Grundlagen der Theoretischen Informatik

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1 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Inormatik Sebastian Ianoski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.1: Aussagenlogik

2 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 2 Aussagenlogik Wdh.: Operatoren zischen Aussagen Durch Operatoren erden aus alten Aussagen neue Aussagen geschaen: Wahrheitserte ür die neuen Aussagen: p q p p q p q p q p q Einstelliger Operator: Negation ( ) Zeistellige Operatoren: Konjunktion ( ) Disjunktion ( ) Implikation ( ) Äquivalenz ( )

3 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 3 Aussagenlogik Achtung: Warum einach, enn es auch kompliziert geht? Folgende Notationen sind in der Literatur ebenalls gebräuchlich: ür logische Schlussregeln: p, q r ist dasselbe ie p q r In der Logik benutzt man unterschiedliche Symbole ür Schlussolgerungen und Äquivalenzen je nach Anendungsgebiet:,,, entsprechen der logischen Implikation:, =,,, entsprechen der logischen Äquivalenz:

4 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 4 Aussagenlogische Formeln Da Aussagen egen der Unteilbarkeit sinnvollereise mit Buchstaben abgekürzt erden, nennt man sie auch Literale Eine aussagenlogische Formel ist eine Verknüpung von endlich vielen Literalen mit logischen Operatoren. - Die Literale einer Formel entsprechen Variablen, die mit und belegt erden können. - Formeln können auch Konstante enthalten: Die Konstante ist immer ahr und das neutrale Element bezüglich der Konjunktion. Die Konstante ist immer alsch und das neutrale Element bezüglich der Disjunktion. Eine Belegung einer Formel ist eine Zueisung von Wahrheitserten an die Literale derart, dass dieselben Literale immer denselben Wahrheitsert erhalten. Die Formel als ganze bekommt durch die Belegung ebenalls einen Wahrheitsert.

5 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 5 Aussagenlogische Formeln Eine Formel heißt erüllbar, enn es eine Belegung gibt derart, dass die Formel den Wahrheitsert hat. Eine Formel, in der jeder Literal höchstens einmal vorkommt, ist immer erüllbar! Eine Formel, in der keine Negation vorkommt, ist immer erüllbar! Nur Formeln, die einen Literal mehrach und mindestens eine Negation enthalten, könnten unerüllbar sein. Eine Formel heißt Tautologie oder gültig, enn sie bei jeder Belegung den Wahrheitsert hat. Eine Formel heißt idersprüchlich, enn sie bei keiner Belegung den Wahrheitsert hat.

6 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 6 Aussagenlogische Formeln Erüllbarkeitsproblem (Satisiability, SAT): Wie bekommt man heraus, ob eine gegebene Formel erüllbar ist?

7 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 7 Deinition: Normalormen Eine aussagenlogische Formel ist in konjunktiver Normalorm (KNF), enn sie als Konjunktion von Disjunktionen aus Aussagen oder Negationen von Aussagen dargestellt ist. Etas langsamer zum Mitdenken: Ein Literal ist eine Aussage oder die Negation einer Aussage. Eine Klausel ist eine Disjunktion aus Literalen. Beispiele: p q r r Beispiele: p q r p q r p q Eine Formel in KNF ist eine Konjunktion von Klauseln. Beispiel: (p q r) ( p q r) (p q)

8 Normalormen Deinition: Eine aussagenlogische Formel ist in konjunktiver Normalorm (KNF), enn sie als Konjunktion von Disjunktionen aus Aussagen oder Negationen von Aussagen dargestellt ist. Spezialälle: Eine Klausel dar auch nur aus einem Literal bestehen. Beispiel: (p q r) p (p q) ist auch in KNF Eine Formel dar auch nur aus einer Klausel bestehen. Beispiel: p q r ist auch in KNF Eine leere Klausel entspricht dem neutralen Element der Disjunktion: Beispiel: (p q r) (p q) ist auch in KNF Eine leere Formel entspricht dem neutralen Element der Konjunktion: Beispiel: ist auch in KNF FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 8

9 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 9 Normalormen Welche Formeln sind eigentlich nicht in KNF? Formeln, die andere als die 3 Booleschen Operatoren enthalten Beispiel: ((p q r) ( p q r)) (p q) Formeln, in denen andere Terme als atomare Aussagen negiert erden Beispiel: (p q r) ( p q r) (p q) Formeln, in denen Konjunktionen und Disjunktionen ild durcheinander sind Beispiel: Beispiel: (p ( q r)) ( p q r) p q p ( q r p) ( q r) p q Formeln, in denen eine tieere Klammerschachtelungstiee vorliegt Beispiel: p ( q (r q)) ( p q r) p q Satz: Jede aussagenlogische Formel lässt sich durch endlich viele äquivalente Umormungen in KNF bringen.

10 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 10 Normalormen Warum ollen ir Formeln in KNF bringen? Übersichtlichere Ausertung beim Erüllbarkeitstest: Eine Formel in KNF ist erüllbar. Eine Belegung enthält ür jede Klausel enigstens einen ahren Literal. Mögliche Belegungsstrategie: Gehe die Klauseln nacheinander durch: Belege genau einen noch nicht estgelegten Literal mit t (dadurch erden gleiche Literale oder deren Negationen in anderen Klauseln estgelegt) Wenn es keine Möglichkeit mehr gibt, springe zurück zur vorigen Klausel und nimm eine andere Belegung Vorsicht vor Illusionen: Im schlechtesten Fall bringt das keinen Zeitgeinn verglichen mit purem Ausprobieren!

11 Normalormen Warum ollen ir Formeln in KNF bringen? Kompakte Darstellbarkeit im Computer: Stelle Klauseln als Mengen von Literalen dar: {p, q, r} entspricht (p q r) als Klausel Stelle Formeln als Mengen von Klauseln dar: {{p, q, r}, { p, q, r}, {p, q}} entspricht (p q r) ( p q r) (p q) Das unktioniert sogar ür die Spezialälle: Warnung: {{p, q, r}} entspricht (p q r) als Formel {{p},{ q},{r}} entspricht (p q r) als Formel {} entspricht als Formel {{}} entspricht als Formel Was dem Computer glasklar ist, kann ür den Menschen höchst verirrend sein: Das Trennzeichen (,) in inneren Klammern (Klauseln) entspricht einer Disjunktion ( ) Das Trennzeichen (,) in äußeren Klammern (Formeln) entspricht einer Konjunktion ( ) FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 11

12 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 12 Normalormen Algorithmus zum Umandeln einer Formel in die KNF: 1. Eliminiere alle Operatoren der Form und mit den Ersetzungsregeln durch und! 2. Ziehe alle Negationszeichen vor Klammern in die Klammern hinein mit den demorganschen Regeln! 3. Wende die Distributivgesetze so lange an, bis au oberster Ebene nur noch Konjunktionen und darunter Disjunktionen sind! Das unktioniert immer!

13 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 13 Deinition: Andere Normalormen Eine aussagenlogische Formel ist in disjunktiver Normalorm (DNF), enn sie als Disjunktion von Konjunktionen aus Aussagen oder Negationen von Aussagen dargestellt ist. Jetzt ällt das Mitdenken schon leichter: Was ist ein DNF-Literal? Was ist eine DNF-Klausel? Was ist eine DNF-Formel? Beispiele? Warum ollen ir Formeln in DNF bringen? ollen ir nicht: Eine Normalorm reicht uns aus!

14 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 14 Zusammenassung: Aussagenlogische Formeln Formeln haben logische Eigenschaten (Semantik): Erüllbarkeit Widerspruch Tautologie Widerlegbarkeit äquivalent zu äquivalent zu komplementär zueinander komplementär zueinander Formeln haben Darstellungseigenschaten (Syntax): Normalormen (KNF oder DNF) Mengendarstellung der KNF Die eben genannten Darstellungseigenschaten sind ür jede Formel durch Äquivalenz erzielbar. Es gibt auch Darstellungseigenschaten, die nur ür bestimmte Formeln möglich sind. Bsp.: KNF mit Klauseln aus genau drei Literalen

15 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 15 Anendung: Widerspruchsindung mittels Resolution Augabe: äquivalent zum Erüllbarkeitsproblem: nicht eizient lösbar Gegeben eine Menge F von logischen Formeln. Berechne, ob sie idersprüchlich ist. Methode: Äquivalente Formelumormungen: Ziel ist es, die Konstante herzuleiten. Wir arbeiten so lange mit allgemeinen Formeln, bis es nicht mehr eitergeht! Resolutionsprinzip: Generierung einer neuen Formel als Folgerung aus 2 gegebenen Formeln Prinzip: Finde Literal c, der in den Formeln a c und b c vorkommt. Dann kann c eliminiert erden: (a c) (b c) (a b) Die neue Formel heißt Resolvente der alten Formeln. Durch eine solche Eliminierung können einzelne Literale isoliert erden: Bsp.: (a c) c a Interpretation: a muss in der Formelsammlung gelten. Wenn au diese Weise auch die Negation isoliert ird, ergibt sich ein Widerspruch: Widerspruch! Bsp.: ( a d) d a Interpretation: a muss in der Formelsammlung gelten.