TU9 Aussagenlogik. Daniela Andrade

Transkript

1 TU9 Aussagenlogik Daniela Andrade / 21

2 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf findet ;) 2 / 21

3 Bitte nicht verwechseln! 3 / 21

4 TA 1 Äquivalenzen in der Aussagenlogik 4 / 21

5 Wie überprüfen wir, ob zwei Formeln logisch äquivalent sind? 1 Möglichkeit: Vergleiche die Semantikspalten der Wahrheitstabellen 2 Möglichkeit: Mit Hilfe von KV-Diagrammen... :) 3 Möglichkeit: Mit Hilfe von Äquivalenzregeln 5 / 21

6 Äquivalenzregeln Seien F, G und H aussagenlogische Formeln. Ein paar nützliche Äquivalenzregeln sind: F true F F false F (Identität) F true true F false false (Dominanz) F F F F F F (Idempotenz) F F (Doppelte Negation) F F true F F false (Triv. Taut./Kontr.) F G G F F G G F (Kommutativität) (F G) H F (G H) (F G) H F (G H) (Assoziativität) F (G H) (F G) (F H) F (G H) (F G) (F H) (Distributivität) (F G) F G (F G) F G (De Morgan) F G (F G) (F G) F G (F G) (G F ) (Exklusives-Oder) F G F G F G F G (Implikation) F G (F G) (G F ) F G (F G) (Bikonditional) 6 / 21

7 TA KNF & DNF 7 / 21

8 Literale Ein Literal ist eine Variable oder die Negation einer Variable. Beispiel Die Menge aller Literale über V = {p, q, r} ist {p, q, r, p, q, r}. 8 / 21

9 Disjunktionen Eine Disjunktion F von Formeln F 1,..., F n ist eine Formel der Form F = F 1... F n. Beispiel F = (q (p r)) (r q) p (p q) ist eine Disjunktion. 9 / 21

10 Konjunktionen Eine Konjunktion F von Formeln F 1,..., F n ist eine Formel der Form F = F 1... F n. Beispiel F = (p q) q (q r) (p q s) ist eine Konjunktion. 10 / 21

11 Disjunktive Normalform Sei V eine beliebige Menge. Beispiel eine Formel über V heißt DNF-Klausel, falls sie eine Konjunktion von Literalen ist. Eine Formel über V in disjunktiver Normalform (DNF) ist eine Disjunktion von DNF-Klauseln. Folgende Formel F über V = {p, q, r, s} ist in DNF: F = ( p r s) ( q s) (p q r s) }{{}}{{}}{{} ( r s) }{{} Konjunktion Konjunktion Konjunktion Konjunktion }{{} Disjunktion 11 / 21

12 Konjunktive Normalform Sei V eine beliebige Menge. Beispiel eine Formel über V heißt KNF-Klausel, falls sie eine Disjunktion von Literalen ist. Eine Formel über V in konjunktiver Normalform (KNF) ist eine Konjunktion von KNF-Klauseln. Folgende Formel F über V = {p, q, r, s} ist in KNF: F = ( p r s) ( q s) (p q r s) }{{}}{{}}{{} ( r s) }{{} Disjunktion Disjunktion Disjunktion Disjunktion }{{} Konjunktion 12 / 21

13 Vollständige Normalformen Eine Formel ist in vollständiger DNF oder KNF, falls alle Klauseln in ihr genau dieselben Variablen besitzen. 13 / 21

14 Rezept Frage: Wie findet man eine zu einer gegebenen Formel F äquivalente Formel in vollständiger DNF bzw. KNF? Methode: Zuerst stelle die Wahrheitstafel der Formel F auf. Dann: DNF: 1 Wähle Zeilen mit Ergebnis 1. 2 Bilde für jede Zeile eine Konjunktion aller Variablen (mit ), in der alle mit 0 belegten Variablen negiert sind und die anderen nicht. 3 Bilde eine Disjunktion aller Konjunktionen (mit ). KNF: 1 Wähle Zeilen mit Ergebnis 0. 2 Bilde für jede Zeile eine Disjunktion aller Variablen (mit ), in der alle mit 1 belegten Variablen negiert sind und die anderen nicht. 3 Bilde eine Konjunktion aller Disjunktionen (mit ). 14 / 21

15 TA 2+3 DPLL-Algorithmus 15 / 21

16 Ersetzen von Variablen Sei V eine Variablenmenge und F eine KNF-Formel mit p V F. F [p\ true] bezeichnet die Formel, die entsteht, in dem jedem Vorkommnis von p in F durch true ersetzt wird. F [p\ false] bezeichnet die Formel, die entsteht, in dem jedem Vorkommnis von p in F durch false ersetzt wird. Nachdem eine Variable mit true oder false belegt wurde, kann die entstehende Formel mit folgenden Regeln vereinfacht werden: F true F, F true true, true false, F false false, F false F, false true. 16 / 21

17 Beispiel Sei F folgende KNF-Formel über V = {p, q, r, s}: Dann gilt und F = ( p q s) (p q s) (p q r) ( p r s). F [p\ true] ( p q s) (p q s) (p q r) ( p r s) (q s) ( r s) F [p\ false] ( p q s) ( p q s) ( p q r) ( p r s) ( q s) (q r). 17 / 21

18 Infos F [p\ true] entspricht also F ohne Vorkommnisse von p und ohne Klauseln, die p enthalten. F [p\ false] entspricht also F ohne Vorkommnisse von p und ohne Klauseln, die p enthalten. 18 / 21

19 DPLL DPLL überprüft die Erfüllbarkeit einer KNF-Formel. KNF-Formeln werden als Mengen dargestellt. Zum Beispiel: ( p q r) q (r s) {{ p, q, r}, {q}, {r, s}} Achtung mit der leeren Menge {}: {{}} ˆ= leere Klausel ˆ= leere Disjunktion ˆ= false {} ˆ= leere Formel ˆ= leere Konjunktion ˆ= true 19 / 21

20 Rezept Frage: Wie überprüft man mit dem DPLL-Algorithmus, ob eine gegebene KNF-Formel F erfüllbar ist? Methode: Führe den Algorithmus aus ;-) 1 Wenn F = {} (d.h. F = true), dann antworte erfüllbar ; 2 Wenn F = {{}} (d.h. F = false), dann antworte unerfüllbar ; 3 Sonst: 4 Wenn OLR für eine Variable p (bzw. p) gilt: 5 Führe den Algorithmus für F [p\ true] (bzw. F [p\ false]) aus; 6 Wenn PLR für eine Variable p (bzw. p) gilt: 7 Führe den Algorithmus für F [p\ true] (bzw. F [p\ false]) aus; 8 Sonst wähle eine Variable p V F in alphabethischer Reihenfolge und: 9 Falls F [p\ true] erfüllbar ist, antworte erfüllbar ; 10 Falls F [p\ false] erfüllbar ist, antworte erfüllbar ; 20 / 21

21 Infos Kommt man auf eine Formel, die die leere Klausel enthält, so ist diese äquivalent zu false. Dann müssen wir zur letzten Verzweigung zurück gehen und von da aus weitermachen. Liefern alle Pfade false, so ist die Formel unerfüllbar. Bei DPLL ist die Lösung nicht immer eindeutig! Wir können die Reihenfolge, in der Variablen ersetzt werden, und den Wert, durch den sie ersetzt werden, selber wählen. Der Algorithmus hält, sobald die leere Menge zum ersten Mal gefunden wird. 21 / 21