5. Vorlesung: Normalformen
|
|
- Marielies Stein
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 5. Vorlesung: Normalformen Wiederholung Vollständige Systeme Minterme Maxterme Disjunktive Normalform (DNF) Konjunktive Normalform (KNF) 1
2 XOR (Antivalenz) X X X X X X ( X X ) ( X X ) X X X X X X ( X X ) ( X X )
3 XOR, 3
4 XNOR (Äquivalenz) X X X X X X ( X X ) ( X X ) X X X X X X ( X X ) ( X X )
5 XNOR, 5
6 Vollständige Systeme 6
7 Vollständiges System aus UND, ODER und NICHT Die drei Grundverknüpfungen der Booleschen Algebra bilden ein vollständiges System. Dies bedeutet, dass mit diesen drei Verknüpfungen eine beliebige Schaltung aufgebaut werden kann. Für den Schaltungsentwurf müssen demnach nur drei Verknüpfungen zur Verfügung stehen. 7
8 Vollständiges System aus NAND I Bildet die NAND Verknüpfung ebenfalls ein vollständiges System? Es ist zu überprüfen ob UND,ODER und NICHT ausschließlich mit NAND Gattern realisiert werden können. 8
9 Vollständiges System aus NAND II NICHT Y = X X = X 1 X = X X Schaltungsaufbau? 9
10 Vollständiges System aus NAND III UND Y = ( X X ) 1 2 ( X X ) = ( X X ) = ( X X ) ( X X ) Schaltungsaufbau? 10
11 Vollständiges System aus NAND IV ODER Y = ( X X ) 1 2 ( X X ) = ( X X ) = ( X X ) = ( X X ) ( X X ) Schaltungsaufbau? 11
12 Vollständiges System aus NOR I Bildet die NOR Verknüpfung ebenfalls ein vollständiges System? Es ist zu überprüfen ob UND,ODER und NICHT ausschließlich mit NOR Gattern realisiert werden können. 12
13 Vollständiges System aus NOR II NICHT Y = X X = X 0 X = X X Schaltungsaufbau? 13
14 Vollständiges System aus NOR III UND Y = ( X X ) 1 2 ( X X ) = ( X X ) = ( X X ) = ( X X ) ( X X ) Schaltungsaufbau? 14
15 Vollständiges System aus NOR IV ODER Y = ( X X ) 1 2 ( X X ) = ( X X ) = ( X X ) ( X X ) Schaltungsaufbau? 15
16 Laufzeit von Schaltungen Zur Lösung anspruchsvoller Aufgaben werden mehrstufige Schaltungen benötigt. Gemäß der Anzahl der Ebenen, wobei Negationen an Ein- und Ausgang nicht berücksichtigt werden, wird eine Schaltung als n-stufige Logik bezeichnet. Die Laufzeit der Schaltung ergibt sich als Summe der Laufzeiten aller Ebenen. 16
17 Komplexität von Schaltungen Die Komplexität bzw. der Aufwand von Schaltungen wird durch die Anzahl der Gattereingänge abgeschätzt. Zur Berechnung werden alle Eingänge aller Ebenen berücksichtigt. 17
18 Normalformen Normalformen dienen der Darstellung Boolescher Funktionen in einheitlicher Form. Jeder Term der Darstellung enthält alle Eingangsvariablen. Für die Boolesche Algebra ist die konjunktive und die disjunktive Normalform von Interesse. 18
19 Minterm (Vollkonjunktion) Ein Minterm ist eine Konjunktion, die alle Eingangsvariablen, nicht negiert oder negiert, enthält. Für eine Boolesche Funktion mit n Eingangsvariablen existieren daher genau 2 n Minterme. Für exakt eine Kombination der Zustände der Eingangsvariablen nimmt ein Minterm den Zustand wahr bzw. 1 an. Für alle anderen Kombinationen liefert der Minterm 0. 19
20 Minterme für zwei Eingänge X X m m m m Bitte notieren Sie die algebraische Darstellung für alle vier Minterme. X X m m m m X X X X X X X X
21 Maxterm (Volldisjunktion) Ein Maxterm ist eine Disjunktion, die alle Eingangsvariablen, nicht negiert oder negiert, enthält. Für eine Boolesche Funktion mit n Eingangsvariablen existieren daher genau 2 n Maxterme. Für exakt eine Kombination der Zustände der Eingangsvariablen nimmt ein Maxterm den Zustand falsch bzw. 0 an. Für alle anderen Kombinationen liefert der Maxterm 1. 21
22 Maxterme für zwei Eingänge X X M M M M Bitte notieren Sie die algebraische Darstellung für alle vier Maxterme. X X M M M M X X X X X X X X
23 Konvention Für die Indizierung der Min- bzw. Maxterme ist die Anwendung einer Konvention üblich. Die Zustände der Eingangsvariablen werden als Binärdarstellung einer Dezimalzahl interpretiert. Beispiel: X = 1, X = 1, X = 0 (110) (6)
24 Übung Bitte notieren Sie die algebraische Darstellung für den Term M 3 und die Darstellung für den Term m 7 einer Booleschen Funktion mit drei Eingangsvariablen. M (0,1,1) = X X X m (1,1,1) = X X X
25 Disjunktive Normalform X1 X2 Y Wie kann die XOR-Funktion mit Mintermen dargestellt werden? m1 = X1 X m2 = X1 X2 Y = ( X X ) ( X X )
26 Disjunktive Normalform (DNF) Eine beliebige Boolesche Funktion Y kann durch eine disjunktive Verknüpfung der Minterme realisiert werden, die für die Kombinationen der Eingangsvariablen eine 1 erzeugen, für welche Y = 1 gilt. Diese Beschreibung einer Booleschen Funktion wird als DNF bezeichnet. 26
27 Übung X1 X2 X3 Y Bitte bilden Sie die DNF für Y und zeichnen Sie den Schaltungsaufbau. Y = m0 m3 m5 m6 = ( X X X ) ( X X X ) ( X X X ) ( X X X )
28 Übung (Fortsetzung) X1 X2 X3 Y Y = ( X X X ) ( X X X ) ( X X X ) ( X X X )
29 Konjunktive Normalform X1 X2 Y Wie kann die XOR-Funktion mit Maxtermen dargestellt werden? M 0 = X1 X M 3 = X1 X2 Y = ( X X ) ( X X )
30 Konjunktive Normalform (KNF) Eine beliebige Boolesche Funktion Y kann durch eine konjunktive Verknüpfung der Maxterme realisiert werden, die für die Kombinationen der Eingangsvariablen eine 0 erzeugen, für welche Y = 0 gilt. Diese Beschreibung einer Booleschen Funktion wird als KNF bezeichnet. 30
31 Übung X1 X2 X3 Y Bitte bilden Sie die KNF für Y und zeichnen Sie den Schaltungsaufbau. Y = M1 M2 M4 M7 = ( X X X ) ( X X X ) ( X X X ) ( X X X )
32 Übung (Fortsetzung) X1 X2 X3 Y Y = ( X X X ) ( X X X ) ( X X X ) ( X X X )
33 Minimierungsverfahren Jede Boolesche Funktion kann wahlweise in disjunktiver oder konjunktiver Normalform dargestellt werden (DNF bzw. KNF). Diese Darstellungen können so vereinfacht werden, dass man die disjunktive bzw. konjunktive Minimalform erhält (DMF bzw. KMF). Zur Minimierung können drei verschiedene Verfahren zur Anwendung kommen: Boolesche Algebra, Algorithmische Verfahren, Graphische Verfahren. 33
Technische Grundlagen der Informatik
Technische Grundlagen der Informatik WS 2008/2009 6. Vorlesung Klaus Kasper WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik Inhalt Wiederholung Boolesche Gesetze Boolesche Kürzungsregeln Antivalenz und
Mehr6. Vorlesung: Minimalformen
6. Vorlesung: Minimalformen Wiederholung Minterme Maxterme Disjunktive Normalform (DN) Konjunktive Normalform (KN) Minimalformen KV-Diagramme 24..26 fällt aus wegen Dozentenfachexkursion 2 Normalformen
Mehr03 Boolesche Algebra. Technische Grundlagen der Informatik
03 Boolesche Algebra Technische Grundlagen der Informatik Automation Systems Group E183-1 Institute of Computer Aided Automation Vienna University of Technology email: tgi@auto.tuwien.ac.at Inhalt Operationen
MehrTeil 1: Digitale Logik
Teil 1: Digitale Logik Inhalt: Boolesche Algebra kombinatorische Logik sequentielle Logik kurzer Exkurs technologische Grundlagen programmierbare logische Bausteine 1 Analoge und digitale Hardware bei
MehrSchaltfunktion, Definition
Schaltfunktion, Definition Sei S = { 0,1}. Dann heißt eine Abbildung f: S n S eine Schaltfunktion. = f(x n-1,x n-2,...,,, ), x n-1, x n-2,...,,, S x i X = (x n-1,x n-2,...,,, ) Eingangsvariable Eingangsvektor
MehrDuE-Tutorien 16 und 17
Tutorien zur Vorlesung Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Tutorienwoche 3 am 19.11.2010 1 Christian A. Mandery: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Grossforschungszentrum in der
MehrDuE-Tutorien 17 und 18
DuE-Tutorien 17 und 18 Tutorien zur Vorlesung Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Christian A. Mandery TUTORIENWOCHE 3 AM 18.11.2011 KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum
MehrRechnerstrukturen, Teil 1. Vorlesung 4 SWS WS 14/15
Rechnerstrukturen, Teil 1 Vorlesung 4 SWS WS 14/15 Prof. Dr Jian-Jia Chen Dr. Lars Hildebrand Fakultät für Informatik Technische Universität Dortmund lars.hildebrand@tu-.de http://ls1-www.cs.tu-.de Übersicht
Mehrf ist sowohl injektiv als auch surjektiv.
Bemerkungen: Wir erinnern uns an folgende Definitionen: Eine Funktion f : U V heißt injektiv, wenn gilt: ( x, y U)[x y f(x) f(y)] Eine Funktion f : U V heißt surjektiv, wenn gilt: ( y V x U)[y = f(x)]
MehrTechnische Informatik I
Rechnerstrukturen Dario Linsky Wintersemester 200 / 20 Teil 2: Grundlagen digitaler Schaltungen Überblick Logische Funktionen und Gatter Transistoren als elektronische Schalter Integrierte Schaltkreise
MehrNormalformen boolescher Funktionen
Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion
MehrDuE-Tutorien 4 und 6. Tutorien zur Vorlesung Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Christian A. Mandery. WOCHE 4 AM
DuE-Tutorien 4 und 6 Tutorien zur Vorlesung Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Christian A. Mandery WOCHE 4 AM 13.11.2012 KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum
MehrEingebettete Systeme
Einführung in Eingebettete Systeme Vorlesung 7 Bernd Finkbeiner 03/12/2014 finkbeiner@cs.uni-saarland.de Prof. Bernd Finkbeiner, Ph.D. finkbeiner@cs.uni-saarland.de 1 Schaltfunktionen! Schaltfunktion:
MehrNormalformen von Schaltfunktionen
Disjunktive Normalform (DNF) Vorgehen: 2. Aussuchen der Zeilen, in denen die Ausgangsvariable den Zustand 1 hat 3. Die Eingangsvariablen einer Zeile werden UND-verknüpft a. Variablen mit Zustand 1 werden
Mehra. Welche der folgenden Terme können als Minterm, Maxterm, beides oder keines von beidem dargestellt werden:
Übungen zur Vorlesung Technische Informatik I, SS 2002 Hauck / Guenkova-Luy / Prager / hen Übungsblatt 1 oolesche lgebra /Kombinatorische Logik ufgabe 1: a. Welche der folgenden Terme können als Minterm,
MehrAllgemeingültige Aussagen
Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt
MehrTeil 1: Digitale Logik
Teil 1: Digitale Logik Inhalt: Boolesche Algebra kombinatorische Logik sequentielle Logik kurzer Exkurs technologische Grundlagen programmierbare logische Bausteine 1 Analoge und digitale Hardware bei
MehrWas bisher geschah: klassische Aussagenlogik
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik klassische Aussagenlogik: Syntax, Semantik Äquivalenz zwischen Formeln ϕ ψ gdw. Mod(ϕ) = Mod(ψ) wichtige Äquivalenzen, z.b. Doppelnegation-Eliminierung, DeMorgan-Gesetze,
MehrBoolesche Algebra (1)
Boolesche Algebra (1) Definition 1: Sei B = Σ 2 = {0,1} das Alphabet mit den Elementen 0 und 1. Seien auf B die 3 Operatoren einer Algebra wie folgt definiert für x,y aus B: x+y := Max(x,y), x y := Min(x,y),
MehrInformationsverarbeitung auf Bitebene
Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta 5. November 2005 Einführung in die Informatik - Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta Grundlagen der Informationverarbeitung
MehrRechnerstrukturen, Teil 1. Vorlesung 4 SWS WS 15/16
Rechnerstrukturen, Teil Vorlesung 4 SWS WS 5/6 Dr. Lars Hildebrand Fakultät für Informatik Technische Universität Dortmund lars.hildebrand@tu-.de http://ls-www.cs.tu-.de Übersicht. Organisatorisches 2.
MehrRechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel WS 2013/14. TU Dortmund, Fakultät für Informatik
Rechnerstrukturen Michael Engel und Peter Marwedel TU Dortmund, Fakultät für Informatik WS 2013/14 Folien a. d. Basis von Materialien von Gernot Fink und Thomas Jansen 21. Oktober 2013 1/33 1 Boolesche
MehrGrundlagen der Informationsverarbeitung:
Grundlagen der Informationsverarbeitung: Schaltungsentwurf und Minimierungsverfahren Prof. Dr.-Ing. habil. Ulrike Lucke Durchgeführt von Prof. Dr. rer. nat. habil. Mario Schölzel Maximaler Raum für Titelbild
MehrSystemorientierte Informatik 1
Systemorientierte Informatik. Grundlagen Digitaler Schaltungen.8 Schaltnetze aus Gattern und Leitungen.9 Boole sche Algebra. Minimierung Boole scher Funktionen. CMOS Komplegatter Die nächste Funktion,
Mehr2.1 Boole sche Funktionen
. Grundlagen digitaler Schaltungen. Boole sche Funktionen Darstellung Boolescher Funktionen. Boole sche lgebra Sätze der Booleschen lgebra.3 Realisierung von Booleschen Funktionen Normalformen zweistufiger
MehrGrundlagen der Technischen Informatik. 6. Übung. Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit
Grundlagen der Technischen Informatik 6. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 6. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Relais-Schaltnetze Entwicklungssatz
MehrKonjunktive und disjunktive Normalformen
Konjunktive und disjunktive Normalformen Nachdem gesprochen wurde, wie man Boolesche Terme unter einer Belegung der Variablen interpretiert und dass somit jeder Boolesche Term eine Boolesche Funktion repräsentiert,
MehrGrundlagen der Informationverarbeitung
Grundlagen der Informationverarbeitung Information wird im Computer binär repräsentiert. Die binär dargestellten Daten sollen im Computer verarbeitet werden, d.h. es müssen Rechnerschaltungen existieren,
MehrKapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1
Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1 Boolesche Formeln, Literale und Klauseln Eine Boolesche Formel ist eine aussagenlogische
MehrAussagenlogik. Formale Methoden der Informatik WiSe 2012/2013 teil 6, folie 1
Aussagenlogik Formale Methoden der Informatik WiSe 22/23 teil 6, folie Teil VI: Aussagenlogik. Einführung 2. Boolesche Funktionen 3. Boolesche Schaltungen Franz-Josef Radermacher & Uwe Schöning, Fakultät
MehrDigitaltechnik FHDW 1.Q 2007
Digitaltechnik FHDW 1.Q 2007 1 Übersicht 1-3 1 Einführung 1.1 Begriffsdefinition: Analog / Digital 2 Zahlensysteme 2.1 Grundlagen 2.2 Darstellung und Umwandlung 3 Logische Verknüpfungen 3.1 Grundfunktionen
MehrTechnische Informatik I, SS03. Boole sche Algebra, Kombinatorische Logik
Übung zur Vorlesung Technische Informatik I, SS03 Ergänzung Übungsblatt 1 Boole sche Algebra, Kombinatorische Logik Guenkova, Schmied, Bindhammer, Sauer {guenkova@vs., schmied@vs., bindhammer@vs., dietmar.sauer@}
MehrGETE DIGITAL TECHNIK CODIERUNG BCD: BINARY CODED DIGITAL. Hr. Houska
GETE DIGITAL TECHNIK Hr. Houska CODIERUNG Codes werden dazu verwendet, um Zahlen, Buchstaben und Zeichen in ander Darstellungsformen zu verwenden. So repräsentieren unterschiedliche Codes die verschiedenen
MehrDarstellung von negativen binären Zahlen
Darstellung von negativen binären Zahlen Beobachtung für eine beliebige Binärzahl B, z.b. B=110010: B + NOT(B) ---------------------------------------------- = B + NOT(B) 1 + (Carry) ----------------------------------------------
MehrSignalverarbeitung 1
TiEl-F000 Sommersemester 2008 Signalverarbeitung 1 (Vorlesungsnummer 260215) 2003-10-10-0000 TiEl-F035 Digitaltechnik 2.1 Logikpegel in der Digitaltechnik In binären Schaltungen repräsentieren zwei definierte
MehrBoolesche (Schalt-) Algebra (1)
Boolesche (Schalt-) Algebra (1) Definition 1: Sei B = SS 2 = 0,1 das Alphabet mit den Elementen 0 und 1. Seien auf BB die folgenden 3 Operatoren definiert für xx, yy B: xx + yy max xx, yy xx yy min xx,
MehrÜbungen zur Vorlesung Grundlagen der Rechnerarchitektur
Universität Koblenz-Landau Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Rechnerarchitektur - Sommersemester 2018 - Übungsblatt 2 Abgabe bis Montag, 28. Mai 2018, 23:59 Uhr als pdf via SVN Punkte Kürzel A1 (10)
MehrGrundlagen der Technischen Informatik. 7. Übung
Grundlagen der Technischen Informatik 7. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 7. Übungsblatt Themen Aufgabe : Aufgabe : Aufgabe : Aufgabe : KMF, Nelson/Petrick-Verfahren Quine-McCluskey-Verfahren
MehrSatz von De Morgan A B A + B A + B A B A. Transistoren: A B U a A 0 0 Vcc Vcc Vcc V 0
Satz von De Morgan A + = A A A + A + A A 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 Transistoren: A U a A 0 0 Vcc 1 0 1 Vcc 1 1 0 Vcc 1 1 1 0 V 0 eispiel: Schaltung zur Erkennung gültiger
MehrDuE-Tutorien 16 und 17
Tutorien zur Vorlesung Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Tutorienwoche 6 am 0.2.200 Christian A. Mandery: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Grossforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
MehrKapitel 6 Programmierbare Logik. Literatur: Kapitel 6 aus Oberschelp/Vossen, Rechneraufbau und Rechnerstrukturen, 9. Auflage
Kapitel 6 Programmierbare Logik Literatur: Kapitel 6 aus Oberschelp/Vossen, Rechneraufbau und Rechnerstrukturen, 9. Auflage Kapitel 6: Programmierbare Logik und VLSI Seite Kapitel 6: Programmierbare Logik
MehrLogik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3)
Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3) Eine Aussage ist ein Satz, von dem man eindeutig entscheiden kann, ob er wahr (true, = 1) oder falsch (false, = 0) ist. Beispiele a: 1 + 1 = 2 b: Darmstadt liegt in Bayern.
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 5. Aussagenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische
MehrII. Grundlagen der Programmierung
II. Grundlagen der Programmierung II.1. Zahlenssteme und elementare Logik 1.1. Zahlenssteme 1.1.1. Ganze Zahlen Ganze Zahlen werden im Dezimalsstem als Folge von Ziffern 0, 1,..., 9 dargestellt, z.b. 123
MehrN Bit binäre Zahlen (signed)
N Bit binäre Zahlen (signed) n Bit Darstellung ist ein Fenster auf die ersten n Stellen der Binär Zahl 0000000000000000000000000000000000000000000000000110 = 6 1111111111111111111111111111111111111111111111111101
MehrEinführung in die technische Informatik
Einführung in die technische Informatik hristopher Kruegel chris@auto.tuwien.ac.at http://www.auto.tuwien.ac.at/~chris Logische Schaltungen System mit Eingängen usgängen interne Logik die Eingänge auf
Mehr2.3 Logikoptimierung. Überblick digitale Synthese. Logikoptimierung
2.3 Logikoptimierung Logikoptimierung Überblick digitale Synthese Logikoptimierung Begriffe Mehrstufige Logik Zweistufige Logik:..Exakte Verfahen..Heuristische Verfahren..Expansion/ Reduktion..Streichen
MehrEinführung in. Logische Schaltungen
Einführung in Logische Schaltungen 1/7 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 1. Was sind logische Schaltungen 2. Grundlegende Elemente 3. Weitere Elemente 4. Beispiel einer logischen Schaltung 2. Notation von
MehrGrundlagen der Technischen Informatik. 5. Übung
Grundlagen der Technischen Informatik 5. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 5. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Boolesche Algebra
MehrArbeitsblatt Logische Verknüpfungen Schaltnetzsynthese
Einleitung Zur Aktivitätsanzeige der 3 Gehäuselüfter (Signale a - c) eines PC-Systems soll eine Logikschaltung entwickelt werden, die über drei Signalleuchten (LEDs) anzeigt, ob ein beliebiger (LED1 x),
MehrElectronic Design Automation (EDA) Logikoptimierung
Electronic Design Automation (EDA) Logikoptimierung Überblick digitale Synthese Logikoptimierung Begriffe Mehrstufige Logik Zweistufige Logik: Exakte Verfahren... Heuristische Verfahren... Expansion/Reduktion...
MehrComputersysteme. 2. Grundlagen Digitaler Schaltungen 2.10 Minimierung Boole scher Funktionen 2.11 CMOS Komplexgatter
Computersysteme 2. Grundlagen Digitaler Schaltungen 2.10 Minimierung Boole scher Funktionen 2.11 CMOS Komplexgatter 1 Die Einsen im KV-Diagramm werden zu Blöcken maximaler Größe zusammengefasst. Dabei
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Woche 4 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Modus Ponens A B B A MP Axiome für
MehrGTI ÜBUNG 8 FRIEDRICH-ALEXANDER UNIVERSITÄT ERLANGEN-NÜRNBERG JAN SPIECK 1
GTI ÜBUNG 8 NELSON/PETRICK, QUINE/MCCLUSKEY, NAND FRIEDRICH-ALEXANDER UNIVERSITÄT ERLANGEN-NÜRNBERG JAN SPIECK 1 Aufgabe 1 Nelson/Petrick Beschreibung Gegeben sei die folgende Funktionstabelle Achtung:
MehrVerwendung eines KV-Diagramms
Verwendung eines KV-Diagramms Ermittlung einer disjunktiven Normalform einer Schaltfunktion Eine Disjunktion von Konjunktionen derart, dass jeder Konjunktion ein Block in dem KV-Diagramm entspricht, der
Mehrkanonische disjunktive Normalform (KDNF, DKF) Disjunktion einer Menge von Mintermen mit gleichen Variablen
5.6 Normalformen (4) Noch mehr aber besonders wichtige Begriffe kanonische disjunktive Normalform (KDNF, DKF) Disjunktion einer Menge von Mintermen mit gleichen Variablen Beispiel: KDNF zur Funktion f(,,,
MehrC.34 C Normalformen (4) 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra. 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra (2) 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra (3)
5.6 Normalformen (4) Noch mehr aber besonders wichtige Begriffe kanonische disjunktive Normalform (KDNF, DKF) Disjunktion einer Menge von Mintermen mit gleichen Variablen Beispiel: KDNF zur Funktion f(,,,
MehrAuswertung. Hinweise. Einführung in die Technische Informatik WS 2006/2007 Probeklausur. Aachen, 02. November 2006 SWS: V2/Ü2, ECTS: 4
Professor Dr.-Ing. Stefan Kowalewski Dipl.-Inform. Andreas Polzer Dipl.-Inform. Ralf Mitsching LEHRSTUHL INFORMATIK XI SOFTWARE FÜR EINGEBETTETE SYSTEME Aachen, 02. November 2006 SWS: V2/Ü2, ECTS: 4 Einführung
MehrDIGITALTECHNIK 06 SCHALTUNGS- SYNTHESE UND ANALYSE
Seite 1 von 23 DIGITALTECHNIK 06 SCHALTUNGS- SYNTHESE UND ANALYSE Inhalt Seite 2 von 23 1 SCHALTUNGS- SYNTHESE UND ANALYSE... 3 1.1 NORMALFORM... 5 1.2 UND NORMALFORM... 5 1.3 ODER NORMALFORM... 7 1.4
MehrMinimierung von logischen Schaltungen
Minimierung von logischen Schaltungen WAS SIND LOGISCHE SCHALTUNGEN Logische Verknüpfungszeichen: & = Logisches Und-Verknüpfung (Konjunktion). V = Logische Oder-Verknüpfung (Disjunktion). - = Nicht (Negation).
MehrBoolesche Funktionen und Schaltkreise
Boolesche Funktionen und Schaltkreise Die Oder-Funktion (Disjunktion) und die Und-Funktion (Konjunktion), x y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 x y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 (Implikationsfunktion), ( umgekehrte
MehrAlgorithmus von McClusky: Der Algorithmus von McCluskey liefert durch wiederholte Anwendung der ersten und zweiten Vereinfachungsregel:
Seite 1 Aufgabe 1 Algorithmus von McClusky: Der Algorithmus von McCluskey liefert durch wiederholte Anwendung der ersten und zweiten Vereinfachungsregel: f 1 = a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a
MehrRechnerstrukturen WS 2012/13
Rechnerstrukturen WS 2012/13 Repräsentation von Daten Repräsentation von Texten (Wiederholung) Repräsentation ganzer Zahlen (Wiederholung) Repräsentation rationaler Zahlen (Wiederholung) Repräsentation
MehrRechnerstrukturen WS 2012/13
Rechnerstrukturen WS 202/3 Boolesche Funktionen und Schaltnetze Repräsentationen boolescher Funktionen (Wiederholung) Normalformen boolescher Funktionen (Wiederholung) Repräsentation boolescher Funktionen
MehrTeil 1 Digitaltechnik 1 Grundlagen: Zahlensysteme, Dualzahlen und Codes 3 1.1 Dezimalzahlensystem 3 1.2 Bündelung 4 1.3 Das dezimale Positionensystem 6 1.4 Römische Zahlen 7 1.5 Ägyptische Zahlen 8 1.6
MehrStichwortverzeichnis. Gerd Wöstenkühler. Grundlagen der Digitaltechnik. Elementare Komponenten, Funktionen und Steuerungen ISBN:
Stichwortverzeichnis Gerd Wöstenkühler Grundlagen der Digitaltechnik Elementare Komponenten, Funktionen und Steuerungen ISBN: 978-3-446-42737-2 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-42737-2
MehrLogische Äquivalenz. Definition Beispiel 2.23
Logische Äquivalenz Definition 2.22 Zwei aussagenlogische Formeln α, β A heißen logisch äquivalent, falls für jede Belegung I von α und β gilt: Schreibweise: α β. Beispiel 2.23 Aus Folgerung 2.6 ergibt
MehrEinführung in Computer Microsystems Sommersemester Vorlesung Dr.-Ing. Wolfgang Heenes
Einführung in Computer Microsystems Sommersemester 2010 10. Vorlesung Dr.-Ing. Wolfgang Heenes 16. Juni 2010 TechnischeUniversitätDarmstadt Dr.-Ing. WolfgangHeenes 1 Inhalt 1. Literatur 2. Minimierung
MehrAlgorithmen & Programmierung. Logik
Algorithmen & Programmierung Logik Aussagenlogik Gegenstand der Untersuchung Es werden Verknüpfungen zwischen Aussagen untersucht. Aussagen Was eine Aussage ist, wird nicht betrachtet, aber jede Aussage
MehrDigitaltechnik Grundlagen 4. Schaltalgebra
4. Schaltalgebra Prof. Dr.-Ing. Thorsten Uelzen Prof. Dr.-Ing. Thorsten Uelzen Version 1.0 von 02/2018 Gesetze und Rechenregeln - Die Schaltalgebra ist die Anwendung der allgemeineren Booleschen Algebra
Mehr2. Funktionen und Entwurf digitaler Grundschaltungen
2. Funktionen und Entwurf digitaler Grundschaltungen 2.1 Kominatorische Schaltungen Kombinatorische Schaltungen - Grundlagen 1 Grundgesetze der Schaltalgebra UND-Verknüpfung ODER-Verknüpfung NICHT-Verknüpfung
Mehr, SS2012 Übungsgruppen: Do., Mi.,
VU Technische Grundlagen der Informatik Übung 3: Schaltnete 83.579, SS202 Übungsgruppen: Do., 9.04. Mi., 25.04.202 Aufgab: Vereinfachung mittels KV-Diagramm Gegeben ist folgende Wahrheitstafel: e 0 Z Z
MehrTU5 Aussagenlogik II
TU5 Aussagenlogik II Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 21.11.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;)
MehrRechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel SS TU Dortmund, Fakultät für Informatik
Rechnerstrukturen Michael Engel und Peter Marwedel TU Dortmund, Fakultät für Informatik SS 2013 Hinweis: Folien a. d. Basis von Materialien von Gernot Fink und Thomas Jansen 15. April 2013 1 Repräsentation
MehrDigital Design. Digital Design SS Prof. Dr. Richard Roth. 6 SWS SU und Übungen
SS 2005 Prof. Dr. Richard Roth 6 SWS SU und Übungen Richard Roth / FB Informatik und Mathematik Schaltungstechnische Grundlagen 1 Literatur zur Vorlesung DD [1] PERNARDS, P..; Digitaltechnik Hüthig, 1992
MehrMathematische Grundlagen I Logik und Algebra
Logik und Algebra Dr. Tim Haga 21. Oktober 2016 1 Aussagenlogik Erste Begriffe Logische Operatoren Disjunktive und Konjunktive Normalformen Logisches Schließen Dr. Tim Haga 1 / 21 Präliminarien Letzte
MehrEinführung in die Boolesche Algebra
Einführung in die Boolesche Algebra Einführung in Boole' sche Algebra 1 Binäre Größe Eine Größe (eine Variable), die genau 2 Werte annehmen kann mathematisch: falsche Aussage wahre Aussage technisch: ausgeschaltet
MehrDigitalelektronik - Inhalt
Digitalelektronik - Inhalt Grundlagen Signale und Werte Rechenregeln, Verknüpfungsregeln Boolesche Algebra, Funktionsdarstellungen Codes Schaltungsentwurf Kombinatorik Sequentielle Schaltungen Entwurfswerkzeuge
MehrFAKULTÄT FÜR INFORMATIK
FAKULTÄT FÜR INFORMATIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Lehrstuhl für Rechnertechnik und Rechnerorganisation Prof. Dr. Martin Schulz Einführung in die Rechnerarchitektur Wintersemester 2017/2018 Ztralübung
Mehr8. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren
8. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Tutorium Nr. 9 Alexis Tobias Bernhard Fakultät für Informatik, KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
MehrInhaltsverzeichnis Teil I Digitaltechnik Grundlagen: Zahlensysteme, Dualzahlen und Codes Logische Funktionen und Boolesche Algebra
Inhaltsverzeichnis Teil I Digitaltechnik 1 Grundlagen: Zahlensysteme, Dualzahlen und Codes... 3 1.1 Dezimalzahlensystem... 3 1.2 Bündelung... 4 1.3 Das dezimale Positionensystem... 5 1.4 Römische Zahlen...
Mehr1. Boolesche Algebra und Schaltalgebra
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 1 1. oolesche lgebra und Schaltalgebra 1.1 Was ist Informatik? Definition des egriffs Informatik Die Informatik ist die Wissenschaft, die sich mit der systematischen
Mehr4^ Springer Vi eweg. SPS-Programmierung. nach IEC in Anweisungsliste. und handlungsorientierte Einführung. Hans-Joachim Adam Mathias Adam
Hans-Joachim Adam Mathias Adam SPS-Programmierung in Anweisungsliste nach IEC 61131-3 Eine systematische und handlungsorientierte Einführung in die strukturierte Programmierung 4., bearbeitete Auflage
MehrGrundlagen der Rechnerarchitektur
Grundlagen der Rechnerarchitektur [CS3100.010] Wintersemester 2014/15 Heiko Falk Institut für Eingebettete Systeme/Echtzeitsysteme Ingenieurwissenschaften und Informatik Universität Ulm Kapitel 2 Kombinatorische
MehrInhaltsverzeichnis Teil I Digitaltechnik Grundlagen: Zahlensysteme, Dualzahlen und Codes Logische Funktionen und Boolesche Algebra
Teil I Digitaltechnik 1 Grundlagen: Zahlensysteme, Dualzahlen und Codes............. 3 1.1 Dezimalzahlensystem.............................. 3 1.2 Bündelung..................................... 4 1.3 Das
Mehr2. Schaltfunktionen und ihre Darstellung
2. Schaltfunktionen und ihre Darstellung x y z Schaltalgebra Schaltkreise und -terme Schaltfunktionen Dualitätsprinzip Boolesche Algebra Darstellung von Schaltfunktionen 58 Schaltalgebra Wir untersuchen
Mehr2. Schaltfunktionen und ihre Darstellung
2. Schaltfunktionen und ihre Darstellung x y z Schaltalgebra Schaltkreise und -terme Schaltfunktionen Dualitätsprinzip Boolesche Algebra Darstellung von Schaltfunktionen 60 Schaltalgebra Wir untersuchen
Mehr1 Aussagenlogischer Kalkül
1 Aussagenlogischer Kalkül Ein Kalkül in der Aussagenlogik soll die Wahrheit oder Algemeingültigkeit von Aussageformen allein auf syntaktischer Ebene zeigen. Die Wahrheit soll durch Umformung von Formeln
MehrAussagenlogik. Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 teil 7, folie 1 (von 50)
Aussagenlogik Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie (von 5) Teil VII: Aussagenlogik. Einführung 2. Boolesche Funktionen 3. Boolesche Schaltungen Franz-Josef Radermacher & Uwe Schöning,
MehrÜbungen zu Informatik 1
Übungen zu Informatik Technische Grundlagen der Informatik - Übung 9 Ausgabedatum: 2. November 22 Besprechung: Übungsstunden in der Woche ab dem 9. November 22 ) Schaltungen und Schaltnetze Communication
Mehr8 Boolesche Algebra. 8.1 Grundlegende Operationen und Gesetze
82 8 Boolesche Algebra Die Boolesche Algebra ist eine Algebra der Logik, die George Boole (1815 1864) als erster entwickelt hat. Sie ist die Grundlage für den Entwurf von elektronischen Schaltungen und
MehrGrundlagen der Technischen Informatik
Universität Duisburg-Essen PRAKTIKUM Grundlagen der Technischen Informatik VERSUCH 2 Schaltungssimulation und Schaltungsanalyse Name: Vorname: Betreuer: Matrikelnummer: Gruppennummer: Datum: Vor Beginn
MehrA.1 Schaltfunktionen und Schaltnetze
Schaltfunktionen und Schaltnetze A. Schaltfunktionen und Schaltnetze 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II Bedeutung des Binärsystems für den Rechneraufbau Seit Beginn der Entwicklung von Computerhardware
Mehr1 Analogtechnik und Digitaltechnik. C Schaltalgebra und kombinatorische Logik. 2 Digitale elektrische Schaltungen
Analogtechnik und Digitaltechnik C Schaltalgebra und kombinatorische Logik bei analoger Technik kontinuierliche Signale. Analog- und Digitaltechnik 2. Digitale elektrische Schaltungen 3. Logische Schaltungen
MehrDigitale Elektronik. Vom Transistor zum Speicher
Digitale Elektronik Vom Transistor zum Speicher Begleitheft Universität Stuttgart Schülerlabor 1 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung... 3 2. Versuchshintergrund... 4 2.1. Bildungsstandards... 4 2.1.1 Leitgedanken
MehrDesign und Implementierung eines Tools zur Visualisierung der Schaltfunktionsminimierung
Design und Implementierung eines Tools zur Visualisierung der Schaltfunktionsminimierung mit KV-Diagrammen Design and implementation of an e-learning tool for minimization of boolean functions based on
MehrInformatik III. Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/ Vorlesung
Informatik III Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 20. Vorlesung 12.01.2007 1 Komplexitätstheorie - Zeitklassen Die Komplexitätsklassen TIME DTIME, NTIME P NP Das Cook-Levin-Theorem Polynomial-Zeit-Reduktion
Mehr