Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 14.

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1 Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg Wintersemester 16/17 Sitzung vom 14. Dezember 2016

2 Die formale Sprache der Prädikatenlogik: Zeichen Benutzt werden folgende Zeichen: fester Anteil aller Sprachen die aussagenlogischen Junktoren die Quantoren: der Existenzquantor und der Allquantor Individuenvariablen v w x y z v 0 v 1... Klammern ( ) und Gleichheitszeichen = variabler Anteil der Sprache L die Konstanten c d e... und Relationszeichen P Q R... in L (inklusive Aussagenvariablen und Prädikate)

3 Die formale Sprache der Prädikatenlogik: Terme Terme bezeichnen Elemente einer Struktur. L-Terme sind alle Individuenvariablen alle Konstanten in L

4 Die formale Sprache der Prädikatenlogik: atomare Formeln Die folgenden Zeichenketten sind (prädikatenlogische) L-Formeln, und zwar atomare L-Formeln, weil sie nicht aus einfachereren Formeln aufgebaut sind. und τ 1 = τ 2, wenn τ 1 und τ 2 L-Terme sind R τ 1... τ n, wenn R ein n-stelliges Relationszeichen in L ist und τ 1,..., τ n L-Terme sind (insbesondere): P τ, wenn P ein Prädikat in L ist und τ ein L-Term. A, wenn A eine Aussagenvariable in L ist

5 Die formale Sprache der Prädikatenlogik Beliebige L-Formeln entstehen aus den atomaren Formeln durch folgende Zusammensetzungsregeln: (Junktorenregeln): Wenn F und F L-Formeln sind, dann auch F (F F ) (F F ) (F F ) (F F ) L-Formeln. (Quantorenregeln): Wenn F eine L-Formel ist und v eine (beliebige) Individuenvariable, dann sind auch L-Formeln. v F und v F

6 Prädikatenlogik: eindeutige Lesbarkeit/Formelbaum Ebenso wie in der Aussagenlogik gilt für prädikatenlogische Formeln die eindeutige Lesbarkeit, d. h. es gibt nur eine Art und Weise, wie eine Formel nach den Regeln zusammengebaut ist. (Quantoren v und v verhalten sich wie einstellige Junktoren.) Die Formeln, die im Aufbauprozess vorkommen, heiÿen wieder Teilformeln. Den Aufbau der Formel kann man wie in der Aussagenlogik durch einem Formelnbaum darstellen, in dem alle Teilformeln vorkommen.

7 Prädikatenlogik: Interpretation in Strukturen Wenn L eine prädikatenlogische Sprache ist, dann ist eine Struktur M eine L-Struktur, wenn es zu jedem Zeichen in L eine Interpretation in M gibt, d. h. für jede Konstante c in L ein festes Element c M in M für jedes (n-stellige) Relationszeichen R in L eine feste n-stellige Relation (Beziehung/Eigenschaft) R M über M (d. h. für jede Auswahl von n Objekten aus M steht fest, ob diese die Relation erfüllen oder nicht) (insbesondere): für jedes Prädikat in L eine feste Teilmenge von M (alle Objekte in M, auf die das Prädikat zutrit) für jede Aussagenvariable in L eine feste Aussage über M (die wahr oder falsch ist). Erinnerung: M ist eine nicht-leere Menge

8 Prädikatenlogik: Interpretation von Termen Sei L eine prädikatenlogische Sprache und M eine L-Struktur. Um Terme auswerten zu können, muss man wissen, was mit den Individuenvariablen geschehen soll. Dazu braucht man eine Belegung der Individuenvariablen (mit Werten in M), d. h. eine Zuordnung (Funktion) β, die jeder Individuenvariablen v ein Objekt β(v) in M zuordnet. Dann wird ein L-Term τ unter der Belegung β folgendermaÿen durch ein Objekt τ M [β] interpretiert: v M [β] = β(v) für jede Individuenvariable v. c M [β] = c M für jede Konstante c in L. Dies bedeutet: Individuenvariablen bezeichnen dasjenige Objekt der Struktur, das die Belegung auswählt; Konstanten bezeichnen dasjenige Objekt, das in der Denition der Struktur festgelegt wird.

9 Prädikatenlogik: Interpretation von atomaren Formeln Sei L eine prädikatenlogische Sprache und M eine L-Struktur. Für jede L-Formel F soll nun bestimmt werden, wann F in der Struktur M unter der Belegung β gilt. gilt stets und gilt nie. τ 1 = τ 2 gilt, wenn τ 1 und τ 2 durch das gleiche Objekt in M interpretiert werden, also wenn τ M 1 [β] = τ M 2 [β]. R τ 1... τ n gilt, wenn die Relation R M auf die Objekte zutrit, die τ 1,...,τ n in M interpretieren. (insbesondere): P τ, gilt, wenn das Prädikat P M auf das Objekt τ M [β] zutrit A, gilt wenn die Aussage A M in M gilt. Man schreibt: M = F [β], wenn F in M unter β gilt, und M = F [β] andernfalls.

10 Prädikatenlogik: Interpretation zusammengesetzter Formeln Wenn eine prädikatenlogische Formel durch aussagenlogische Junkoren zusammengesetzt wird, dann erklärt sich die Gültigkeit in einer Struktur durch die Wahrheitswertfunktionalität des Junktors. Eine Formel v F gilt in M unter β, wenn die Formel F in M unter allen Belegungen gilt, die aus β entstehen, indem man den Wert von v beliebig abändert. Eine Formel v F gilt in M unter β, wenn es eine Belegung β gibt, die aus β dadurch entsteht, dass der Wert von v geeignet abgeändert wird, und so, dass F in M unter β gilt.

11 Prädikatenlogik: Wirkungsbereiche von Quantoren Der Wirkungsbereich eines Quantors ist diejenige Teilformel, vor der er steht (d. h. diejenige Teilformel F, auf die die Quantorenregel angewandt wird, damit v F bzw. v F entsteht). Eine Individuenvariable v ist gebunden durch einen Quantor v oder v, wenn sie in seinem Wirkungsbereich steht. Individuenvariablen sind frei in einer Formel, wenn sie nicht durch einen Quantor gebunden sind. (Das v bei v bzw. v zählt zum Quantor und ist weder gebunden noch frei.) Eine L-Formel, die keine freien Individuenvariablen hat, heiÿt L-Satz oder L-Aussage.

12 Prädikatenlogik: Wirkungsbereiche von Quantoren Beispiel: P einstellig, R zweistellig (P v0 v2 ( v2 v1 v1 (P v1 R v2v1) R v1v2) ) frei (P v0 v2 ( v2 v1 v1 (P v1 R v2 v1 ) R v1 v 2 )) bindet frei

13 Prädikatenlogik: Sätze Beobachtung: Wenn F eine L-Formel ist und M eine L-Struktur, dann kommt es bei der Frage, ob F in M unter einer Belegung β gilt, nur auf die freien (Individuen-)Variablen von F an. Mit anderen Worten: Wenn β und β auf den freien Variablen von F übereinstimmen, gilt gleichermaÿen M = F [β] wie M = F [β ]. Folgerung: Wenn F ein L-Satz ist und M eine L-Struktur, kann man unabhängig von Belegungen sagen, ob F in M gilt oder nicht. Man schreibt M = F und sagt (analog M = F ) F trit in M zu F gilt in M F ist wahr in M M erfüllt F M ist Modell von F

14 Prädikatenlogik: allgemeingültige Sätze Ein L-Satz heiÿt allgemeingültig, wenn er in allen L-Strukturen gilt. Eine L-Formel heiÿt allgemeingültig, wenn sie in allen L-Strukturen unter allen Belegungen gilt. Man schreibt dafür: = F Wenn F = F (v 1,..., v n ) eine L-Formel mit freien Variablen v 1,..., v n ist, dann ist F genau dann allgemeingültig, wenn v 1... v n F allgemeingültig ist. Ein L-Satz heiÿt erfüllbar, wenn es eine L-Struktur gibt, in der er gilt. Eine L-Formel heiÿt erfüllbar, wenn es eine L-Struktur und eine Belegung gibt, unter der sie gilt.

15 Prädikatenlogik: logische Äquivalenz Zwei L-Sätze heiÿen (logisch) äquivalent zueinander, wenn sie in allen L-Strukturen gleichermaÿen gelten bzw. nicht gelten. Zwei L-Formeln heiÿen (logisch) äquivalent zueinander, wenn sie in allen L-Strukturen und unter allen Belegungen gleichermaÿen gelten bzw. nicht gelten. L-Sätze F und G sind genau dann logisch äquivalent zueinander sind, wenn (F G) allgemeingültig ist. Vorsicht: L-Formeln F und G (mit freien Variablen v 1,..., v n ) sind genau dann äquivalent zueinander, wenn v 1... v n (F G) allgemeingültig ist. Dies ist nicht gleichbedeutend damit, dass ( v 1... v n F v 1... v n G) allgemeingültig ist! x = a y = a, aber x x = a y y = a bzw. x y x = a x y y = a

16 Prädikatenlogik: Äquivalenz und logische Folgerung Beobachtung: Unnötige Quantizierungen stören nicht, d. h. wenn v keine freie Variable von F ist, dann ist F v F v F Ein L-Satz F folgt aus einer Menge von L-Sätzen P 1, P 2,..., wenn F in allen L-Strukturen gilt, in denen alle P 1, P 2,... gelten. Eine L-Formel F folgt aus einer Menge von L-Formeln P 1, P 2,..., wenn F in allen L-Strukturen und unter allen Belegungen gilt, unter denen alle P 1, P 2,... gelten. Ein L-Satz F folgt genau dann aus L-Sätzen P 1,..., P n, wenn ((P 1 P n ) F ) allgemeingültig ist. Für Formeln gilt das zur Äquivalenz Gesagte analog!