 /s 1,...,y m /s m ] und τ = [x 1 /t 1,...,x n /t n ], dann ist σ τ = [y 1 /s 1,...,y m /s m, x 1 /t 1,...,x n /t n ]. Ein allgemeinster Unifikator umfaßt also nur die Substitutionen, die unbedingt nötig sind, zwei Formeln zu unifizieren. Jeder andere Unifikator läßt sich aus dem allgemeinsten Unifikator gewinnen, indem noch zusätzliche Substitutionen durchgeführt werden. Für die Literale P(a, x) und P(x, y ) ist [x /a, y /x] ein allgemeinster Unifikator. Nach Korollar gilt für beliebige Substitutionen σ und τ: σ(α) = τ(σ(α)) Damit ist ein allgemeinster Unifikator die beste Wahl, die man unter den Unifikatoren treffen kann. Zur Bestimmung des allgemeinsten Unifikators zweier Primformeln verwendet man häufig den Unifikationsalgorithmus nach Robinson. Zum Verständnis des Verfahrens ist die Identifikation der ersten Stelle wichtig, an der sich zwei Primformeln unterscheiden. Sind P(t 1,...,t n ) und P(t 1,...,t n) zwei verschiedene Primformeln, so wird das erste Paar korrespondierender verschiedener Terme (s, s ) von P(t 1,...,t n ) und P(t 1,...,t n) dadurch bestimmt, daß man in der Argumentliste von P von links nach rechts das erste Termpaar sucht, das in beiden Primformeln verschieden ist. Dabei werden auch die Argumentlisten der vorkommenden Funktionen in gleicher Weise von links nach rechts durchsucht. 14

15 Für die Literale P(a, x) und P(x, y ) ist das erste korrespondierende Termpaar (a, x ), für die Literale P(a, x) und P(a, b) ist dies (x, b), für die Literale P(a, f(x, b)) und P(a, f(b, x)) ist dies (x, b), und für die Literale P(a, f(g(x), y)) und P(a, f(h(z), u)) ist dies (g(x), h(z)). Für das erste Paar korrespondierender verschiedener Terme (s, s ) bestehen also nur zwei Möglichkeiten: a) ein Term ist eine Variable: Falls s eine Variable ist und in s vorkommt oder falls umgekehrt s eine Variable ist und in s vorkommt, sind die Terme nicht unifizierbar und damit auch die Literale nicht. Ansonsten kann die Variable durch den anderen Term ersetzt werden, so daß dieses Termpaar (s, s ) durch die Substitution unifiziert wird. Das nächste Paar korrespondierender verschiedener Terme ist in den sich ergebenden Literalen weiter rechts zu suchen. b) kein Term ist eine Variable: Da die Terme s und s verschieden sind, handelt es sich entweder um verschiedene Konstanten, eine Konstante und einen zusammengesetzten Term oder zwei zusammengesetzte Terme mit verschiedenen Funktionszeichen. In allen drei Fällen kann keine Substitution dieses Termpaar unifizieren. Seien P(t 1,...,t n ) und P(t 1,...,t n) zwei Primfor- Unifikationsverfahren nach Robinson: meln. 1. Setze σ = id 3 und α 1 = P(t 1,...,t n ), sowie α 2 = P(t 1,...,t n). 2. Falls α 1 und α 2 zeichenweise gleich sind, ist σ der allgemeinste Unifikator. 3. Bestimme in α 1 und α 2 das erste Paar korrespondierender, verschiedener Terme (s, s ). (a) Falls s eine Variable ist und s nicht in s vorkommt, setze σ = σ [s/s ] und α 1 := α 1 [s/s ], sowie α 2 := α 2 [s/s ]. Gehe zu 2. (b) Falls s eine Variable ist und s nicht in s vorkommt, setze σ = σ [s /s] und α 1 := α 1 [s /s], sowie α 2 := α 2 [s /s]. Gehe zu 2. (c) Sonst: Die Ausgangsformeln sind nicht unifizierbar. Im Algorithmus ist zu beachten, daß die bisher gewonnene Substitution jedesmal angewendet wird, bevor das nächste Paar erster minimaler verschiedener Subterme bestimmt wird. Die neue Einzelsubstitution [s/s ] bzw. [s /s] unifiziert die Teilterme (s, s ), so daß im nächsten Durchlauf das erste Paar verschiedener Terme nur weiter rechts in der Argumentliste gefunden werden kann. Mit diesem Algorithmus können auch allgemeinste Unifikatoren für größere Mengen von Primformeln α 1,...,α n bestimmt werden, indem zunächst für zwei Primformeln α 1 und α 2 der allgemeinste Unifikator σ 1 bestimmt wird, dann der allgemeinste Unifikator σ 2 für α 1 σ 1 und α 3, dann der allgemeinste Unifikator σ 3 für α 1 σ 1 σ 2 und α 4, usw. Der gesuchte allgemeinste Unifikator ist schließlich σ 1 σ 2... σ n Prädikatenlogische Resolution Damit die nachfolgend beschriebene Resolution korrekt bleibt, beschränkten wir uns von nun an auf geschlossene Formeln in Klauselnormalform, in denen das Gleichheitsprädikat = nicht vorkommt. Eine Erweiterung der Resolution um die Paramodulation erlaubt auch die korrekte Behandlung des Gleichheitsprädikats. 3 id bezeichne die identische Abbildung, also eine leere Folge von einzelnen Substitutionen. 15

16 In der Aussagenlogik wird die Resolutionsregel benutzt, um neue Klauseln herzuleiten, die Folgerungen der ursprünglichen Formel sind und daher der Formel hinzugefügt werden können. Kann auf diesem Wege die leere Klausel hergeleitet werden, so liegt eine widerspruchsvolle Folgerung vor. Daraus kann man schließen, daß dann bereits die Ausgangsformel widerspruchsvoll gewesen sein muß. {A, B}, { A, B} RES {B} Die Mengenschreibweise für Klauseln bewirkt, daß doppelte Vorkommen von Literalen in Elternklauseln und Resolvente unberücksichtigt bleiben können, obwohl sich eigentlich eine Anwendung der Idempotenzregel α α α dahinter verbirgt. In der Prädikatenlogik benötigen wir eine stärkere Regel, um Literale zusammenziehen zu können. Betrachten wir beispielsweise die Klausel x y(p(x, y) P(y, x)) Als Spezialfall dieser Aussage erhalten wir die Klausel xp(x, x). Wenn also zwei Literale einer Klausel α mit einer Substitution σ unifiziert werden können, dann enthält σ(α) zwei gleiche Literale, die mit Hilfe der Idempotenzregel zu einem Literal zusammengezogen werden können. Für das Beispiel bedeutet dies mit σ = [y/x]: x y(p(x, y) P(y, x)) = x(p(x, x) P(x, x)) = xp(x, x) Um auf diesem Weg eine möglichst allgemeine Folgerung der Ausgangsklausel zu bekommen, verwendet man als Unifikator natürlich einen allgemeinsten Unifikator. Die beiden Schritte werden in der sogenannten Faktorisierungsregel zusammengefaßt. Binäre Faktorisierungsregel: {L 1,...,L k, L, L } {L 1 σ,...,l k σ, Lσ} (Fak) mit σ allgemeinster Unifikator von L und L. Die Benennung binäre Faktorisierungsregel rührt daher, daß genau zwei Literale aus der Elternklausel der Faktorisierung zusammengezogen werden. Die so gewonnene neue Klausel heißt Faktor der Ausgangsklausel. Wie in der Aussagenlogik können wir eine Resolutionsregel anwenden, um aus zwei Klauseln eine neue Klausel zu generieren, die ebenfalls Folgerung der ursprünglichen Formel ist. α = x z( P(a, x) P(x, z)) x y(p(a, b) P(x, y) P(y, x)) Dazu erzeugen wir zunächst für zwei Klauseln mit komplementären Vorkommen eines Prädikates P zwei variablenfremde Kopien mit den Idempotenz- und Umbenennungsregeln. α α x y( P(a, x) P(x, y)) u v(p(a, b) P(u, v) P(v, u)) Die beiden variablenfremden Klauseln können wir unter einem gemeinsamen Präfix zusammenfassen durch die Quantifizierungsregeln. α α x y u v(( P(a, x) P(x, y)) (P(a, b) P(u, v) P(v, u))) Anschließend versuchen wir, ein positives Literal über P aus der einen Klausel und ein negatives Literal über P aus der anderen Klausel zu unifizieren. P(a, x), P(u, v) unifizieren = σ = [u/a, v/x] allgemeinster Unifikator Falls ein allgemeinster Unifikator σ existiert, bilden wir die beiden entsprechend spezialisierten Klauseln. α α x y(( P(a, x) P(x, y)) (P(a, b) P(a, x) P(x, a))) 16

17 Die Anwendung der Resolutionsregel auf die spezialisierten Klauseln entspricht dann einem Kettenschluß. α α x y((p(a, x) P(x, y)) (( (P(a, b) P(x, a)) P(a, x))) Die Resolvente ist insgesamt eine Folgerung der Ausgangsformel. α α x y( P(x, y) P(a, b) P(x, a)) Auch diese Schritte werden zu einer einzigen Regel, der sogenannten Resolutionsregel, zusammengefaßt, die zwei Klauseln einer Formel über ein Literalpaar resolviert. Binäre Resolutionsregel: {L 1,...,L k, L} {K 1,...,K r, L } (Res) {L 1 σ,...,l k σ, K 1 σ,...,k r σ} mit σ allgemeinster Unifikator von L und L. Auch hier soll die Benennung binäre Resolutionsregel andeuten, daß genau zwei Literale durch die Anwendung der Regel entfernt werden. Wie bereits am Anfang dieses Abschnitts gesagt, gehen wir davon aus, daß die Ausgangsformeln in Klauselnormalform vorliegen. Da dann alle vorkommenden Variablen allquantifiziert sind und sich der Bindungsbereich der Quantoren immer nur auf die Klausel beschränkt ist, lassen wir zur Vereinfachung der Schreibweise die Quantoren weg und stellen die Klauseln in Mengenschreibweise dar. Diese Kurzschreibweise ist bei der Angabe der Faktorisierungs- und der Resolutionsregel bereits verwendet worden. Meist werden Faktorisierungs- und Resolutionsschritte kombiniert, um Klauseln herzuleiten. Im folgenden Beispiel notieren wir die jeweiligen allgemeinsten Unifikatoren an den Anwendungen der Faktorisierungs- und der Resolutionsregel: { P(a, x), P(x, z)} { P(a, a)} [x/a, z/a] {P(a, b)} {P(a, b), P(x, y), P(y, x)} {P(a, b), P(x, x)} [y/x] [x/a] Wie in der Aussagenlogik ergeben sich hier also Herleitungsbäume. An Verzweigungsstellen sind Resolutionsschritte vorgenommen worden, alle anderen Schritte sind Faktorisierungsschritte. In der Aussagenlogik konnte eine Klausel nur dann mit sich selbst resolviert werden, wenn sie eine tautologische Klausel war, denn sie mußte sowohl ein positives Literal als auch ein negatives Literal über einem Atom A enthalten. Im Gegensatz dazu sind in der Prädikatenlogik auch sinnvolle Resolventen aus einer Klausel möglich: { P(x), P(f(x)))} { P(x), P(f(f(x))))} { P(y), P(f(y)))} [y/f(x)] Ein wichtiger Schritt war hier allerdings die Umbennennung der Variablen x zu y in der Kopie der Klausel. Um die Faktorisierungs- und die Resolutionsregel leichter anwendbar zu machen, geben wir entsprechende Verfahrensvorschriften, an denen man sich orientieren kann. In beiden Fällen gehen wir von einer Klauselnormalform aus, die Klauseln werden in Mengenschreibweise dargestellt. 17

18 Binäre Faktorisierung: 1. Wähle eine Klausel κ aus. 2. Wähle in der Klausel κ zwei Literale L und L mit gleichem Vorzeichen (negiert oder nicht negiert) und dem gleichen Prädikat. 3. Bestimme den allgemeinsten Unifikator σ für L und L. 4. Bestimme den Faktor: Bilde σ(κ) und eliminiere ein Vorkommen von σ(l). Jedes Eliminieren eines weiteren, doppelt vorkommenden Literals im entstandenen Faktor gilt als neuer Faktorisierungsschritt. Binäre Resolution: 1. Wähle zwei Klauseln κ 1 und κ 2 aus. 2. Benenne die Variablen so um, dass keine Variable in beiden Klauseln vorkommt. Die Klauseln sind dann variablenfremd. 3. Wähle in der Klausel κ 1 ein Literal L und in κ 2 ein komplementäres Literal L (d.h. L negiert und L positiv oder umgekehrt), wobei L und L Literale über dem gleichen Prädikat sind. 4. Bestimme den allgemeinsten Unifikator σ für L und L. 5. Bestimme die Resolvente: Vereinige die Literalmengen von σ(κ 1 ) und von σ(κ 2 ), lasse aber je ein Vorkommen von σ(l) und von σ(l ) weg. Jedes Eliminieren eines weiteren, doppelt vorkommenden Literals in der entstandenen Resolvente gilt als neuer Faktorisierungsschritt. Genau wie in der Aussagenlogik kann man mit Hilfe der Stufensättigungsstrategie alle Faktoren und Resolventen einer Formel in Klauselnormalform aufzählen. Allerdings müssen hier zusätzlich zu den Klauseln, die durch Resolution gewonnen werden können (bzw. den Anfangsklauseln) in der Spalte jeweils auch alle Faktoren von Klauseln der Spalte enthalten sein. Stufensättigungsstrategie 1. Füge alle Klauseln der Ausgangsformel in die erste Spalte der Tabelle ein (Generation 0). Diese Spalte ist die aktuelle Spalte. 2. Bilde alle Faktoren zu Klauseln der aktuellen Spalte und füge sie in der aktuellen Spalte an. (a) Beginne mit der ersten Klausel der Spalte. (b) Bilde alle Faktoren der Klausel, die sich durch jeweils eine Anwendung der Faktorisierungsregel auf diese Klausel ergeben, d.h. alle Möglichkeiten zur Anwendung der Faktorisierungsregel auf die Originalklausel werden durchgeführt. (c) Füge die neuen (d.h. noch nirgendwo in der Tabelle vorkommenden) Faktoren am Ende der Spalte an. (d) Wenn die aktuell bearbeitete Klausel noch nicht die letzte in der Spalte ist, wähle die nächste und mache weiter mit Schritt b). Ansonsten ist dieser Teilschritt beendet. 18