Kapitel 4 Formale Logik

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1 Inormatik I WS 03/04 Kapitel 4 Formale ogik 4.1 Aussagenlogik 4.2 Prädikatenlogik Institut ür Programmstrukturen und Datenorganisation (IPD) Pro. Dr. Gerhard Goos

2 4 Ziele Präzise Beschreibung von Sachverhalten so, daß mit mechanisch durchührbaren, syntaktischen Schlüssen inhaltliche, semantische Eigenschaten estgestellt und Schlußolgerungen gezogen erden können Konsistenz/Widersprüchlichkeit bz. Vollständigkeit von Aussagen estgestellt erden kann nachgeprüt erden kann, ob das logische Gedanken-Gebäude ein Modell in der realen Welt besitzt Formale ogik ist das allgemeinste und genaueste Verahren zur Speziikation von Augaben und den Eigenschaten von ösungen, insbesondere der Korrektheit von Programmen Beispiel: Zustände vor/nach einem Zustandsübergang durch Vor-/Nachbedingungen (prädikatenlogische Formel) charakterisieren ormale ogik ist Grundlage des logischen Programmierens, des automatischen Theorem-Beeisens und anderer Zeige der KI digitaler Entur von Schaltkreisen ist eine Anendung der Aussagenlogik Mathematische und ormale ogik sind Synonyme, philosophische und andere ogiken unterscheiden sich davon Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos 1/49

3 4 Fußgänger-Ampel 2/49 Beispiel: Eine Fußgänger-Ampel dar nur ganz bestimmte Kombinationen an ichtzeichen zeigen. Die Funktionseise kann mittels ormaler ogik beschrieben erden. Die Fußgängerampel zeigt genau dann grün (F G ), enn die Verkehrsampel nicht grün ( A G ) zeigt: F G = A G F R = A G A E F R F G A R A E A G Die Verkehrsampel zeigt genau dann grün, enn sie eder rot oder gelb zeigt: A G = A E A R us. Speziikation mittels ormaler ogik Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

4 4.1 Aussagenlogik 3/49 Beispiel: Bauernregeln Gibt es Eis und Schnee im Januar, so beginnt sehr kalt das Jahr Es gibt Eis und Schnee im Januar Also beginnt das Jahr sehr kalt. Beispiel: Wenn es schneit, dann sind die Straßen glatt. Es schneit. Also sind die Straßen glatt. Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

5 4.1 Beobachtungen 4/49 Wir verknüpen Aussagen: es gibt Eis und Schnee im Januar das Jahr beginnt sehr kalt es gibt Eis und Schnee im Januar ir haben die Aussage das Jahr beginnt sehr kalt geolgert. es schneit die Straßen sind glatt es schneit ir haben die Aussage die Straßen sind glatt geolgert die Art des Schlusses ist derselbe. aus (a b) und a urde b geolgert. insbesondere ist der Schluß unabhängig von konkreten Inhalten. konkrete Inhalte sind Interpretationen. Schlußolgern ist syntaktische Herleitung von Formeln (Kalkül) trotzdem ist das richtig! (Korrektheit) können ir auch alles Richtige olgern? (Vollständigkeit) Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

6 4.1 Aussagenlogische Formeln 5/49 aussagenlogische Formel: Term mit Variablen in der initialen Termalgebra (Σ,V) zur Signatur Σ = { /0, /0, /1, /2, /2 } die Signatur entspricht der booleschen Algebra B: lies: als alsch als ahr als nicht als und als oder aber: ir issen noch nicht, ob auch die Gesetze V1-V10 gelten! atomare Aussage:,, p V, iteral:,, p,,, p syntaktisch korrekt augebaute Terme heißen (syntaktisch) korrekt hat nichts damit zu tun, ob sie semantisch ahr sind Beispiele: (es gibt Eis und Schnee im Januar) (das Jahr beginnt sehr kalt) x (y z) x Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

7 4.1 Abkürzungen und Konventionen 6/49 impliziert (auch: enn, dann, aus... olgt...) Abkürzungen: p q p q p q oder p q (p q) (q p) äquivalent (auch: genau dann, enn ) n i= 1 n i= 1 p p i i p 1 p n (auch bei abzählbar vielen p i ) p 1 p n (auch bei abzählbar vielen p i ) 0 i= 1 0 i= 1 p p i i,,,, heißen Junktoren Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

8 4.1 Klammern 7/49 Konventionen zum Weglassen von Klammern: bindet stärker als bindet stärker als bindet stärker als bindet stärker als Klammerung von,,, ist linksassoziativ, z.b. x y z = (x y) z Beispiel: p q r = (p q) r = (p q) r = ( (p q)) r Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

9 4.1 Interpretation von Formeln (I) 8/49 Ziel: Prüen, ob Formeln immer ahr sind (allgemeingültig, Tautologie) Formeln ahr sein können (erüllbar) Formeln nie ahr sein können (unerüllbar) dazu müssen Formeln interpretiert erden. Grundidee: Interpretation von Formeln durch Abbildung in eine boolesche Algebra mit Signatur Σ = { /0, /0, /1, /2, /2 } Abbildung durch Umbenennung der Signatur : Trägermenge B = {, }, ist alsch, ist ahr, Variable erden durch Substitution σ= [/v] bz. σ= [/v] abgebildet immer nur endlich viele Variable abbilden! in endlich vielen Formeln kommen nur endlich viele Variable vor Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

10 4.1 Interpretation von Formeln (II) 9/49 Beispiel: p q ist erüllbar: die Variablen (Elementaroperanden) p und q erden jeeils durch interpretiert: σ = [/p, /q] anenden p p ist allgemeingültig: unabhängig von der Interpretation des Elementaroperanden p ergibt sich nach Deinition des Komplements p p ist unerüllbar: unabhängig von der Interpretation des Elementaroperanden p ergibt sich nach der Deinition des Komplements Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

11 4.1 Belegungen und Interpretationen 10/49 Belegung: Substitution σ: V' {, }, endliche Teilmenge V' V ird abgebildet Interpretation σ : Abbildung von Formeln nach {, } unter Belegung σ: σ () = σ () = σ (a) = σ(a) ür a V σ ( F) = enn σ (F) = enn σ (F) = σ (F G) = σ (F G) = enn σ (F) = und σ (G) = sonst enn σ (F) = oder σ (G) = sonst Beachte: und und oder erden jetzt inhaltlich (semantisch) interpretiert! die Regel ür F interpretiert als es gilt nicht Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

12 4.1 Modell 11/49 Eine Interpretation σ heißt Modell ür eine Formel F, enn σ (F) = gilt. σ heißt Modell ür die Formelmenge, enn σ Modell ür alle F ist. erüllbare Formel F: es gibt eine Belegung σ, so daß σ (F) = oder: es gibt ein Modell σ ür die Formel F. allgemeingültige Formel F: ür alle Belegungen σ ist σ (F) = oder: alle Interpretationen σ sind Modelle ür F. unerüllbare Formel F: ür alle Belegungen σ ist σ (F) = oder: es gibt kein Modell ür F. Eigenschat: Eine Formel F ist genau dann allgemeingültig, enn F unerüllbar ist. Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

13 Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos 12/ Wahrheitstaeln: Beispiel Formel φ = ( p q) ( q r) p r Beachte: A B C D ist ahr, enn mindestens eine Formel A, B, C, D ahr ist. φist allgemeingültig, eil φ unter allen möglichen Belegungen ist. ( p q) ist erüllbar: es gibt Belegungen, unter denen sie ahr ird. φ ( p r) p r ( p q) p q q p r q p Interpretationen Belegungen

14 4.1 Beispiel II 13/49 Ψ = ( (p ( p q)) p) Zur Abkürzung deinieren ir: A = p q B = p ( p q) C = B p = (p ( p q)) p Belegungen Interpretationen p q p A B B C Ψ Ψ unerüllbar, eil die Interpretation unter allen Belegungen ergibt. Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

15 4.1 Wahrheitstaeln, Auand 14/49 Wahrheitstael ür eine Formel F mit n Variablen: Tabelle mit 2 n Zeilen alle Kombinationen von Belegungen der Variablen mit / aulisten dazu in einer Spalte das Ergebnis e(f) von F angeben (eventuell auch Ergebnisse von Teilormeln (nur zur Erleichterung)) F besitzt Modell (F erüllbar): mindestens einmal e(f) = F unerüllbar: immer e(f) = F allgemeingültig: immer e(f) = Auand dieser Prüungen: Größenordnung 2 n, n = Anzahl Variable Auand also exponentiell! Auandsklassiikation: P (polynomiell): Auand n k ür estes k NP (nicht-deterministisch polynomiell): Auand in jedem Einzelall polynomiell, aber mindestens exponentiell viele Fälle (liegt hier vor) EXP (exponentiell): Auand mindestens proportional zu 2 n Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

16 4.1 Folgerungen Folgerungen einer Formel φ aus einer Formelmenge : Jede Belegung von Variablen, die alle Formeln aus erüllt, ist auch eine erüllende Belegung ür φ. σ (φ) = ür alle Interpretationen σ, die Modell ür sind. Notation: φ steht ür die semantische Folgerung einer Formel φ aus einer Formelmenge Beispiel: {p, p q} q 15/49 Belegungen Interpretation Folgerung p q p q q also {p, p q} q Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

17 4.1 Kalküle 16/49 Ziel: Nacheis von Folgerungen ohne Ausrechnen aller Belegungen es gibt Eis und Schnee im Januar das Jahr beginnt sehr kalt es gibt Eis und Schnee im Januar Wir haben die Aussage das Jahr beginnt sehr kalt geolgert. es schneit die Straßen sind glatt es schneit Wir haben die Aussage die Straßen sind glatt geolgert. Beobachtung: Die Art des Schlusses ist derselbe. Aus Formeln der Form F G und der Formel F urde die Formel G geolgert. enbar ist die Folgerung richtig, egal as die Formeln F und Gsind Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

18 4.1 Schlußregeln 17/49 Ziel: syntaktische Herleitung von Folgerungen Notation: φ bezeichnet die syntaktische Herleitung einer Folgerung φ Beispiel einer Schlußregel: Modus Ponens F F G Prämisse G Konklusion Beobachtung: Das ar genau die Art von Argumentation in den bisherigen Beispielen. Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

19 4.1 Herleitung 18/49 Anendung einer Schlußregel: Wenn die Folgerungen in den Voraussetzungen (über dem Strich) gelten (durch Einsetzen der entsprechenden Formelmengen und Formeln), dann gilt auch die Folgerung in der Konsequenz (unter dem Strich, mit den entsprechend eingesetzten Formelmengen) Beispiel: F ür F in {p, p, q, r} p {p, p, q, r} p { F} { F} G G F {p, p, q} r Herleitung von φ: iste von Folgerungen i φ i, obei jedes i φ i aus vorherigen Folgerungen durch Anenden einer Schlußregel entsteht. Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

20 4.1 Diskussion 19/49 Beobachtung: Herleitungen sind ausschließlich syntaktisch kann im Rechner ablauen (z.b. in Expertensystemen) Was hat dies mit der Folgerung φzu tun? korrekter Kalkül : Wenn φ hergeleitet erden kann, dann gilt auch φ. vollständiger Kalkül : Wenn φgilt, dann kann auch φ hergeleitet erden Vollständige Regelmenge ür aussagenlogischen Kalkül siehe Buch 4.1.3, soie Vorlesungen Inormatik III und Formale Systeme Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

21 4.1 Vergleich: und F G Implikation Aussagenlogische Abkürzung ür den Ausdruck F G kann in einem Programm berechnet erden logische Aussage, die ahr oder alsch sein kann K G Ableitung 20/49 Es gilt das Theorem G unter der Annahme (Axiomenmenge). Diese Ableitung ird mit einem Metaprogramm (syntaktische Ersetzungen) realisiert. G ist mit Sicherheit aus ableitbar Beispiel: a b steht ür die einache Boolesche Funktion a b : a b 1 1 Wenn (a b) gilt, kann man daraus olgern, daß man a zur Formelmenge hinzunehmen und ( a) b olgern kann. Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

22 4.1 Vergleich: und 21/49 G Schluß G (Folgerung) olgt semantisch aus (Annahme) Die Annahme kann auch leer sein ( Tautologien) Voraussetzung: σ (G) = ür alle Interpretationen σ, die Modell ür sind. K G Ableitung G (Ableitung) ist in endlich vielen Schritten aus mittels des Kalküls K ( Regelerk ) ableitbar. Auch hier kann die Formelmenge leer sein. korrekter Kalkül K: vollständiger Kalkül K: Was man mittels dem Regelerk K ableiten kann, kann auch semantisch aus geolgert erden. Alles, as semantisch geolgert erden kann, kann man auch mittels einer endlichen Zahl von Regelanendungen aus K ableiten. Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

23 4.1 Noch einmal Herleitungen 22/49 Beispiel: Betrachte {p, p, q, r} {p, p, q, r} {p, p, q} p p r Beobachtung: analog kann man ür beliebige Formeln F zeigen, daß {p, p, q} F neue Schlußregel F F ex also quod libet G Aus Widersprüchen olgt beliebiges. Eine solche Formelmenge heißt inkonsistent. Eine Formelmenge, die nicht inkonsistent ist, heißt konsistent. Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

24 4.1 Anendung 23/49 Im Eingangsbeispiel Ampel haben ir das Problem durch Formelmengen deiniert. Solche Speziikationen müssen konsistent sein. Eine inkonsistente Speziikation kann beliebig implementiert erden. Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

25 4.1 Normalormen Disjunktive Normalorm: ϕ n m ij i= 1 j= 1 = 24/49 obei ij = p oder ij = p ür eine aussagenlogische Variable p ist. ij heißt iteral. Konjunktive Normalorm: ϕ = n m ij i= 1 j= 1 Satz: Jede aussagenlogische Formel kann in disjunktiver und in konjunktiver Normalorm geschrieben erden. Beeis: strukturelle Induktion über den Aubau von Formeln: iterale p, p bereits in DNF F, F bereits in DNF: Anendung von V10 (De Morgan) lieert einachere Formel F', danach eventuell V8,V9 F = F 1 F 2, F 1, F 2 bereits in DNF: F in DNF (nach Identiikation soohl in F 1 als auch in F 2 vorkommender Teilormeln) F = F 1 F 2, F 1, F 2 bereits in DNF: ortgesetzte Anendung von V5 (Distributivgesetz) (und V8, V9) lieert DNF Für KNF analog Auand NP! Grund: aus DNF kann Erüllbarkeit direkt abgelesen erden Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

26 4.1 Disjunktive Normalorm: Beispiel 25/49 Disjunktive Normalorm von F = ( (p ( p q)) p): F = (p ( p q)) p V10 = ((p p) (p q)) p V5 = p q p V8: p p =, eglassen = V8 Alternatives Verahren: Austellung Wahrheitstael vgl. Folie 13 Beispiel: F = ( p q) ( q r) p r (vgl. Folie 12) F = p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r Prinzip: ür jede Zeile mit Ergebnis e(f) = bilde konjunktiven Term, in dem mit belegte Variable positiv, mit belegte Variable negiert sind Belegung (,,): Term p q r Im Beispiel kommen alle 2 3 =8 konjunktiven Terme vor, da F allgemeingültig Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

27 4.1 Junktoren Wieviele perationen τ p bz. p τ q von k aussagenlogischen Variablen p, q mit potentiell unterschiedlichem Ergebnis gibt es? Antort: die Wahrheitstael hat 2 k Zeilen, die alternativ oder ergeben können, also 2 2^k Möglichkeiten k = 1: perationen p, p,, (identisch ahr/alsch) k = 2: 2 2^k = 16: 26/49 p Kommentar q p q identisch (p q) p q p nor q, p/q, Sheer-Strich p q (p q) p q q p q p q p (q p) q (p q) p q p xor q, exklusiv. oder p p q (p q) p q p nand q, Peirce Fkt. p q identisch Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

28 4.1 Einsichten und Anendungen 27/49 Der Sheersche Strich, die Peirce-Funktion, soie die Paare, und, genügen jeeils ür sich, um alle Junktoren auszudrücken Halbaddierer: p, q als Ziern 0/1, Ergebnis ist Summe und Übertrag (C), p + q = (s,ü) = (p xor q, p q) p Σ s C: carry out q C ü CI: carry in Volladdierer: p + q + ü = (s,ü) = (p xor q xor ü, ((p xor q) ü) nor (p q)) ü Σ s p q Σ C C 1 ü Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

29 4.1 Zusammenassung 28/49 Aussagenlogik dient der Formalisierung von Aussagen Syntax von Formeln basiert au aussagenlogischen Variablen und den peratoren (nicht), (und), (oder); Variable Aussage Die boolesche Algebra ist Grundlage der Interpretation von Formeln. Den Wahrheitsgehalt von Formeln kann man mit Wahrheitstaeln ausrechnen. Allgemeingültige Formeln sind immer ahr, erüllbare Formeln können ahr erden, unerüllbare Formeln sind nie ahr. Formeln kann man aus Formelmengen olgern ( F). Auch dies kann mit Wahrheitstaeln nachrechnen. Das Nachrechnen mit Wahrheitstaeln ist sehr auendig. Mit einem korrekten und vollständigen Kalkül kann man semantische Folgerungen einacher nacheisen ( F). DNF und KNF sind auendig herzustellen, aber Grundlage vieler Anendungen Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

30 4.2 Prädikatenlogik 29/49 Problem: in der Aussagenlogik bezeichnen Variable Aussagen keine Möglichkeit Aussagen p(x) über bjekte X zu machen Prädikatenlogik: Variablen bezeichnen bjekte, nur in ogik höherer Stue auch Aussagen bjekte erden repräsentiert durch Terme einer Termalgebra Aussagen p(x) über bjekte heißen Prädikate (über X) auch Aussagen q(x,y,...) über mehrere bjekte möglich: Prädikatssymbole p, q,... haben Stelligkeit p/1, q/2,... Prädikate sind atomare Formeln atomare Formeln kann man mit Junktoren verknüpen Gesetze und Regeln ie in der Aussagenlogik zusätzlich: mit Quantoren, kann man Prädikate über alle bjekte ormulieren oder die Existenz eines bjekts mit p(x) postulieren: X: p(x) bz. X: p(x) Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

31 4.2 Prädikatenlogik: Beispiel 30/49 Beispiel: Weisheiten Von je zei Politikern einer Versammlung von Politikern ist enigstens einer bestechlich. Ein Politiker der Versammlung ist unbestechlich. Also sind alle Politiker bis au einen bestechlich. Aus Smullyan: Dame oder Tiger, Fischer, 1992 Beobachtungen: Diese Weisheiten können nicht in Aussagenlogik ormalisiert erden, denn ir issen nicht, ie viele Politiker an der Versammlung teilnehmen. ir issen insbesondere nicht, elcher Politiker unbestechlich ist. ir reden von der Eigenschat, daß Politiker bestechlich sein können ir reden von allen Politikern und von der Existenz eines unbestechlichen Politikers. Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

32 4.2 Beispiel in Formeln 31/49 Beispiel: Weisheiten Von je zei Politikern einer Versammlung von Politikern ist enigstens einer bestechlich. Ein Politiker der Versammlung ist unbestechlich. Also sind alle Politiker bis au den einen bestechlich. Weisheiten als Formeln: p 1 p 2 : inversammlung(p 1 ) inversammlung(p 2 ) (p 1 = p 2 ) istbestechlich(p 1 ) istbestechlich(p 2 ) p: inversammlung(p) istbestechlich(p) p 1 : inversammlung(p 1 ) istbestechlich(p 1 ) p 2 : inversammlung(p 2 ) (p 1 = p 2 ) istbestechlich(p 2 ) Abkürzungen: x U: p statt x: x U p x,y: p statt x y: p (U implizit bekannt) (entsprechend ür, ot ohne Doppelpunkt oder durch Punkt ersetzt) Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

33 4.2 Beispiel: Sortieren 32/49 Eingabe: Daten (beliebiger Anzahl) in irgendeiner Reihenolge Ausgabe: dieselben Daten ie in der Eingabe, aber sortiert Probleme: Wie sehen diese Daten aus? Was heißt Reihenolge? Was heißt sortiert? Was heißt dieselben Daten? Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

34 4.2 Beispiel Sortieren: Antorten Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos 33/49 Wie sehen die Daten aus? Daten stammen aus einem Universum U. (x U) Was heißt Reihenolge? Reihenolge heißt, daß die Daten in einer iste (Monoid) angeordnet sind und die Elemente dieser iste bilden. (q U*, x q) Was heißt sortiert? sortiert verlangt, daß U total geordnet ist mit einer rdnung : x: x U x x x y: x U y U x y y x x = y x y z: x U y U z U x y y z x z x y: x U y U x y y x sortiert bedeutet, daß die Elemente in einer iste vorliegen, so daß alle Elemente z, die vor einem beliebigen Element x kommen, x sind: issorted([]) a: a U issorted([a]) a q: a U q U* (q = []) ( x: x q a x) issorted(q) issorted(append([a], q))

35 4.2 Beispiel Sortieren: Antorten 34/49 Was heißt dieselben Daten? dieselben Daten heißt, daß alle Elemente der Eingabeliste auch in der Ausgabeliste vorkommen und umgekehrt, auch mit der selben Vielachheit anz. Dazu Prädikat ist Permutation : x U: anz(x, []) = 0 x U: anz(x,[x]) = 1 x U y U: x y anz(x,[y]) = 0 x U q,q',q'' U * : q = append(q',q'') anz(x,q) = anz(x,q') + anz(x,q'') q q': isperm(q, q') x U: anz(x, q) = anz(x, q') Eingabe: q U* Ausgabe: sort(q) U* Ausgabebedingungen: isperm(q, sort(q)) issorted(sort(q)) Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

36 4.2 Formeln der Prädikatenlogik 1. Stue (I) 35/49 Alphabet ist ein Tripel = (V, Σ, Π) mit V ist Menge von Variablen Σ ist Signatur von Funktionssymbolen Π= Π (1) Π (2) ist Menge von Prädikats- oder Relationssymbolen p Π (n) heißt n-stelliges Prädikatsymbol Terme entstammen der initialen Grundtermalgebra (Σ, V) über der Signatur Σ mit Variablen V: Jede Variable x V ist ein Term. Wenn /n Σ, und t 1, t 2,, t n Terme sind, dann ist auch (t 1,, t n ) ein Term Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

37 4.2 Formeln der Prädikatenlogik 1. Stue (II) 36/49 atomare Formeln: Wenn t 1,, t n Terme und p Π (n) n-stelliges Prädikatsymbol ist, dann ist p(t 1,, t n ) eine atomare Formel Formeln: Jede atomare Formel ist eine Formel Wenn F und G Formeln sind, so auch F, F G und F G Wenn F Formel und x V Variable ist, dann ist auch x: F und x: F eine Formel Die Quantoren können sich nur au Termvariable beziehen Prädikatenlogik 2. Stue: es gibt auch Variable ür Prädikate und die Quantoren können sich auch au Prädikatsvariable beziehen p: p(x)... ür alle Eigenschaten p von X gilt... Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

38 4.2 gebundene und reie Variable (I) 37/49 Variable x komme in einer Formel F vor. x heißt gebunden in F, enn F hat die Form x: F' oder x: F' (F' heißt Wirkungsbereich des Quantors x bz. x) x kommt nur in einer Teilormel vor, z.b. F = p(y) x: q(x) x heißt rei in F, enn es außerhalb des Wirkungsbereichs eines Quantors x bz. x vorkommt x kann soohl rei als auch gebunden sein, z.b. in p(x,y) x: q(x) n: n N 0 + n = n alle Variablen n sind durch den Quantor n gebunden n N n N succ(n) = n Das erste n ist rei. Die anderen n sind gebunden. n: ( n N n: n = 0 ) Wirkungsbereich des Allquantors: n N n: n = 0 Aber nur das erste n ist an den Allquantor gebunden. Für die anderen verdeckt der Existenzquantor die Variable des Allquantors. Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

39 4.2 Interpretation 38/49 Gegeben sei ein Alphabet = (V, Σ, Π) und eine Struktur A = (U,I) U ist nichtleere Menge, der Individuenbereich oder das Universum von A I ist (partielle) Abbildung, die den (m) Σ Abbildungen I: U m U und den Prädikaten p (n) Π Relationen Ip U n zuordnet Belegung α: V U der Variablenmenge von in das Universum U Interpretation, gegeben durch (A,α), bildet alle Variablen, Terme und Prädikate in das Universum U und Relationen über U ab enn (F) = ( F) = enn (F) = (F G) = (F G) = ( x: F) = ( x: F) = enn (F) = und (G) = sonst enn (F) = oder (G) = sonst [a/x] (F): a ür alle in F reien x einsetzen, dann anenden enn [a/x] (F) = ür alle a U sonst enn [a/x] (F) = ür mindestens ein a U sonst Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

40 4.2 Modelle, Folgerungsbegri Interpretation heißt Modell ür Formel (oder Formelmenge) F, F, enn (F) = F heißt erüllbar/unerüllbar/allgemeingültig, enn es ein Modell gibt/nicht gibt/ür alle Interpretationen (F) = gilt Wie ür die Aussagenlogik gibt es ür die Prädikatenlogik erster Stue Kalküle K, um aus einer Formelmenge eine Formel F in endlich vielen Schritten zu olgern, F Korrektheit eines Kalküls: Wenn F dann F Vollständigkeit eines Kalküls (Gödel 1930): Wenn F dann F (bis hierher alles ie in der Aussagenlogik) Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik 1. Stue (Church 1936): Es gibt keinen Algorithmus, der in endlich vielen Schritten entscheidet, ob F gilt Unvollständigkeit der Prädikatenlogik 2. Stue (Gödel): Die Menge der semantisch korrekten Formeln der Prädikatenlogik 2. Stue ist nicht auzählbar Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos 39/49

41 4.2 Struktur und Modell (I) 40/49 Beispiel: Formel F = x y z (P(x, y, z) P(x, z, y) P(z, y, x)) Struktur A = (U,I) mit: U = N {0} P = { (r, s, t) r, s, t N, r < s t } Ist A ein Modell ür die Formel F? P(x, y, z) ist ahr ür: x < y x < z y z P(x, z, y) ist ahr ür: x < z x < y z y Widerspruch P(z, y, x) ist ahr ür: z < y z < x y x Die Struktur ist also kein Modell ür die Formel. Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

42 4.2 Struktur und Modell (II) 41/49 Beispiel: Formel F = x y z (P(x, y) P(z, y) P(x, z) P(z, x)) Struktur A = (U,I) mit: U = (N) P = { (R, S) R, S N, R S } Ist A ein Modell ür die Formel F? Relationen: Y P(x,y) = { (X, Y) X, Y N, X Y } Z X P(z,y) = { (Z, Y) Z, Y N, Z Y } P(x,z) = { (X, Z) X, Z N, X Z } 1. Aus m X olgt m Z, damit IP(x,z) ahr ist. 2. Aus m Z olgt m Y, damit IP(z,y) ahr ist. 3. Daher gilt x Y, enn m X; somit gilt IP(x, y). 4. Sei nun X Z, m Z X, also m X, dann ist IP(z, x) erüllt. Aus olgt: Struktur A ist ein Modell ür die Formel: ähle X Z Y. Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

43 4.2 Rechenregeln ür Quantoren 42/49 Aus der Deinition einer Interpretation olgt, daß die olgenden Umormungen bei Formeln mit Quantoren semantisch korrekt sind: eine gebundene Variable x dar in einer Formel Qx: F durch eine Variable y ersetzt erden, enn y in F nicht rei vorkommt. Neue Form: Qy: F[y/x] (mit Q {, }) es gilt x: F = x: F, x: F = x: F F 1 Q x: F 2 = Q x: F 1 F 2, F 1 Q x: F 2 = Q x: F 1 F 2, enn x in F 1 nicht rei vorkommt x y: F = y x: F Aber: ( y x: F) ( x y: F) aber nicht umgekehrt Beispiel: Stetigkeitsdeinition in der Analysis also: man dar Variable umbenennen, Negation mit Vertauschung durchziehen, Quantoren vorziehen und Allquantoren untereinander vertauschen man dar nicht immer Existenz- und Allquantoren vertauschen Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

44 4.2 Normalormen (I) 43/49 Eine Folge von Quantoren P = Qx 1 Qx k, Q {, } heißt Präix einer Formel F = PF' = Qx 1 Qx k F'. F beindet sich in pränexer Normalorm, enn F' quantorenrei ist. Es gilt der Satz: Jede prädikatenlogische Formel F kann in eine äquivalente Formel G in pränexer Normalorm überührt erden. Beispiel: F= x y (p(x) q(x, y)) x r(x) Beseitigung der negierten Quantoren und Bereinigung von F: F' = x y (p(x) q(x, y)) z r(z) Quantoren vorziehen: F''= x y z (p(x) q(x, y)) r(z) F''ist in pränexer Normalorm. Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

45 4.2 Normalormen (II) 44/49 Eine pränexe Normalorm kann leider nicht so standardisiert erden, daß zu Beginn die Allquantoren und dahinter die Existenzquantoren kommen. Es gibt aber eine semantisch äquivalente Normalorm, die nur noch die Allquantoren aueist. Satz: Zu jeder prädikatenlogischen Formel F gibt es eine Formel G mit G = x 1 x k G', k 0 G' quantorenrei F ist genau dann erüllbar, enn G erüllbar ist. G heißt Skolemorm von F Die Skolemorm erreicht man, indem man die durch Existenzquantoren gebundenen Variablen nacheinander durch Skolemunktionen ersetzt, die von den Variablen der vorausgehenden Allquantoren abhängt. Beispiel: u v x y: p(u,v,x,y) ird ersetzt durch die Skolemorm u x: p (u,sk v (u),x,sk y (u,x)) Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

46 4.2 Satz von Herbrand 45/49 Jacques Herbrand, , ranzösischer ogiker Gegeben sei eine Formel (oder Formelmenge) F, Σ F Σsei die Menge der in F vorkommenden Funktionssymbole enthält Σ F kein 0-stelliges Funktionssymbol, so nehmen ir noch ein solches hinzu Die initiale Grundtermalgebra G 0 (Σ F ) heißt Herbrand-Universum (F) zu F. Ist = (A,α) ein Modell der Formel F ohne reie Variable (geschlossene Formel), so kann man daraus ein Modell ' = ( (F), α) über dem Herbrand-Universum, die Herbrand-Interpretation, herleiten Die Herbrand-Interpretation ' erüllt ebenalls F und heißt ein Herbrand-Modell. Satz von Herbrand: Wenn eine Formel ohne reie Variable kein Herbrand-Modell besitzt, so ist sie unerüllbar. Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

47 4.2 Horn-Klauseln, Resolutionskalkül Alred Horn, noregischer ogiker Gegeben seien atomare Formeln p 1,...,p m,q Hornklausel: p 1 p 2... p m q = p 1 p 2... p m q Implikation: m 1 Faktum: m = 0 Anrage: q ehlt Resolution (Robert Koalski): gegeben eine Hornormel, beeise, daß eine Anrage G in erüllbar ist. Es gilt G mit geeigneter Variablenbelegung, enn die Negation ( G) = ( G) = G unerüllbar ist ende dazu den Satz von Herbrand an: G ist unerüllbar, enn es ein Gegenbeispiel, d.h. ein Modell ür G, gibt In der Prädikatenlogik: p 1,...,p m,q, G sind atomare Prädikate über der initialen Grundtermalgebra (Σ F, V) mit Variablen alle Variablen sind all-quantiiziert (implizit, Allquantor nicht explizit geschrieben) dem Gegenbeispiel liegt eine Belegung α: V G 0 (Σ F ) zugrunde ermittle α durch Uniikation: bestimme allgemeinsten Uniikator Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos 46/49

48 4.2 ogisches Programmieren: Prolog 47/49 Alain Colmerauer, ranzösischer Inormatiker Idee von Prolog: ende Resolution au Hornklauseln an mache das Verahren deterministisch, indem die Klauseln in ester Reihenolge vorgegeben erden uniiziere die Anrage G mit dem Kop q der ersten dazu geeigneten Hornklausel H; lautet diese p 1 p 2... p m q, so üge p 1 σ,...,p m σ der iste zu erüllender Anragen hinzu σ: durch die bisherigen Uniikationen deinierte Variablensubstitution Immer die zuletzt der iste zugeügte Anrage ird als erstes bearbeitet läßt sich G so nicht erüllen, so suche die in der Reihenolge nach H nächste passende Hornklausel H' Gibt es keine solche Hornklausel H', so schlägt die Anrage G ehl: es ird kein Modell ür G geunden negation by ailure: Wird kein Modell geunden, so heißt das noch nicht, daß das Gegenteil ahr ist! Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

49 4.2 Prolog: Schreibeise 48/49 Konventionen: Variablenbezeichner beginnen mit Großbuchstaben, alle anderen Bezeichner mit Kleinbuchstaben _ ist ein Variablenbezeichner echselnder Identität Hornklauseln p 1 p 2... p m q q :- p 1,...,p m. Komma statt, abschließender Punkt Faktum: q. abschließender Punkt Anrage:?- G. abschließender Punkt Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos

50 4.2 Beispiel: ormales Dierenzieren 49/49 Prolog-Programm di(u+v,x,du+dv) :- di(u,x,du), di(v,x,dv). di(u-v,x,du-dv) :- di(u,x,du), di(v,x,dv). di(u*v,x,u*dv+v*du) :- di(u,x,du), di(v,x,dv). di(u/v,x,(v*du-u*dv)/v*v):- di(u,x,du), di(v,x,dv). di(x,x,1). di(y,x,0) :- constant(y). Anragen?- di(x*x,x,e). E = x*1 + 1*x?- di(a*x+b,x,e). E = a*1 + 0*x + 0?- di(x^2,x,e) no Inormatik I WS 03/04 - Pro. Dr. Gerhard Goos