Labor Compilerbau. Jan Hladik. Sommersemester DHBW Stuttgart. Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

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1 Labor Compilerbau Jan Hladik DHBW Stuttgart Sommersemester 2017 Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

2 Resolution in der Prädikatenlogik testet Erfüllbarkeit (indirekt auch Gültigkeit) einer Formel ϕ ϕ muss in Konjunktiver Normalform sein Konjunktion von Disjunktionen (Klauseln) von Literalen Literal: PL-Atom, möglicherweise negiert Atom: P (c, f(x)) alle Variablen implizit universell quantifiziert Beispiel (PL-Formel in KNF) Carl ist ein Mensch und jeder Mensch hat eine Mutter. H(c) ( H(x) M(x, f(x))) Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

3 Resolvente Suche Paar von Klauseln C 1 = {L 1, L 2,...}, C 2 { L 4, L 5,...} so dass L 1 und L 4 unifizierbar sind Unifikation: Variablen so belegen, dass Formeln gleich werden Wende Unifikator σ auf beide Klauseln an: C 1 = σ(c 1), C 2 = σ(c 2) Bilde Resolvente: (C 1 C 2 ) \ {σ(l 1), σ( L 4 )} Leere Klausel : unerfüllbar Beispiel (Resolutionsschritt) H(c) H(x), M(x, f(x)) M(c, f(c)) [x/c] Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

4 Resolutions-Algorithmus Algorithm 1 resolution(ϕ) Input: formula ϕ Output: satisfiable or unsatisfiable 1: transform ϕ into CNF 2: initialise S with disjunctions of ϕ 3: while there is C 3 = res(c 1, C 2 ) with C 3 / S do 4: if C 3 = then 5: return unsatisfiable 6: else 7: S := S {C 3 } 8: return satisfiable Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

5 Resolution und Effizienz Suche nach Klauselpaar aufwändig Jedes Literal jeder Klausel muss mit jedem Literal jeder anderen Klausel verglichen werden benötigt effiziente Indizierung Nichtdeterminismus Oft mehrere Resolutionsschritte möglich Effizienz hängt von richtiger Entscheidung ab benötigt gute Heuristik Ausweg: Einschränkung auf Sonderform: Horn-Formel Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

6 Horn-Formeln A 1 A 2 A 3... A n A geeignet zur Formulierung von Regeln Wenn x Mutter von y ist und z Bruder von x, dann ist z der Onkel von y. M(x, y) B(z, x) O(z, y) Terminologie Sonderfälle Kopf rechte Seite (A) Rumpf linke Seite (A 1... A n ) Fakt Rumpf ist ( H(c)) Anfrage Kopf ist (H(c) P (x) ) Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

7 Horn-Klauseln A 1 A 2 A 3... A n A Transformation in KNF A 1 A 2 A 3... A n A Horn-Formel als Klausel: Höchstens ein positives Literal Anfrage (query) Nur negative Literale (einschließlich leere Klausel) Definit (definite) Genau ein positives Literal Fakt (fact) ohne negativen Literale Regel (rule) mit negativen Literalen Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

8 SLD-Resolution Für Horn-Klauseln ist Selektiv-Linear-Definite Resolution korrekt und widerlegungsvollständig. Selektiv Nächstes Literal darf beliebig ausgewählt werden Linear Eine der Elternklauseln im nächsten Schritt ist Resolvente des letzten Schritts Definit Andere Elternklausel ist definit Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

9 Resolution für eine Anfrage-Klausel Algorithm 2 SLD-satisfiable (q,d) Input: query clause q, set of definite clauses D Output: satisfiable / unsatisfiable 1: if q = then 2: return unsatisfiable 3: else 4: let q = {l 1, l 2,..., l n } 5: let C be the elements of D whose head is unifiable with l 1 6: for all c C do 7: let b be the body of c 8: let q new = {l 2,..., l n } b 9: if not (SLD-satisfiable (q new, D)) then 10: return unsatisfiable 11: return satisfiable Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

10 Resolution für beliebige Horn-Formelmengen Algorithm 3 SET-satisfiable(M) Input: Set of Horn clauses M Output: satisfiable / unsatisfiable 1: Let Q be the query clauses contained in M 2: Let D be the definite clauses in M 3: for all q Q do 4: if not(sld-satisfiable(q, D)) then 5: return unsatisfiable 6: return satisfiable Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

11 Dateiformat Beispiel R1(x) -> false S(x,x) -> R1(x) P(f2(x)) -> S(x,x) P(x) & S(a,a) -> R1(x) true -> P(b) Variablen n-z (+Integer) Funktionen a-m (+Integer) Prädikate A-Z (+Integer) Junktoren &, -> Bool-Konstanten true, false Klammern (, ) Komma, Zeilenumbruch \n, \r\n Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

12 Scanner Schreiben Sie ein Flex-File für einen Scanner, der eine Datei mit Horn-Formeln einliest und die einzelnen Token zurückgibt. 1 Ausgabe mit printf() zur Kontrolle 2 Rückgabe mit return() für Parser Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

13 Parser - nur Syntax-Test Schreiben Sie ein Bison-File für einen Parser, der mit Hilfe Ihres Scanners eine Datei mit Horn-Formeln einliest und auf korrekte Syntax testet. Der Parser sollte zur Kontrolle die gelesenen Token und die angewendete Regel ausgeben. Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

14 Datenstrukturen Term Atom Formel Variable / Funktion Argumente (Liste von Termen) Prädikat Argumente (Liste von Termen) Kopf (Atom) Rumpf (Liste von Atomen) Listen Verkettete Listen von Termen Atomen Formeln Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

15 Datenstrukturen - Implementierung Entwickeln Sie C-Datenstrukturen (structs) für die genannten Ausdrücke. Hilfreich sind Funktionen für die folgenden Aufgaben: Erzeugen eines neuen Ausdrucks, z.b. term* createterm (char* varfunc, termlist* tl), Einfügen und Entfernen von Listen-Elementen, Textuelle Ausgabe von Datentypen zur Kontrolle. Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

16 Parser - Erzeugen der Formelliste Modifizieren Sie Ihren Parser so, dass er nicht nur die Syntax testet, sondern auch die Formeln der Eingabe-Datei in die von Ihnen definierten Datenstrukturen einliest. Ergebnis sollte eine globale Variable (z.b. formulalist* fl) sein, die alle Formeln der Eingabedatei enthält. Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

17 Horn-Resolution mit Grundtermen Implementieren Sie das Resolutionsverfahren in den Algorithmen 2 und 3. Gehen Sie zur Vereinfachung zunächst davon aus, dass die Formeln nur Grundterme, also keine Variablen enthalten. Dies hat zur Folge, dass der Unifikationstest nur die syntaktische Gleichheit zweier Atome testen muss. Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

18 Unifikations-Algorithmus Algorithm 4 unify(s, t) Input: Atome s, t Output: au(s, t), wenn s und t unifizierbar sind; nicht unifizierbar, sonst 1: σ := () 2: while σ(s) σ(t) do 3: sei i die erste Position, an der sich σ(s) und σ(t) unterscheiden 4: if σ(s) i oder σ(t) i ist Prädikat then 5: return nicht unifizierbar 6: else if weder σ(s) i noch σ(t) i ist Variable then 7: return nicht unifizierbar 8: else 9: sei x die Variable, y der andere Term 10: if x ist echter Subterm von y then 11: return nicht unifizierbar 12: else 13: σ := σ ([x/y]) 14: return σ Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

19 Unifikation: Beispiel Beispiel ϕ = R(f(c), z, g(f(c), f(g(z, f(c))))) ψ = R(f(c), z, g(f(c), f(g(z, f(c))))) x / f(c) Occurs-Check u / z AU w / f(c) y / g(z, f(c)) Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20

20 Horn-Resolution mit Variablen-Unifikation Wichtig: Vor Unifikation müssen Variablen disjunkt sein Mögliches Verfahren: Beim Einlesen alle vorkommenden Variablen durchnummerieren v1, v2, v3,... nächsten möglichen Variablennamen in globaler Variable speichern Wenn Resolvente Variablen enthält, ebenfalls umbenennen Jede Variable kommt nur in einer Klausel vor. Alternative: Vor jedem Unifikationstest prüfen, ob es gemeinsame Variablen gibt Wenn ja: in einer Klausel umbenennen Jan Hladik (DHBW Stuttgart) Labor Compilerbau Sommersemester / 20