Technische Informatik I 4. Vorlesung. 2. Funktion digitaler Schaltungen... wertverlaufsgleiche Umformungen

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1 Technische Informatik I 4. Vorlesung 2. Funktion digitaler Schaltungen... wertverlaufsgleiche Umformungen H.-D. Wuttke 09 Karnaugh-Veith Veith-Diagramme, 3. Struktur digitaler Schaltungen: Strukturdefinition, Struktursynthese, elementare Strukturen, Strukturanalyse

2 KKNF => KDNF Für r vollständig bestimmte Funktionen gilt: I 0 = I 1 Index für f d: I 0 h i = d 0 d 3 d 4 Index für f k: I 1 = k 1 k 2 k 5 k 6 k 7 H.-D. Wuttke 09

3 Kürzen Erweitern Erweitern x3*x0+x3*x1+x2*x1 =x3*(1)*x0+x3*x1+x2*x1 =x3*(x2+/x2)*x0+x3*x1+x2*x1 =x3*x2*x0+x3*/x2*x0+x3*x1+x2*x1 =x3*x2*(1)*x0+x3*/x2*(1)*x0+x3*x1+x2*x1 =x3*x2*(x1+/x1)*x0+x3*/x2*(x1+/x1)*x0+x3*x1+... =x3*x2*x1*x0+x3*x2*/x1*x0+x3*/x2*x1*x0 +x3*/x2*/x1*x0+... =k15+k13+k11+k9+... H.-D. Wuttke 09

4 Elementarkonjuktion 1 1=1, 1=1, 0 1=10 X 3 = [0,0,..., 0,1,1] W(k 3, X i ) =1 falls i = 3 W(k 3, X i ) =0 falls i 3 X 3 = [0,0,...,[ 0,1,1] k 3 = x n-1... x 1 x 0 H.-D. Wuttke 09

5 Elementarkonjuktion k 2 => KDNF 1 1=1, 1=1, 0 1=10 X 2 = [0,..., 0, 1,, 0] k 2 = x n-1... x 1 x 0 h i = k 1 k 2 k 5 k 6 k h 7 i in KDNF KDNF = Disjunktion von Elementarkon konjunktionen H.-D. Wuttke 09

6 KKNF => KDNF Für r vollständig bestimmte Funktionen gilt: I 0 = I 1 Index für f d: I 0 h i = d 0 d 3 d 4 Index für f k: I 1 = k 1 k 2 k 5 k 6 k 7 H.-D. Wuttke 09

7 Technische Informatik I Mathematische Grundlagen (1) Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4,5) Automaten (6,7) Sequentielle Schaltungen (8) Programmierbare Strukturen (9) Rechneraufbau und ~funktion (10,11) Informationskodierung (12,13,14) H.-D. Wuttke 09

8 Karnaugh-Veith Veith-Diagramme Kürzungsregel benachbarte Belegungen [1,1,1][0,1,1]... unterscheiden sich in genau 1Bit benachbarte Ausdrücke (r=2) hi=x2 x2*x1* *x1*x0+/x2*x1*x0x0 = x1*x0 in genau einer Variablen (negiert( negiert) H.-D. Wuttke 09

9 Karnaugh-Veith Veith-Diagramme Kürzungsregel benachbarte Belegungen [1,1,1][0,1,1]... unterscheiden sich in genau 1Bit benachbarte Ausdrücke (r=2) hi=x2 x2*x1* *x1*x0+/x2*x1*x0x0 = x1*x0 in genau einer Variablen (negiert( negiert) H.-D. Wuttke 09

10 Karnaugh-Veith Veith-Diagramme benachbarte Belegungen grafisch so anordnen, dass Nachbarn nebeneinander liegen, Matrix, Nachbarschaft je Spalte und je Zeile Funktionswerte H.-D. Wuttke 09

11 Karnaugh-Veith Veith-Diagramme Weitere Darstellungen, (nur für f r DNF)

12 Kürzen Erweitern Kürzen x3*x0+x3*x1+x2*x1

13 Karnaugh-Veith Veith-Diagramme z.b. k 13 k 9

14 Karnaugh-Veith Veith-Diagramme Gleiches Beispiel - andere KürzungK x3*x2*x1*/x0+x3*x2*x1*x0=x3*x2*x1 k 11 k 10 x3*/x2*x1*x0+x3*/x2*x1*/x0=x3*/x2*x1 x3*x2*x1+x3*/x2*x1*x0= x3*x1

15 Karnaugh-Veith Veith-Diagramme Gleiches Beispiel - andere KürzungK k 10 k 11 x3*x1 Im 4-er 4 Block sind die Variablen x3 und x1 konstant mit 1 belegt, x2 und x0 ändern sich => x2 und x0 werden gekürzt

16 Karnaugh-Veith Veith-Diagramme Gleiches Beispiel - andere KürzungK Ergebnis:

17 Karnaugh-Veith Veith-Diagramme benachbarte Belegungen können gekürzt werden. Kürzung: 1 Variable => 2er Block 2 Variable => 4er Block 3 Variable => 8er Block 4 Variable =>16er Block... x 3 /x 2 /x 1 Applet H.-D. Wuttke 09

18 Karnaugh-Veith Veith-Diagramme Bei 6 Variablen: Applet zum Üben 07

19 Technische Informatik I 4. Vorlesung 2. Funktion digitaler Schaltungen... wertverlaufsgleiche Umformungen Karnaugh-Veith Veith-Diagramme, 3. Struktur digitaler Schaltungen: Strukturdefinition, Struktursynthese, elementare Strukturen, Strukturanalyse......

20 Technische Informatik I 4. Vorlesung 2. Funktion digitaler Schaltungen... wertverlaufsgleiche Umformungen Karnaugh-Veith Veith-Diagramme, 3. Struktur digitaler Schaltungen: Strukturdefinition, Struktursynthese, elementare Strukturen, Strukturanalyse......

21 Strukturdefinition

22 Modul

23 Strukturdefinition Koppelfunktion: eindeutig

24 Strukturdefinition Koppelfunktion: f 1

25 Strukturdefinition Koppelfunktion: f 1

26 Kombinatorische Struktur

27 Technische Informatik I 4. Vorlesung 2. Funktion digitaler Schaltungen... wertverlaufsgleiche Umformungen Karnaugh-Veith Veith-Diagramme, 3. Struktur digitaler Schaltungen: Strukturdefinition, elementare Strukturen, Struktursynthese, Strukturanalyse......

28 elementare Strukturen

29 Basissysteme

30 Technische Informatik I 4. Vorlesung 2. Funktion digitaler Schaltungen... wertverlaufsgleiche Umformungen Karnaugh-Veith Veith-Diagramme, 3. Struktur digitaler Schaltungen: Strukturdefinition, elementare Strukturen, Struktursynthese, Strukturanalyse......

31 Struktursynthese Syntaktische Struktur eines Ausdrucks Modulstruktur der Schaltung strukturgleiche Schaltung strukturgleicher Ausdruck

32 Struktursynthese strukturgleiche Schaltung strukturgleicher Ausdruck

33 Technische Informatik I 4. Vorlesung 3. Struktur digitaler Schaltungen: Strukturdefinition, Struktursynthese, elementare Strukturen, Strukturanalyse H.-D. Wuttke 09

34 Strukturanalyse strukturgleiche Schaltung strukturgleicher Ausdruck H.-D. Wuttke 09

35 Technische Informatik I 5. Vorlesung 3. Struktur digitaler Schaltungen:... komplexes Beispiel: I 1 ={3,4,6,7,9,12,14} Minimierung, DNF-Realisierung H.-D. Wuttke 09

36 Technische Informatik I 5. Vorlesung 3. Struktur digitaler Schaltungen:... komplexes Beispiel Analyse, Minimierung, NAND-Synthese H.-D. Wuttke 09

37 Technische Informatik I 5. Vorlesung 3. Struktur digitaler Schaltungen: Analyse, Minimierung, NAND-Synthese (Aufg. 3.15) H.-D. Wuttke 09

38 Technische Informatik I 5. Vorlesung Buch: Schaltsysteme, S146, Aufgabe 3.15 /(((x1+x0)*x3)*/((x1+x0)*x2)*(/((x1+x0)*x2)*x3)) h1(d) = d9 * d10 * d11 KNF /x3+x2+(/x1*/x0) DNF /(/(/x1*/x0)*/x2*x3) NANF H.-D. Wuttke 09

39 Das war s s für f r heute Viel Spaß beim Wiederholen! Bis nächsten n Donnerstag