Verwendung eines KV-Diagramms
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- Anke Siegel
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1 Verwendung eines KV-Diagramms Ermittlung einer disjunktiven Normalform einer Schaltfunktion Eine Disjunktion von Konjunktionen derart, dass jeder Konjunktion ein Block in dem KV-Diagramm entspricht, der nur (benachbarte Kästchen mit einer 1 enthält, und alle Kästchen mit einer 1 durch (mindestens eine Konjunktion erfasst werden, ist eine disjunktive Normalform der durch das KV-Diagramm gegebenen Funktion. Ermittlung einer konjunktiven Normalform einer Schaltfunktion Eine Konjunktion von Disjunktionen derart, dass jeder Disjunktion ein Block in dem KV-Diagramm entspricht, der nur (benachbarte Kästchen mit einer 0 enthält, und alle Kästchen mit einer 0 durch (mindestens eine Konjunktion erfasst werden, ist eine konjunktive Normalform der durch das KV-Diagramm gegebenen Funktion.
2 Minimierung mit Hilfe eines KV-Diagramms Primblöcke, Primterme Die größtmöglichen Eins- bzw. Nullblöcke in einem KV-Diagramm heißen Primblöcke. Die zu den Primblöcken gehörige Terme heißen Primterme. Je größer ein Block ist, desto kürzer ist der zugehörige Term. Ermittlung minimaler Schaltfunktionen Ermittlung aller Primblöcke und damit aller Primterme der gegebenen Schaltfunktion. Auswahl aller minimalen en.
3 KV-Diagramm: Disjunktive Minimalformen Beispiel: Kernprimimplikanten Primimplikanten m 0 m 4 m 13 & & & y =
4 KV-Diagramm: Disjunktive Minimalformen Beispiel: Unwesentliche Primimplikanten ( Primimplikanten = m 0 m 4 m 5 m 13 &( &( & & y v
5 KV-Diagramm: Disjunktive Minimalformen Beispiel: Unwesentliche Primimplikanten ( Primimplikanten = m 0 m 4 m 5 m 7 m 8 m 9 m 11 m 12 &( &( & &( &( & & & & y v
6 KV-Diagramm: Disjunktive Minimalformen Beispiel: Wesentliche Primimplikanten ( Primimplikanten = m 0 m 4 m 5 m 13 m 14 m 15 &( &( &( & &( & & y =
7 KV-Diagramm: Disjunktive Minimalformen Beispiel: Wesentliche Primimplikanten ( Primimplikanten = = P 6 m 0 m 1 m 2 m 3 m 5 m 11 m 13 m 15 &( & &( &( &( &( &( & & y v v v
8 KV-Diagramm: Disjunktive Minimalformen Beispiel: Relativ wesentliche Primimplikanten (2x Primimplikanten = m 0 m 4 m 5 m 13 m 15 &( &( &( & & & ( y =
9 KV-Diagramm: Disjunktive Minimalformen Beispiel: Relativ wesentliche Primimplikanten (3x Primimplikanten = P 6 m 5 m 7 m 9 m 11 m 12 m 14 m 15 &( & &( & &( &( & & & ( y = v v
10 KV-Diagramm: Disjunktive Minimalformen Beispiel: Relativ wesentliche Primimplikanten (4x Primimplikanten = = P 6 = P 7 = P 8 m 0 m 1 m 2 m 3 m 4 ( &( &( &( &( v P 7 &(P & P 6 & P 7 & P 8 & ( y =
11 KV-Diagramm: Disjunktive Minimalformen Beispiel: Relativ wesentliche Primimplikanten (3x Primimplikanten = P 6 m 2 m 6 m 8 m 9 m 13 m 14 m 15 &( & &( &( &( &( & & ( & & P 6 & P 6 y =
12 KV-Diagramm: Disjunktive Minimalformen Beispiel: Relativ wesentliche Primimplikanten (2x Primimplikanten = = P 6 m 0 m 4 m 5 m 8 m 9 m 13 ( &( &( &( &( &( ( & & & & P 6 y =
13 KV-Diagramm: Disjunktive Minimalformen Beispiel: Ungleiche relativ wesentliche Primimplikanten / wesentlicher und unwesentlicher Primi Primimplikanten = m 0 m 1 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 m 10 m 14 &( & &( &( &( &( & &( & & & ( y v v v v
14 KV-Diagramm: Disjunktive Minimalformen Beispiel: Alle Arten von Primimplikanten Primimplikanten = P 6 P 7 = m 0 m 1 m 5 m 7 m 9 m 10 m 11 m 14 m 15 &( &( &( v P 7 &( & &( & &( v P 7 & & & ( y v v v
15 KV-Diagramm: Disjunktive Minimalformen Beispiel: 13 Primimplikanten (Maximum bei 4 Variablen Primimplikanten = P 6 P 7 = P 8 P 9 0 = m 0 m 3 m 5 m 6 m 7 m 9 m 10 m 3 &( &( v P 7 &( v 0 &( &( v P 8 &(P 6 v 1 &( v P 3 & ( & & & P 6 & P 9 & 0 & & & P 6 & P 9 & 0 v & & P 6 y v v v v v v
16 KV-Diagramm: Konjunktive Minimalformen Beispiel: Kernprimblöcke Primblöcke v v v v v M 0 M 4 M 13 & & & y = ( v v v
17 KV-Diagramm: Konjunktive Minimalformen Beispiel: Unwesentliche Primblöcke ( Primblöcke v v v v = v v M 0 M 4 M 5 M 13 &( &( & & y = ( v v & ( v v
18 KV-Diagramm: Konjunktive Minimalformen Beispiel: Unwesentliche Primblöcke ( Primblöcke = v v v v v v v v v M 0 M 4 M 5 M 7 M 8 M 9 M 11 M 12 &( &( & &( &( & & & & y =
19 KV-Diagramm: Konjunktive Minimalformen Beispiel: Wesentliche Primblöcke ( Primblöcke v v v v = v v v v v v M 0 M 4 M 5 M 13 M 14 M 15 &( &( &( & &( & & y = ( v v & ( v v & ( v v
20 KV-Diagramm: Konjunktive Minimalformen Beispiel: Wesentliche Primblöcke ( Primblöcke v v v = v v = v v v v P 6 v v M 0 M 1 M 2 M 3 M 5 M 11 M 13 M 15 &( & &( &( &( &( &( & & y = ( v & ( v v
21 KV-Diagramm: Konjunktive Minimalformen Beispiel: Relativ wesentliche Primblöcke (2x Primblöcke v v v v = v v v v M 0 M 4 M 5 M 13 M 15 &( &( &( & & & ( y =
22 KV-Diagramm: Konjunktive Minimalformen Beispiel: Relativ wesentliche Primblöcke (3x Primblöcke v v v v v v = v v v v P 6 v v M 5 M 7 M 9 M 11 M 12 M 14 M 15 &( & &( & &( &( & & & ( y = ( v v & ( v v & ( v v & ( v v & ( v v &
23 KV-Diagramm: Konjunktive Minimalformen Beispiel: Relativ wesentliche Primblöcke (4x Primblöcke v v = v = v v P 6 = v P 7 = v P 8 v M 0 M 1 M 2 M 3 M 4 ( &( &( &( &( v P 7 &(P & P 6 & P 7 & P 8 & ( y = ( v & ( v & ( v
24 KV-Diagramm: Konjunktive Minimalformen Beispiel: Relativ wesentliche Primblöcke (3x Primblöcke v v v v v v = v v v v P 6 v v M 2 M 6 M 8 M 9 M 13 M 14 M 15 &( & &( &( &( &( & & ( & & P 6 & P 6 y = ( v v & ( v v & ( v v
25 KV-Diagramm: Konjunktive Minimalformen Beispiel: Relativ wesentliche Primblöcke (2x Primblöcke v v = v v v v v v = v v P 6 v v M 0 M 4 M 5 M 8 M 9 M 13 ( &( &( &( &( &( ( & & & & P 6 y = ( v v & ( v v & ( v v
26 KV-Diagramm: Konjunktive Minimalformen Beispiel: Ungleiche relativ wesentliche Primblöcke / wesentlicher und unwesentlicher Primblock Primblöcke v v v = v v v v M 0 M 1 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 10 M 14 &( & &( &( &( &( & &( & & & ( y = ( v & ( v v
27 KV-Diagramm: Konjunktive Minimalformen Beispiel: Alle Arten von Primblöcken Primblöcke v v v v v = v v v v P 6 v v P 7 = v v M 0 M 1 M 5 M 7 M 9 M 10 M 11 M 14 M 15 &( &( &( v P 7 &( & &( & &( v P 7 & & & ( y = ( v
28 KV-Diagramm: Konjunktive Minimalformen Beispiel: 13 Primblöcke(Maximum bei 4 Variablen Primblöcke v v v v v v = v v v v P 6 v v P 7 = v v P 8 v v P 9 v v 0 = v v 1 v v 2 v v 3 v v v M 0 M 3 M 5 M 6 M 7 M 9 M 10 M 3 &( &( v P 7 &( v 0 &( &( v P 8 &(P 6 v 1 &( v P 3 & ( & & & P 6 & P 9 & 0 & & & P 6 & P 9 & 0 v & & P 6 y =
29 Minimalformen einer Schaltfunktion Disjunktive Minimalform (DMF Zu einer Schaltfunktion f(x n-1,...,, ist eine Funktion g(x n-1,...,, gesucht, die folgende Eigenschaften hat: 1. g(x n-1,...,, = f(x n-1,...,, 2. g(x n-1,...,, ist eine Disjunktion von Konjunktionen derart, dass die Anzahl der und - und oder -Verknüpfungen minimal ist. Dann nennt man g(x n-1,...,, eine disjunktive Minimalform von f(x n-1,...,,. Konjunktive Minimalform (KMF Zu einer Schaltfunktion f(x n-1,...,, ist eine Funktion g(x n-1,...,, gesucht, die folgende Eigenschaften hat: 1. g(x n-1,...,, = f(x n-1,...,, 2. g(x n-1,...,, ist eine Konjunktion von Disjunktionen derart, dass die Anzahl der und - und oder -Verknüpfungen minimal ist. Dann nennt man g(x n-1,...,, eine konjunktiove Minimalform von f(x n-1,...,,.
30 Minimierung einer Schaltfunktion Begriffe Ein Monom zu einer Schaltfunktion ist eine Konjunktion gewisser Variable oder ihrer Komplemente. (Auch eine einzige bejahte oder negierte Variable ist ein Monom. Ein Monom ist ein Implikant einer Schaltfunktion f, wenn für jede Wertekombination, für die das Monom den Wert 1 annimmt, auch die Schaltfunktion f den Wert 1 annimmt. Streicht man aus einem Monom Q gewisse Variable, so erhält man ein Teilmonom Q' von Q. Ein Monom Q heißt Primimplikant einer Schaltfunktionen f, wenn Q Implikant von f ist und es kein Teilmonom Q' von Q gibt, das ebenfalls ein Implikant von f ist. Ermittlung einer disjunktiven Minimalform einer Schaltfunktion Satz: Ist Q 1 v Q 1 v... v Q k eine Minimalform einer Schaltfunktion und sind die Q i Monome, so ist jedes dieser Monome ein Primimplikant. Anwendung: 1. Ermittlung sämtlicher Primimplikanten der Schaltfunktion. 2. Auswahl geeigneter Primimplikanten derart, dass die Disjunktion dieser Primimplikanten eine minimale Form der Schaltfunktion ist.
31 Arten von Primimplikanten Ein Primimplikant heißt Kern-Primimplikant, wenn es einen Minterm gibt, der nur diesen Primimplikanten impliziert. Ein Primimplikant heißt wesentlicher Primimplikant, wenn er in jeder minimalen Form einer Schaltfunktion enthalten ist und kein Kernprimimplikant ist. Ein Primimplikant heißt unwesentlicher Primimplikant, wenn er in keiner minimalen Form einer Schaltfunktion enthalten ist. Ein Primimplikant heißt relativ wesentlicher Primimplikant, wenn er mindestens in einer minimalen Form aber nicht in allen minimalen Formen einer Schaltfunktion enthalten ist. (Eine Schaltfunktion hat entweder keine oder mehrere relativ wesentliche Primimplikanten.
32 Monom, Implikant, Primimplikant y Monom zu y??????? Minterm von y??????? Implikant von y??????? Primimplikant von y??????? Ein Monom mit k Variablen zu einer Funktion mit n Variablen hat für 2 n-k Wertekombinationen den Wert 1. Jedes Monom Q ist Implikant jedes Teilmonoms Q' von Q.
33 Verfahren von Quine und McCluskey Implikantentabelle Eine Implikanten-Tabelle ist eine im folgenden näher beschriebene tabellarische Aufstellung von Implikanten einer gegebenen Schaltfunktion f(x n-1,...,,. Eine Implikanten-Tabelle enthält n+1 Spalten. Ein Eintrag eines Implikanten belegt eine Zeile. In der ersten Spalte sind alle (Nummern der Minterme aufgeführt, die von dem durch die übrigen Spalten bezeichneten Implikanten überdeckt werden, d.h. diesen Implikanten implizieren. In anderen Spalten steht für jede Variable x i : 1, wenn der Implikant die betreffende Variable bejaht enthält, 0, wenn der Implikant die betreffende Variable negiert enthält,, wenn der Implikant die betreffende Variable nicht enthält. In einer geordneten Implikantentabelle sind die Implikanten nach steigender Anzahl von nicht negierten Variablen (nach steigender Anzahl von Einsen aufgeführt. Eine geordnete Implikanten-Tabelle lässt sich so in Gruppen gliedern, dass alle Implikanten einer Gruppe dieselbe Anzahl von Einsen haben. Beispiel Minterme 0, , , , , , , , , ,
34 Verfahren von Quine und McCluskey Teil 1: Aufsuchen aller Primimplikanten Die gegebene Schaltfunktion wird in kanonischer disjunktiver Normalform dargestellt. Alle Minterme der disjunktiven Normalform werden in eine geordnete Implikanten- Tabelle übertragen. Aus der nun vorliegenden Implikanten-Tabelle wird wie folgt eine neue Implikanten-Tabelle gebildet: Es werden alle Paare von Implikaten gesucht, die sich in genau einer Variablen derart unterscheiden, dass eine Implikant die Variable negiert, und der andere sie nicht negiert enthält. Dabei müssen jeweils nur Implikanten aus benachbarten Gruppen miteinander verglichen werden. Die Implikanten, die ein solches Paar bilden, werden in der Tabelle markiert (abgehakt. Aus jedem Paar wird ein neuer Implikant gebildet, indem die Variable, in der sich das Implikanten-Paar unterscheidet, aus einem Implikanten entfernt. Dieser neue Implikant wird in die neue Implikanten-Tabelle eingetragen. Er überdeckt die Minterme, die durch das Implikanten-Paar gemeinsam überdeckt werden. Mehrfach gebildete Implikanten werden dabei nur einmal übertragen. Die so gebildete Implikanten-Tabelle wird geordnet und in Gruppen gegliedert. Dieser Vorgang wird mit der jeweils neu gebildeten Implikanten-Tabelle so lange wiederholt, bis sich keine neue Tabelle mehr aufstellen lässt. Die Implikanten, die im Verlauf dieses Verfahrens nicht markiert wurden, sind die Primimplikanten der Schaltfunktion. Teil 2: Aufstellen der minimalen Funktion In einer Primimplikanten-Tabelle (Primterm-Minterm-Tabelle werden die en der Minterme durch die Primterme dargestellt. Diese Tabelle hat die Form einer binären Matrix, deren Spalten mit den Mintermen, und deren Zeilen mit den Primimplikanten beschriftet sind. Durch Kreuze in der Tabelle wird für jeden Implikanten angezeigt, welche Minterme er überdeckt. Mit Hilfe dieser Tabelle wird eine aller Minterme mit einer minimalen Anzahl von Primimplikanten ermittelt. Dabei ist darauf zu achten, dass möglichst große Primimplikanten verwendet werden.
35 Verfahren von Quine und McCluskey (Beispiel Teil 1: Aufsuchen aller Primimplikanten y = m 0 v m 1 v m 4 v m 5 v m 6 v m 11 v m 13 v m 14 v m 15 Minterme Minterme Minterme 0, , , , , , , , , , Minterme 0, Minterme 0,1,4, , , , , P 7
36 5, P 6 6, , , , Minterme 0,1,4, Primimplikanten Minterme 0,1,4,5 14,15 13,15 11,15 6,14 P 6 5,13 P 7 4,6 Teil 2: Aufstellen der minimalen Funktion Primimplikanten m 0 m 1 m 4 m 5 m 6 m 11 m 13 m 14 m 15 x x x x x x x x x x x x P 6 x x P 7 x x
37 Minimale : & & & ( Minimale Schaltfunktionen: y 1 v v v y 2 v v v
38 Unvollständig spezifizierte Schaltfunktionen Bedeutung In der Praxis kommt es vor, dass der Wert einer Schaltfunktion nicht für alle Eingangskombinationen festgelegt wird, da manche Eingangskombinationen aufgrund technischer Gegebenheiten nicht auftreten können, oder da zum Zeitpunkt ihres Auftretens der Funktionswert ohne Belang ist. Darstellung als Wertetabelle Eine unvollständig spezifizierte Schaltfunktion liegt meistens als Wertetabelle vor, in der nicht alle Eingangskombinationen aufgeführt sind, bzw. in der nicht für alle Eingangskombinationen ein Funktionswert eingetragen ist. Oft wird dann an die freie Stelle der Wertetabelle ein x,, b (beliebig oder d (don't care geschrieben. Beispiel: y oder y Algebraische Darstellung Soll eine unvollständig spezifizierte Schaltfunktion algebraisch dargestellt (vorgegeben werden, so sind dazu zwei Funktionen notwendig: f(x n-1,...,, spezifiziert die Schaltfunktion, wobei bereits in irgend einer Weise über die beliebigen Werte verfügt wurde. f d (x n-1,...,, ist die sogenannte don't-care-funktion, die immer dann den Wert 1 annimmt, wenn über den Wert der eigentlichen (unvollständig spezifizierten Schaltfunktion beliebig verfügt worden ist bzw. verfügt werden kann. Beispiel: y = f(,, = v
39 y d = f d (,, =
40 Unvollständig spezifizierte Schaltfunktionen Disjunktive Minimalform (DMF Bei der Ermittlung einer disjunktiven Minimalform einer unvollständig spezifizierten Schaltfunktion wird wie folgt über die beliebigen Werte verfügt: Im ersten Teil des Verfahrens bei der Bestimmung aller Primimplikanten wird als Funktionswert eine 1 angenommen, so dass man möglichst große Primimplikanten (Primimplikanten mit möglichst wenigen Variablen bilden kann. Im zweiten Teil des Verfahrens bei der Aufstellen der minimalen Funktion wird als Funktionswert eine 0 angenommen, so dass möglichst wenige Primimplikanten zur Darstellung der Funktion (zur der Einsen benötigt werden. Konjunktive Minimalform (KMF Bei der Ermittlung einer konjunktiven Minimalform einer unvollständig spezifizierten Schaltfunktion wird wie folgt über die beliebigen Werte verfügt: Im ersten Teil des Verfahrens bei der Bestimmung aller Primterme wird als Funktionswert eine 0 angenommen, so dass man möglichst große Primterme (Primterme mit möglichst wenigen Variablen bilden kann. Im zweiten Teil des Verfahrens bei der Aufstellen der minimalen Funktion wird als Funktionswert eine 1 angenommen, so dass möglichst wenige Primterme zur Darstellung der Funktion (zur der Nullen benötigt werden.
41 KV-Diagramm: Disjunktive Minimalformen Beispiel: Unvollständig spezifizierte Schaltfunktion Primimplikanten = = m 4 m 6 m 7 m 8 m 10 m 12 m 14 &( &( & & &( &( & & ( y = v v
42 Verfahren von Quine und McCluskey (Beispiel y = m 4 v m 5 v m 13 y d = m 0 v m 9 v m 11 v m 15 Teil 1: Minterme Minterme Minterme 0, , , , , , , Minterme 0, Minterme 9,11,13, , , , ,
43 11, , Teil 2: Primimplikanten m 4 m 5 m 13 x x x x x x Minimale : & & & Minimale Schaltfunktion: y v
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