Beispiel. Bsp.: Betrachte Schlussweise in: (3) folgt aus (1) und (2), siehe z.b. Resolutionsregel. was ist mit folgender Schlußweise:

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1 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 207 Beispiel Bsp.: Betrachte Schlussweise in: 1 Wenn es regnet, dann wird die Straße nass. R N 2 Es regnet. R 3 Also wird die Straße nass. N (3) folgt aus (1) und (2), siehe z.b. Resolutionsregel was ist mit folgender Schlußweise: 1 Alle Griechen sind Philosophen. x.g(x) P(x) 2 Sokrates ist eine Grieche. G(s) 3 Also ist Sokrates ein Philosoph. P(s)

2 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 208 Resolution zur Erinnerung: aussagenlogische Resolution Verfahren für Unerfüllbarkeit wegen Satz von Herbrand klar: Resolution auch für FO möglich hier zunächst Resolutionskalkül für FO ohne Gleichheitssymbol. = Formeln immer gegeben als Klausel-Mengen Φ={ϕ 1,...} in Skolem-Normalform ϕ i = x 1... x n m j=1 wobei j Literale über atomaren Formeln R(t 1,...,t n );nur Variablen x 1,...,x n j

3 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 209 Beispiel Notation: universelle Quantifizierung nur noch implizit Bsp.: { x.p(x) yr(x, y), v z.p(v) R(v, z)} in Skolem-Normalform: { x.p(x) R(x, f (x)), z.p(c) R(c, z)} dann in Klauselform mit impliziter univ. Quantifizierung: { P(x) R(x, f (x)), P(c), R(c, z)} ist intuitiv unerfüllbar: 1. und 2. Klausel sorgen dafür, dass R(c, f (c)) gilt, dies widerspricht aber der 3. Klausel wegen impliziter, univ. Quantifizierung über z

4 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 210 Grundresolution hier zunächst vereinfachter Fall der Grundresolution: variablen-freie Klauseln Def.: Resolutionsbeweis für Klauselmenge Φ ist endlicher Baum: Wurzel mit leerer Klausel beschriftet Blätter mit Klauseln ϕ Φ beschriftet Söhne nach Resolutionsregel konstruiert: C, R(t 1,...,t n ) C, R(t 1,...,t n ) C, C beachte: dasselbe wie Resolution für Aussagenlogik

5 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 211 Grundresolution ist korrekt und vollständig Theorem 34 Sei Φ variablen-freie Klauselmenge. Dann ist Φ unerfüllbar gdw. es einen Grundresolutionsbeweis für Φ gibt. Beweis: Folgt sofort aus Satz von Herbrand. Beachte: Φ=HE(Φ) in diesem Fall. Ziel: Einschränkung auf Variablenfreiheit aufheben Lemma: Sei T Menge aller Grundterme über zugrundeliegender Signatur. x 1... x n.ϕ ist unerfüllbar gdw. unerfüllbar ist. Beweis: Übung. {ϕ[t 1 /x 1,...,t n /x n ] (t 1,...,t n ) T n }

6 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 212 Resolution für FO[τ] Resolutionsbeweis definiert wie oben, jedoch angewendet auf allgemeine Klauselmengen mit Variablen x 1,...,x n zusätzliche Instanziierungsregel Theorem 35 C C[t 1 /x 1,...,t n /x n ] Φ unerfüllbar gdw. es Grundresolutionsbeweis mit Instanziierungsregel für Φ gibt. Beweis: Obiges Lemma überträgt Unerfüllbarkeit auf Grundklauselmenge, also erst entsprechende Instanziierungen durchführen, dann Resolventen bilden. Wie oben, zusätzlich mit folgendem Prinzip. Ist Φ ϕ[t/x] unerfüllbar, so ist auch Φ x.ϕ unerfüllbar.

7 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 213 Beispiel Bsp: x. y.p(x) P(y) P(c) P(d) ist unerfüllbar 1 in Klauselform: {P(x), P(y)}, { P(c), P(d)} 2 Expansion mittels Herbrand-Universum in aussagenlogische Klauselmenge liefert was?

8 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 214 Pragmatische Aspekte Verfahren per Reduktion auf Grundresolution in Praxis ungeeignet; verlangt, die Terme im Vorhinein ohne Rückgriff auf den Resolutionsbeweis zu erraten besseres Verfahren wünschenswert, welches Instanziierungen erst dann vornimmt, wenn sie wirklich gebraucht werden wie soll man dann Literale mit Variablen behandeln? Bsp. sollte man zwei Klauseln mit folgenden Literalen resolvieren können? R(f (x), c), R(f (f (c)), y) R(f (x), c), R(f (f (c)), x) R(x, y), R(y, y) P(g(f (x), a)), P(g(z, f (y)))

9 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 215 Substitutionen Def.: Substitution ist Abbildung σ von Variablen auf Terme Bsp.: σ =[x g(c, f (d)), y f (x), z z] Konvention: Variablen, die nicht explizit in [...] aufgelistet werden, werden auf sich selbst abgebildet Def.: Substition σ kann in natürlicher Weise erweitert werden auf Terme: σ(f (t 1,...,t n )) := f (σ(t 1 ),...,σ(t n )) Prädikate: σ(r(t 1,...,t n )) := R(σ(t 1 ),...,σ(t n )) Literale: σ( ) := σ() Klauseln: σ(φ) := {σ(ϕ) ϕ Φ}

10 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 216 Syntaktische Unifikation syntaktische Unifikation = finde Substitution für Variablen, die zwei (oder mehrere) Prädikate gleich macht Def.: Substitution σ heißt Unifikator von 1,..., n,falls σ( 1 )=σ( 2 )=...= σ( n ) Bsp.: Gibt es Unifikatoren für folgende Prädikate? Welche? 1 P(x) und P(c) 2 P(x) und Q(x) 3 R(f (x), c) und R(z, f (y)) 4 R(f (x), c) und R(f (f (c)), y) 5 R(f (x), c) und R(f (f (c)), x) 6 R(x, y) und R(y, y) 7 P(x) und P(f (x)) 8 P(x) und P(f (y))

11 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 217 Allgemeinste Unifikatoren Def.: Seien σ, ρ zwei Substitutionen. Dann heißt σ allgemeiner als ρ, geschrieben σ ρ, falls es eine Substitution ζ gibt, so dass für alle Prädikate gilt: ρ() =ζ(σ()) Bsp.: [x f (y), y c] [x f (f (y)), y c] [x f (y), y c] und [x f (f (y)), y z] sind unvergleichlich bzgl. [x y] [y x] und umgekehrt! Def. σ heißt allgemeinster Unifikator (MGU) von 1,..., n,falls σ ρ für jeden Unifikator ρ von 1,..., n

12 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 218 Allgemeinste Unifikatoren ein paar Fakten über Unifikation Unifikatoren müssen nicht immer existieren: P(f (x)), P(g(y)) gibt es Unifikator, so gibt es auch MGU MGUs müssen nicht eindeutig sein: P(x), P(y) hat MGUs [x y], [y x] MGUs lassen sich berechnen

13 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 219 Faktoren Def.: Sei C = 1,..., n, C Klausel, σ MGU von 1,..., n.dann heißt σ( 1 ), C Faktor von C Resolution muss auf Faktoren ausgeführt werden: Bsp: {P(x), P(y)}, { P(c), P(d)} unerfüllbar, aber leere Klausel nicht herleitbar durch Resolution auf einzelnen Literalen im folgenden Faktorisierung gleich in Resolutionsschritt eingebaut

14 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 220 Prädikatenlogische Resolution Def.: Seien C und D Klauseln. Dann heißt E Resolvente von C und D, falls 1 es C, D gibt, die aus C und D durch evtl. Umbenennen von Variablen entstehen und keine Variablen gemeinsam haben, so dass 2 C = α 1,...,α n, C und D = β 1,..., β m, D, 3 es MGU σ von α 1,...,α n,β 1,...,β m gibt und 4 E = σ(c D ) Def.: Resolutionsbeweis für Klauselmenge Φ mit dieser Resolutionsregel wie üblich definiert

15 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 221 Beispiel Bsp.: Betrachte C 1 = { P(y, c), P(y, x), P(x, y)}, C 2 = {P(y, f (y)), P(y, c)}, C 3 = {P(f (y), y), P(y, a)}. finde Resolutionsbeweis für {C 1, C 2, C 3 }

16 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 222 Notwendigkeiten Notwendigkeit zu Faktorisieren bereits gezeigt Variablenumbenennung ebenfalls essentiell: {P(c, y)}, {Q(x, d)}, { P(x, c), Q(d, y)} ist unerfüllbar, ohne Variablenumbenennung nicht zu zu resolvieren MGUs ebenfalls essentiell: { Q(y)}, {Q(x), P(x)}, {Q(x), P(x)} führt z.b. mit Unifikatoren [y c, x c] einerseits und [y d, x d] andererseits nicht zum Ziel

17 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 223 Korrektheit und Vollständigkeit Theorem 36 Sei C Klauselmenge. Es gibt Resolutionsbeweis für C gdw. C unerfüllbar ist. Beweisskizze: Wie bisher: Zeige, dass erfüllbare Menge unter Hinzunahme von Resolventen erfüllbar bleibt. SeiC unerfüllbar. Nach Thm. 35 gibt es Grundresolutionsbeweis mit Instanziierungen zu Grundtermen. Dieser lässt sich in einen Resolutionsbeweis umbauen, welcher die Instanziierungen mittels MGUs teilweise und nur an benötigter Stelle macht.

18 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 224 Beschränkung auf zwei Terme noch zu tun: Berechnung von MGUs Lemma: Seien t 1,...,t n, n > 1 Terme ohne Funktionssymbol f. Jeder Unifikator für t 1,...,t n ist auch ein Unifikator für f (t 2,...,t n ), f (t 1,...,t 1 ) und umgekehrt. Beweis: Übung. Soll heißen: bei der Berechnung von MGUs können wir uns auf den Fall zweier Terme t, t beschränken. Beachte: Für Unifikation kein Unterschied zwischen Funktions- und Prädikatsymbolen.

19 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 225 Berechnung von MGUs Algorithmus arbeitet auf Menge von Paaren von Termen M = {(t 1, t 1 ),...,(t n, t n)} Aufruf mit zu unifizierendem Paar (t, t ) iteriere, solange noch eine der folgenden Regeln die Menge M ändert entferne Paare der Form (t, t) aus M ersetze jedes (t, x) in M durch (x, t), fallsx Variable, t nicht Variable gibt es (t, t ) M mit t = f (s 1,...,s m ), t = f (u 1,...,u m ), so ersetze M durch (M \{(t, t )}) {(s 1, u 1 ),...,(s m, u m )} ist M = {(x, t), (t 1, t 1 ),...,(t n, t n)}, sodassx nicht in t vorkommt, so ersetze M durch {(x, t), (σ(t 1 ),σ(t 1 )),...,(σ(t m),σ(t m))}, wobei σ =[x t]

20 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 226 Beispiele berechne MGUs für R(g(x, y), f (y)), R(g(g(d, z), z ), f (y )) P(f (g(x, f (y)))), P(f (y)) R(f (x), x), R(y, c), R(f (z), z )

21 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 227 Berechnung von MGUs Termination nicht trivial; aber Regeln nicht beliebig lange anwendbar zwei Fälle bei Termination: 1 M = {(x 1, t 1 ),...,(x n, t n )}, wobei x 1,...,x n paarweise verschieden und kommen nicht in t 1,...,t n vor [x 1 t 1,...,x n t n ] ist MGU 2 keine Regel anwendbar, aber M nicht von obiger Form Eingabe nicht unifizierbar Theorem 37 (ohne Beweis) Obiger Algorithmus terminiert immer und berechnet einen MGU für die Eingabeterme.

22 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 228 Resolution für FO[=,τ] beachte: bisher nur Resolution für FO[τ]; lässt sich diese auf FO[=,τ]erweitern? ja, z.b. mittels Paramodulation Def.: Eine Klausel E heißt Grundparamodulant für Klauseln C und D, falls C = s. = t, C D =, D E =, C, D, wobei aus entsteht, indem ein einziges Vorkommen von s durch t (oder umgekehrt) ersetzt wurde Grundresolution für FO[=,τ]durch Hinzunahme der Grundparamodulationsregel zur Grundresolution für FO[τ]

23 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 229 Beispiel. ( x y.x = y P(x) P(y)) ( P(c) P(d)) ist erfüllbar, vgl. mit ähnlichem Beispiel ohne Quantorenrelativierung

24 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 230 Paramodulation Def.: Eine Klausel E heißt Paramodulant für Klauseln C und D, falls C = s. = t, C oder C = t. = s, C D =, D, wobei in ein Term r vorkommt C und D haben keine gemeinsamen Variablen es gibt einen MGU σ für s und r E = σ( ),σ(c ),σ(d ), wobei aus entsteht, indem ein einziges Vorkommen von s durch σ(t) ersetzt wurde Resolution für FO[=,τ]durch Hinzunahme der Paramodulationsregel zur Resolution für FO[τ]