Aufgabe 1. n b i i i i i 1 i 1. log( a ) b log a, a 0. n b b b b. log( a ) log a a... a. i 1 2 n. i 1 2 n. log( a ) log a log a...

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1 Augabe 1 n n b i i i i i 1 i 1 i log( a ) b log a, a 0 n i 1 b b b b i 1 n log( a ) log a a... a n i 1 n b b b b i 1 n log( a ) log a log a... log a i 1 n i 1 n i log( a ) b log a b log a... b log a i 1 b i 1 1 n n b log a b log a... b log a b log a 1 1 n n i i i 1 n n n b i i i i i 1 i 1 i log( a ) b log a, a 0 Grundkurs Mathematik ür WiWi WS 014-1

2 Aussagen in der Mathematik Aussagen sind statements, die enteder ahr oder alsch sind. Die Arbeitslosenquote sank im September gegenüber dem Vormonat. Gute Nacht. Hängen Aussagen von Variablen (zum Beispiel ) ab, so spricht man von Aussageormen. Für alle natürlichen Zahlen gilt: ist Quadratzahl. Es gibt eine Primzahl, die gerade ist. Grundkurs Mathematik ür WiWi WS 014 -

3 Aussageverknüpungen Hans studiert Betriebsirtschat und ist im 1. Semester Hans studiert oder er macht Urlaub. Enteder studiert Hans oder er macht Urlaub. Konjunktion UND Disjunktion ODER Implikation DARAUS FOLGT ; WENN DANN Äquivalenz GENAU DANN, WENN Alternative ENTWEDER ODER Grundkurs Mathematik ür WiWi WS 014-3

4 Wahrheitserte von Aussageverknüpungen Die Wahrheitserte können unabhängig von konkreten Aussagen ermittelt erden. Aussagevariable: p, q, A, B, aussagelogische Konstanten:,,,, Wahrheitsertetabellen: Grundkurs Mathematik ür WiWi WS 014-4

5 Negieren von Aussagen und Aussageverknüpungen Beim Negieren einer Aussage A trägt die Negation Ā (auch A) den zu A entgegengesetzten Wahrheitsert. A Ā Entickeln einer Tabelle der Wahrheitserte p q p q p q p p p p q Grundkurs Mathematik ür WiWi WS 014-5

6 Augabe a) p p q b) q p q p q p p q p p q q p p q q q p q p q q p q p Grundkurs Mathematik ür WiWi WS 014-6

7 Augabe c) q ( p q) p p p q q p q q ( p q) q ( p q) p Der Ausdruck ist eine allgemeingültige Aussage (Tautologie). Grundkurs Mathematik ür WiWi WS 014-7

8 Augabe 4 p q r r q p verallg. Struktur: A B B p A A B B A B B A Die Wahrheitserteverläue der Ausdrücke A B und B A sind gleich; beide Ausdrücke sind daher logisch äquivalent. Wenn Hans studiert (), dann macht er keinen Urlaub (). Wenn Hans Urlaub macht (), dann studiert er nicht (). Grundkurs Mathematik ür WiWi WS 014-8

9 Augabe 4 p q r p q r r q p Beispiele zu b) + 4 = 6 / = 0 /0 Grundkurs Mathematik ür WiWi WS 014-9

10 Augabe 4 Beeis nach linker Seite: p q r a + b = (a + b), d.h., s Beeis nach rechter Seite: q r p r : s r : s Annahme: trotz q und r ist p gerade s = (a + b) +1 s q = a + b + 1 -b = a + 1 p = s q = a + 1 p (Widerspruch zur Annahme) Grundkurs Mathematik ür WiWi WS

11 Augabe 3 Wenn der Verkehr dicht ist und die Verkehrsteilnehmer unaumerksam, dann passieren viele Unälle. Typische Vorschläge ür die Negation: Wenn der Verkehr nicht dicht ist und (oder) die Verkehrsteilnehmer achtsam sind, dann passieren enige Unälle. Einühren aussagelogischer Variablen: d Verkehr ist dicht; u Teilnehmer sind unaumerksam; v viele Unälle Logische Struktur: d u v Negation: Der Verkehr ist dicht und die Verkehrsteilnehmer sind unachtsam aber (und) es passieren enige Unälle. Grundkurs Mathematik ür WiWi WS

12 r s r s r s (r s) r s p q r p q r d u v (d u) v d u v Grundkurs Mathematik ür WiWi WS 014-1

13 Augabe 5 A: N ist eine gerade Zahl. B: A B A: 4 B: ist eine ganze Zahl A B B A 5 aber 5 4 A: R < 1 B: < 1 B A B A 1 1 z.b.: A B A: und y sind positive Zahlen B:. y ist eine positive Zahl A B B A 4 ( ) Grundkurs Mathematik ür WiWi WS

14 Augabe 6 1y ( y 5) y y 1y y 6 1 y 8 3 y Grundkurs Mathematik ür WiWi WS

15 Augabe 7 a) alsch ; Konjunktion mit 3 > 5 alsch b) ahr ; Disjunktion mit < 5 ahr c) alsch ; Disjunktion m it ahr alsch Negation von Aussageormen Nicht ür alle gilt ist äquivalent zu: es gibt ein ür das nicht gilt Es gibt kein ür das gilt ist äquivalent zu: Für alle gilt nicht Grundkurs Mathematik ür WiWi WS

16 Augabe 8 Teil L keine reelle Lösung graische Interpretation : 5 10 mit keine reelle Lösung Grundkurs Mathematik ür WiWi WS

17 Augabe 8 (noch)teil 1 : 5 10 mit S(,5 3,75) : a b c mit a, b, c, a 1, b : p, c : q p p S( D) mit D q 4 egen a=1 und c 0 nach oben geönete und verschobene Normalparabel : 5 10 mit : ( ) 5 ( ) 10 ( ) 3, 75 ür : d e S( d e) S(, 5 3,75) y () Grundkurs Mathematik ür WiWi WS

18 Augabe 8 Teil 0 Allaussage; Widerlegen durch Gegenbeispiel bedeutet: inde eine reelle Zahl mit bedeutet: inde eine reelle Zahl mit ( 0) 0 = 0 y () Grundkurs Mathematik ür WiWi WS

19 Augabe 8 Teil 1 (Negation) bz nicht ür alle gilt äquivalent zu es gibt ein, ür das nicht gilt y () alsche Aussage Grundkurs Mathematik ür WiWi WS

20 Augabe 8 Teil (Negation) 0 bz. 0 ( 0) y () 0 ahre Aussage Grundkurs Mathematik ür WiWi WS 014-0

21 Augabe 9 Grundkurs Mathematik ür WiWi WS 014-1

22 Augabe 9 Grundkurs Mathematik ür WiWi WS 014 -

23 Man ermittle, elche Speise durch nacholgend augegebene Bestellung eindeutig bestellt ird: Ernst bestellt im Restaurant: Enteder nehme ich ein Eis oder eine Brühe. Wenn ich ein Steak nehme, dann nehme ich auch ein Eis. Ich nehme eine Brühe genau dann, enn ich ein Steak nehme. Grundkurs Mathematik ür WiWi WS 014-3