Technische Informatik 1

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1 Technische Informatik 1 Mathematische Grundlagen (1) Boolesche Algebren: : BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4,5) Automaten (6,7) Sequentielle Schaltungen (8) Programmierbare Strukturen (9) Rechneraufbau und ~funktion~ (10,11) Informationskodierung (12,13,14)

2 Technische Informatik 1 7. Vorlesung 4. Sequentielle Schaltungen Automatentypen Verifikation (Vollständigkeit & Widerspruchsfreiheit) Synthese sequ.. Strukturen (z- und y-y Gleichungen)

3 Automatentabelle => Automatengraph Interpretation 1: Typ alt (Zustand am Rand ) => In Tabelle steht Ausgabe des alten Zustandes λ( a Z,X) z.b. in Z 1 gilt: y= k 2 (x) k 3 (x)= x 1

4 Automatentabelle => Automatengraph Interpretation 1: Typ alt (Zustand am Rand ) => In Tabelle steht Ausgabe des alten Zustandes λ( a Z,X) z.b. in Z 1 gilt: y= k 2 (x) k 3 (x)= x 1 d.h. Ausgabe wird aus den Belegungen je einer Zeile ermittelt Bevorzugte Interpretation!

5 Moore / Mealy Moore-Automat A=(X,Y,Z,δ,μ) Ausgabe nur von Zuständen abh. Spezielle Ausgabefunktion: μ: : Z=>Y Mealy- Automat A=(X,Y,Z,δ,λ) λ: ZxX =>Y Ausgabe auch von Eingaben abh.

6 Beispiel als Moore-Automat In Ausgabefunktion nur Konstante Mealy-Automat Automat:

7 Verifikation Korrekter Entwurf? => formale Verifikation Prüfung auf Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit

8 Vollständigkeit BAA => BMA je Zustand alle X k vollständig {X 0, X 2, X 4, X 6 } {X 1, X 3, X 5, X 7 } {X 0, X 1, X 4, X 5 } {X 2, X 3, X 6, X 7 }

9 Vollständigkeit BMA {X 0, X 2, X 4, X 6 } {X 1, X 3, X 5, X 7 }= X BAA x 0 x 0 =1 allgemein i:zustandsindex

10 Widerspruchsfreiheit BAA => BMA Widerspruch {X 0, X 1, X 2, X 3 } {X 0, X 1, X 4, X 5 } {X 2, X 3, X 6, X 7 }

11 Widerspruchsfreiheit BAA allgemein

12 Widerspruchsfreiheit Vergleich mit Aufgabe und Widerspruch auflösen {X 0, X 1, X 2, X 3 } {X 4, X 5 } {X 6, X 7 }

13 z-gleichungen Zustandsüberf berführungsfunktion: Zur DNF-Realisierung 1-Belegungen der z-variablenwerte in den Zustandskodierungen suchen und Bedingungen notieren: z.b. 1=Belegung von z 0 in Z 1 z 0 :=

14 z-gleichungen Zustandsüberf berführungsfunktion: z 0 := z 0 x 0 z 0 x 1

15 y-gleichungen Ausgabefunktion: z.b. 1-Belegung 1 von in Z 1 Knotengewicht = z 0 x 2

16 Struktur-Gleichungen Ausgabefunktion: = z 0 x 2 = z 0 x 2 Zustandsüberf berführungsfunktion: z 0 := x 0 z 0 x 1

17 Technische Informatik 1 Mathematische Grundlagen (1) Boolesche Algebren: : BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4,5) Automaten (6,7) Sequentielle Schaltungen (8) Programmierbare Strukturen (9) Rechneraufbau und ~funktion~ (10,11) Informationskodierung (12,13,14)

18 Technische Informatik 1 Mathematische Grundlagen (1) Boolesche Algebren: : BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4,5) Automaten (6,7) Sequentielle Schaltungen (8) Programmierbare Strukturen (9) Rechneraufbau und ~funktion~ (10,11) Informationskodierung (12,13,14)

19 Technische Informatik 1 Analyse sequenzieller Strukturen Elementare sequentielle Strukturen: Basis Flip-Flop Flop

20 Funktionsanalyse Einfachste sequenzielle Struktur Basis Flip-Flop Flop (NAND( NAND-RS-Flip-Flop) Rücksetzbedingung: R S =1 (Rückgesetzt, Q) Rücksetz- Eingang 1 0 Setzeingang 0 1 S=1, d.h. S und R=1 => Rücksetzen

21 Funktionsanalyse Einfachste sequenzielle Struktur Basis Flip-Flop Flop (NAND( NAND-RS-Flip-Flop) Setzbedingung: S R =1 (Gesetzt, Q=1) Rücksetz- Eingang 0 1 Setzeingang 1 0 R=1, d.h. R und S=1 => Setzen

22 Funktionsanalyse Einfachste sequenzielle Struktur Basis Flip-Flop Flop (RS-Flip Flip-Flop) Flop) S R =1 (Q=Q) => verbieten!!! S 0 1 R 0 1

23 Funktionsanalyse Einfachste sequenzielle Struktur Basis Flip-Flop Flop (RS-Flip Flip-Flop) Flop) Q Q Rücksetzen: S R =1 0 1 Setzen: S R =1 1 0 Speichern: S = R Q Q Verboten: S = R =1 1 1

24 Strukturanalyse Einführung von z-variablenz Auftrennung von Kreisen z 0 neu / alt z 1 neu / alt

25 Strukturanalyse Aufstellen der z-gleichungenz

26 Strukturanalyse Kombinieren der z-gleichungenz linke Seiten: Elementarkonjunktionen k( n z) ) => Zustände nde Z i rechte Seiten: hinführende hrende Kanten zu Z i z-terme erweitern zu k( a z)

27 Strukturanalyse Kombinieren der z-gleichungenz rechte Seiten: Elementarkonjunktionen k( n z) ) => Zustände linke Seiten: nde Z i hinführende hrende Kanten zu Z i erweitern zu k( a z)

28 Strukturanalyse Kombinieren der z-gleichungenz

29 Strukturanalyse Kombinieren der z-gleichungenz

30 Strukturanalyse Zusammensetzen des Graphen

31 Strukturanalyse Zusammensetzen des Graphen

32 Strukturanalyse Zusammensetzen des Graphen

33 RS-Flip Flip-FlopFlop RS- Flip-Flop Flop (abstrahiert)

34 Getaktetes Flip-Flop Flop Taktsignal ( clock( clock C )

35 D-Flip-FlopFlop RS- Flip-Flop Flop mit invertiertem Setz-/ / RücksetzR cksetz-signal D D Applet

36 Moore-Automat Beispiel

37 Moore-Automat Beispiel &

38 D-Flip-FlopFlop RS- Flip-Flop Flop mit invertiertem Setz-/ / RücksetzR cksetz-signal D D Applet

39 Moore-Automat Beispiel Dff & z 0 Dff z 1

40 Mealy-Automat Ausgabefunktion: = z 0 x 2 = z 0 x 2 Zustandsüberf berführungsfunktion: z 0 := x 0 z 0 x 1

41 Struktur-Gleichungen Ausgabefunktion: = z 0 x 2 = z 0 x 2 Zustandsüberf berführungsfunktion: z 0 := x 0 z 0 x 1

42 Struktur-Gleichungen Ausgabefunktion: = z 1 z 0 = z 1 z 0 Zustandsüberf berführungsfunktion: z 0 := z 0 x 1 z 0 x 2 z 1 z 0 z 1 z 0 x 2 x 0 z 1 := x 2

43 Parallele Automaten Beispiel formale Lösung: L Initialzustände: nde: fahren links /x 2 x 2 z 1 =/z 0 = z 0 z 1 =1 /x 2 x 2 /z 1 x 2 x 0 /(/z x 0 z 0 1 x 2 x 0 ) z 0 =1 /x /(/z 1 1 x 2 x 1 ) /z 1 x 2 x 1

44 Parallele Automaten Beispiel formale Lösung: L Initialzustände: nde: fahren links /x 2 x 2 z 1 =/z 0 = z 0 z 1 =1 /x 2 x 2 /z 1 x 2 x 0 /(/z x 0 z 0 1 x 2 x 0 ) z 0 =1 /x /(/z 1 1 x 2 x 1 ) /z 1 x 2 x 1

45 Parallele Automaten Beispiel formale Lösung: L Initialzustände: nde: haten links /x 2 x 2 z 1 =/z 0 = z 0 z 1 =1 /x 2 x 2 /z 1 x 2 x 0 /(/z x 0 z 0 1 x 2 x 0 ) z 0 =1 /x /(/z 1 1 x 2 x 1 ) /z 1 x 2 x 1

46 Parallele Automaten Beispiel formale Lösung: L Initialzustände: nde: fahren links /x 2 x 2 z 1 =/z 0 = z 0 z 1 =1 /x 2 x 2 /z 1 x 2 x 0 /(/z x 0 z 0 1 x 2 x 0 ) z 0 =1 /x /(/z 1 1 x 2 x 1 ) /z 1 x 2 x 1

47 Parallele Automaten Beispiel formale Lösung: L Initialzustände: nde: fahren rechts /x 2 x 2 z 1 =/z 0 = z 0 z 1 =1 /x 2 x 2 /z 1 x 2 x 0 /(/z x 0 z 0 1 x 2 x 0 ) z 0 =1 /x /(/z 1 1 x 2 x 1 ) /z 1 x 2 x 1

48 Parallele Automaten Beispiel formale Lösung: L Initialzustände: nde: halten rechts /x 2 x 2 z 1 =/z 0 = z 0 z 1 =1 /x 2 x 2 /z 1 x 2 x 0 /(/z x 0 z 0 1 x 2 x 0 ) z 0 =1 /x /(/z 1 1 x 2 x 1 ) /z 1 x 2 x 1

49 Parallele Automaten Beispiel formale Lösung: L start/stopp /x 2 x 2 z 1 =/z 0 z 1 =1 =z 0 /x 2 x 2??? /z 1 x 2 x 0 /(/z x 0 z 0 1 x 2 x 0 ) z 0 =1 /x /(/z 1 1 x 2 x 1 ) /z 1 x 2 x 1

50 Parallele Automaten Beispiel intuitive Lösung: L start/stopp /x 2 x 2 z 1 z 1 =1 /x 2 x 2 links/rechts x 0 /x 0 z 0 =/z 1 z 0 =1 =/z 1 /x 1 x 1

51 Das war s s für f r dieses Jahr Ich wünsche w Ihnen allen ein erholsames, friedliches Weihnachtsfest und einen guten Start im Jahr 2009