Logische und funktionale Programmierung

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1 Logische und funktionale Programmierung Vorlesung 11: Logikprogramme Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca 19. Dezember /55

2 WIEDERHOLUNG: HORN-KLAUSELN Definition Eine Klausel K ist eine Hornklausel gdw. sie höchstens ein positives Literal enthält (d.h., höchstens eines ihrer Literale ist eine atomare Formel und die anderen Literale sind negierte atomare Formeln). Eine Hornklausel heißt negativ, falls sie nur negative Literale enthält (d.h., falls sie die Gestalt { A 1,..., A k } für atomare Formeln A 1,..., A k hat). Eine Hornklausel heißt definit, falls sie ein positives Literal enthält (d.h., falls sie die Gestalt {B, C 1,..., C n } für atomare Formeln B, C 1,..., C n hat). 2/55

3 Eine Menge definiter Hornklauseln entspricht einer Konjunktion von Implikationen {{p, q}, { r, p, s}, {s}} ist äquivalent zur Formel ((p q) ( r p s) s) und damit zur folgenden Formel (q p) (r p s) s). 3/55

4 ZUSAMMENHANG ZUR LOGIKPROGRAMMIERUNG Fakten sind definite Hornklauseln ohne negative Literale (d.h., sie enthalten genau ein positives Literal). Ein Beispiel ist die Klausel {s}. In der Logikprogrammierung schreibt man: s. Regeln sind definite Hornklauseln mit negativen Literalen. Ein Beispiel ist die Klausel { r, p, s}. In der Logikprogrammierung schreibt man: s :- r, p. Anfragen sind negative Hornklauseln. Ein Beispiel ist die Klausel { p, q}. In der Logikprogrammierung schreibt man:?- p,q. 4/55

5 SLD-RESOLUTION Definition Sei K eine Hornklauselmenge mit K = K d K n, wobei K d die definiten Klauseln und K n die negativen Klauseln von K enthält. Die leere Klausel ist aus der Klausel K in K n durch SLD-Resolution herleitbar gdw. es eine Folge von Klauseln K 1,..., K m gibt, so dass K 1 = K K n und K m = ist und so dass für alle 2 i m gilt: K i ist ein Resolvent von K i 1 und einer Klausel aus K d. 5/55

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7 KORREKTHEIT UND VOLLSTÄNDIGKEIT DER SLD-RESOLUTION Sei K eine Menge von Hornklauseln. Dann ist K unerfüllbar gdw. aus einer negativen Klausel N in K durch SLD - Resolution herleitbar ist. 7/55

8 SYNTAX UND SEMANTIK VON LOGIKPROGRAMMEN Die Reihenfolge der Literale in einer Klausel und die Reihenfolge der Klauseln in einer Klauselmenge spielt jetzt eine Rolle. Wir betrachten Folgen statt Mengen. Klausel = Folgen von Literalen. Klauselmengen = Folgen von Klauseln. Eine Klausel kann ein Literal auch mehrfach enthalten und eine Klauselmenge kann eine Klausel mehrfach enthalten. 8/55

9 SYNTAX VON LOGIKPROGRAMMEN Definition Eine nichtleere endliche Menge P von definiten Hornklauseln über einer Signatur (Σ, ) heißt Logikprogramm über (Σ, ). Die Klauseln aus P werden auch Programmklauseln genannt und man unterscheidet die folgenden Arten von Programmklauseln: Fakten (oder Tatsachenklauseln) sind Klauseln der Form {B}, wobei B eine atomare Formel ist Regeln (oder Prozedurklauseln) sind Klauseln der Form {B, C 1,..., C n } mit n 1. Hierbei sind B und C 1,..., C n atomare Formeln. Der Aufruf eines Logikprogramms geschieht durch eine Anfrage (oder Zielklausel) G der Form { A 1,..., A k } mit k 1. 9/55

10 Eine Klausel ist die allquantifizierte Disjunktion ihrer Literale und eine Klauselmenge (wie z.b. ein Logikprogramm) repräsentiert die Konjunktion ihrer Klauseln. Beim Aufruf eines Logikprogramms P mit der Anfrage G = { A 1,..., A k } soll folgendes bewiesen werden: P = X 1,..., X p A 1 A k Hierbei sind X 1,..., X p die Variablen in G. Die Variablen in den Programmklauseln sind implizit allquantifiziert und die Variablen in den Anfragen sind implizit existenzquantifiziert! 10/55

11 Die Folgerbarkeitsbeziehung P = X 1,..., X p A 1 A k ist äquivalent zur Unerfüllbarkeit der Klauselmenge P {G}, d.h., zur Unerfüllbarkeit von P { X 1,..., X p A 1 A k }. Die Unerfüllbarkeit von P {G} ist äquivalent dazu, dass es eine endliche Teilmenge von Grundinstanzen der Klauseln aus P {G} gibt, die ebenfalls unerfüllbar ist. Diese Menge kann nicht nur aus definiten Klauseln bestehen, d.h., sie enthält also auch mindestens eine Grundinstanz von G. 11/55

12 P = X 1,..., X p A 1 A k ist äquivalent dazu, dass es eine Menge von Grundtermen t 1,..., t p existiert, so dass P {( A A k )[X 1 /t 1,..., X p /t p ]} unerfüllbar ist bzw, dass P = A 1 A k [X 1 /t 1,..., X p /t p ]. 12/55

13 Bei der Auswertung von Logikprogrammen ist das Ziel, nicht nur die Folgerbarkeitsbeziehung P = X 1,..., X p A 1 A k zu untersuchen, sondern man möchte auch die Grundterme t 1,..., t p berechnen, die die gültigen Lösungen für die Anfrage darstellen. Substitutionen, bei denen die gewünschte Anfrage aus den Programmklauseln folgt, bezeichnet man als Antwortsubstitution. Hierbei schränkt man die Substitution auf die Variablen der Anfrage ein. Falls die Antwortsubstitution die Variablen der Anfrage durch Terme mit Variablen ersetzt, so können die verbleibenden Variablen durch beliebige Terme ersetzt werden. Die Antwortsubstitutionen werden im Lauf des SLD-Resolutionsbeweises erzeugt, wenn die leere Klausel hergeleitet wird. 13/55

14 BEISPIEL 14/55

15 BEISPIEL 15/55

16 BEISPIEL 16/55

17 BEISPIEL 17/55

18 SEMANTIK DER LOGIKPROGRAMMIERUNG Wir definieren nun die Semantik von Logikprogrammen. Hierbei werden wir drei verschiedene Möglichkeiten vorstellen, die Semantik festzulegen und wir werden beweisen, dass alle drei Möglichkeiten äquivalent sind. Diese Arten werden als deklarative, prozedurale und Fixpunkt-Semantik bezeichnet. 18/55

19 DEKLARATIVE SEMANTIK DER LOGIKPROGRAMMIERUNG Die Idee der deklarativen (oder modelltheoretischen) Semantik ist, das Logikprogramm als statische Datenbank aufzufassen und die wahren Aussagen über das Programm mit Hilfe der Folgerbarkeit der Prädikatenlogik zu definieren. Genauer definieren wir jeweils die Semantik eines Programms P bezüglich einer Anfrage G. Die deklarative Semantik besteht aus allen Grundinstanzen von G, die wahre Aussagen über das Programm P sind. 19/55

20 DEKLARATIVE SEMANTIK EINES LOGIKPROGRAMMS Definition Sei P ein Logikprogramm und G = { A 1,..., A k } eine Anfrage. Hierbei sind A 1,..., A k also atomare Formeln. Dann ist die deklarative Semantik von P bezüglich G definiert als D[[P, G]] = {σ(a 1 A k ) P = σ(a 1 A k ), σ ist Grundsubstitution Jede Grundinstanz σ(a 1 A k ) in D[[P, G]] enthält als Lösung die entsprechende Grundsubstitution der Variablen aus A 1,..., A k. 20/55

21 BEISPIEL Wir betrachten wieder das Logikprogramm P und die Anfrage G = { vatervon(gerd, Y)}. Die einzige Grundinstanz von vatervon(gerd, Y), die aus P folgt, ist vatervon(gerd, susanne) (d.h. P = vatervon(gerd, susanne)). Somit gilt D[[P, G]] = {vatervon(gerd, susanne)}. Würde P noch das zusätzliche Faktum muttervon(renate, peter) enthalten, so ergäbe sich D[[P, G] = {vatervon(gerd, susanne), vatervon(gerd, peter)}. 21/55

22 PROZEDURALE SEMANTIK DER LOGIKPROGRAMMIERUNG Die prozedurale (oder operationelle) Semantik operationalisiert die deklarative Semantik, indem explizit angegeben wird, wie die entsprechenden Folgerungen aus P berechnet werden. Hierzu wird SLD-Resolution verwendet, wobei jeweils mitprotokolliert wird, welche Substitutionen auf die Variablen angewandt werden. Genauer geben wir einen abstrakten Interpreter für Logikprogramme an, der auf sogenannten Konfigurationen operiert. 22/55

23 PROZEDURALE SEMANTIK DER LOGIKPROGRAMMIERUNG Eine Konfiguration ist ein Paar aus einer Anfrage (d.h., einer negativen Klausel) und einer Substitution. Hierbei starten wir mit der Konfiguration (G, ) aus der ursprünglichen Anfrage und der identischen Substitution. Das Ziel ist, schließlich eine Endkonfiguration der Gestalt (, σ) zu erreichen. In diesem Fall ist σ (bzw. die Einschränkung von σ auf die Variablen der ursprünglichen Anfrage G) die gefundene Antwortsubstitution. Eine Berechnung ist eine Folge von Konfigurationen, wobei bei der Definition des Interpreters festgelegt wird, welche Konfigurationsübergänge erlaubt sind. 23/55

24 BEMERKUNG Die bei Logikprogrammen verwendete Form der SLD-Resolution unterscheidet sich in drei Punkten von der allgemeinen SLD-Resolution, die wir besprochen haben. Anstatt Variablenumbenennungen jeweils auf beide Elternklauseln anzuwenden, schränken wir uns auf die sogenannte standardisierte SLD-Resolution ein. Hier dürfen Variablenumbenennungen nur auf die (definiten) Programmklauseln angewendet werden und nicht auf die jeweils andere (negative) Elternklausel. Eine solche Einschränkung ist natürlich generell ohne Beschränkung der Allgemeinheit möglich. 24/55

25 BEMERKUNG Im Resolutionsschritt wird jeweils nur zwischen zwei Literalen resolviert, nicht zwischen beliebig vielen. Wir verwenden also nur binäre SLD-Resolution. Wie schon gezeigt wurde, erhält diese Einschränkung aber auf Hornklauselmengen die Vollständigkeit. 25/55

26 BEMERKUNG Schließlich betrachten wir Klauseln nicht mehr als Mengen, sondern als Folgen von Literalen. Dies bedeutet also, dass in einer solchen Folge ein Literal also auch mehrfach auftreten kann. Beispielsweise ergibt dann die Resolution der Klauseln { p, p} und {p} den Resolventen{ p}. Hierbei gilt p 0. 26/55

27 PROZEDURALE SEMANTIK EINES LOGIKPROGRAMMS P 27/55

28 PROZEDURALE SEMANTIK EINES LOGIKPROGRAMMS P 28/55

29 BEISPIEL (S. VORHERIGES BSP.) 29/55

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31 BEISPIEL 31/55

32 BEISPIEL 32/55

33 BEISPIEL 33/55

34 BEISPIEL 34/55

35 Die deklarative und die prozedurale Semantik sind äquivalent! 35/55

36 FIXPUNKT-SEMANTIK DER LOGIKPROGRAMMIERUNG 36/55

37 FIXPUNKT-SEMANTIK DER LOGIKPROGRAMMIERUNG 37/55

38 DIE TRANSFORMATION TRANS P Sei P ein Logikprogramm über einer Signatur (Σ, ). Die dazugehörige Transformation trans P ist eine Funktion 38/55

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40 BEISPIEL 40/55

41 BEISPIEL Im allgemeinen kann die Iteration zur Berechnung von M P aber unendlich sein. 41/55

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44 Wenn man die Folge von Mengen, transp P ( ), transp 2 P ( ), transp3 P ( ),... betrachtet, sieht man, dass diese Mengen offensichtlich immer größer bezüglich der Ordnung werden. Solche Folgen bezeichnet man als Ketten. Die gesuchte Menge M P ist dann gerade der Grenzwert dieser Kette, d.h., es ist ihre kleinste obere Schranke. 44/55

45 Eine reflexive Ordnung ist vollständig, falls sie ein kleinstes Element hat und falls jede Kette eine kleinste obere Schranke besitzt. Solch eine Ordnung wird auch als complete partial order oder cpo bezeichnet. Pot(At(Σ,, )) ist vollständig. Zu jedem Programm P existiert also die kleinste obere Schranke M P der obigen Kette 45/55

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47 Monotonie bedeutet in diesem Zusammenhang, dass sich aus größren Mengen von Aussagen auch mehr Aussagen herleiten lassen. Stetigkeit bedeutet, dass trans P den Grenzwert jeder Kette auf das gleiche Ergebnis abbildet, das man erhalten würde, wenn man das Ergebnis für jedes individuelle Element der Kette berechnen würde und dann den Grenzwert dieser Ergebnisse bildet. 47/55

48 STETIGKEIT VON trans P 48/55

49 STETIGKEIT VON trans P Wenn man zunächst die Kette M 0 M 1... betrachtet, ihren Grenzwert M = i N M i bildet und dann trans P darauf anwendet (durchgezogene Pfeile), so muss sich dasselbe ergeben, wie wenn man erst trans P auf die einzelnen Elemente der Kette anwendet und dann den Grenzwert bildet (gestrichelte Pfeile). 49/55

50 LEMMA: MONOTONIE UND STETIGKEIT 50/55

51 BEWEIS 51/55

52 Nun können wir zeigen, dass trans P in der Tat immer einen kleinsten Fixpunkt hat und dass dieser gerade der kleinsten oberen Schranke der Kette entspricht., transp P ( ), transp 2 P ( ), transp3 P ( ),... 52/55

53 FIXPUNKTSATZ Für jedes Logikprogramm P besitzt trans P einen kleinsten Fixpunkt lfp(trans P ). Hierbei gilt lfp(trans P ) = i N transi P. 53/55

54 FIXPUNKT-SEMANTIK EINES LOGIKPROGRAMMS Definition Sei P ein Logikprogramm und G = { A 1,..., A k } eine Anfrage. Hierbei sind A 1,..., A k also atomare Formeln. Dann ist die Fixpunkt-Semantik von P bezüglich G definiert als F[[P, G]] = {σ(a 1 A k ) σ(a i ) lfp(trans P ) für alle i}. 54/55

55 SATZ: ÄQUIVALENZ DER FIXPUNKT-SEMANTIK ZU DEN ANDEREN SEMANTIKEN 55/55