Technische Informatik (RO)

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1 Technische Informatik (RO) Zahlensysteme, Digitale Systeme (1) Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4) Automaten (5,6) Datenkodierung (7,8) Fortsetzung Teil Rechnerarchitektur, Prof. Fengler 04. Dezember 2018

2 Literatur: Vorlesung 1-5 Wuttke, Henke: Schaltsysteme ISBN: , Verlag: Pearson Studium

3 Vorlesung 5, 6

4 Technische Informatik (RO) Zahlensysteme, Digitale Systeme () Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4) Automaten (5,6) Datenkodierung (7,8) Fortsetzung Teil Rechnerarchitektur, Prof. Fengler 04. Dezember 2018

5 Grundlagen 1. Math. Grundlagen: Aussagen zusammengesetzte Aussagen Prädikate Mengen Abbildungen

6 Aussage Satz zur Beschreibung eines Sachverhaltes Wahrheitswerte: w, f kein Wert = keine Aussage

7 Mengendefinition... mithilfe von Aussagen b( b B p(b) ) mithilfe von Prädikaten B={ b p(b) } durch Aufzählung der Elemente b i B= { b 0, b 1, b 2 }

8 Begriffe der Mengenlehre Mächtigkeit Die leere Menge Teilmenge (B von C) B B C geordnete Mengen (Tupel) [ b1, b0 ] Mengenoperationen: Komplement, Schnitt, Vereinigung Mengenprodukt B x C Ergebnis: Menge von Tupeln {[b0,c0], [b1,c0]... [bi,cj]

9 Mengenoperationen

10 Digitale Schaltungen 2. Beschreibung der Funktion Digitaler Schaltungen: Variablen, Belegungen Wertetabellen

11 Variablen, Belegungen Eingangsvektor x=[x 2, x 1, x 0 ] klein Eingangsbelegung X 3 =[ 0, 1, 1] GROß Belegungsindex i =0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 =3 Ausgangsvektor y = [y 1, y 0 ] klein Ausgangsbelegung Y 1 =[ 0, 1] GROß Belegungsindex t =0*2 1 +1*2 0 =1

12 Wertetabelle 2

13 Rechnerorganisation 2. Funktion digitaler Schaltungen: continued BMA, Wertetabellen Syntax schaltalgebraischer Ausdrücke Semantik, Wertfunktion BAA, Wertberechnung Ausdruck => Wertetabelle

14 Beispiel Addition Wertetabelle Vorbereich Nachbereich ü i-1 a i b i ü i s i Adder x= [x 2 x 1 x 0 ] x 2 x 1 x 0 y 1 y 0 intern X Y 0 X Y 1 X Y 1 X Y 2 X Y 1 X Y 2 X Y 2 X Y 3

15 Semantik: Wertfunktion W Wertberechnung: BAA Rechenregeln für Konstante: Negation: 1=0 0=1 Konjunktion: 1 1=1; 0 1=0 0=0 Disjunktion: 0 0=0; 0 1=1 1=1

16 Semantik: Wertfunktion W Rechenregeln: BAA Wertberechnung für Ausdrücke W(h i, X k ): Schrittweise Berechnung des Wertes 1. Belegung der Variablen (Bits) 2. Verknüpfung der Werte Variable x j => Bit der Belegung X k (x j )

17 schaltalgebraische Ausdrücke... sind Zeichenreihen zur strukturorientierten Beschreibung digitaler Schaltungen Wertetabellen: eindeutige Abbildung Eingangsbelegung/ Ausgangsbelegung => funktionsorientierte Beschreibung

18 Rechnerorganisation 2. Funktion digitaler Schaltungen: continued Wertetabelle => Ausdruck Elementarkonjunktion, KDNF Elementardisjunktion, KKNF Überführung Normalformen Umformungsregeln

19 Elementardisjuktion 0 0=0, 1 0=0 X 3 = [0,0,..., 0,1,1] W(d 3, X i ) =0 falls i = 3 W(d 3, X i ) =1 falls i 3 X 3 = [0,0,..., 0,1,1] d 3 = x n-1... x 1 x 0

20 Elementarkonjuktion 1 1=1, 1 0=1 X 3 = [0,0,..., 0,1,1] W(k 3, X i ) =1 falls i = 3 W(k 3, X i ) =0 falls i 3 X 3 = [0,0,..., 0,1,1] k 3 = x n-1... x 1 x 0

21 Elementarkonjuktion k 2 => KDNF 1 1=1, 0 1=1 X 2 = [0,..., 0, 1, 0] k 2 = x n-1... x 1 x 0 h i = k 1 k 2 k 5 k 6 k 7 h i in KDNF KDNF = Disjunktion von Elementarkonjunktionen

22 Elementardisjuktion d 2 => KKNF 0 0 =0, 0 1=0 X 2 =[0,..., 0, 1, 0] d 2 = x n-1... x 1 x 0 h i = d 0 d 3 d 4 h i in KKNF KKNF = Konjunktion von Elementardisjunktionen

23 KKNF => KDNF Für vollständig bestimmte Funktionen gilt: I 0 =I 1 Index für d: I 0 h i = d 0 d 3 d 4 Index für k: I 1 = k 1 k 2 k 5 k 6 k 7

24 Überführung Normalformen De Morgan: h i h j = h i h j h i h j = h i h j KDNF => KNANF k i k j = k i k j KKNF => KNONF d i d j = d i d j

25 Kürzen Erweitern Kürzen Applet zum Vergleich ( =+, =*) x3*x0+x3*x1+x2*x1

26 Karnaugh-Veith-Diagramme Kürzungsregel benachbarte Belegungen [1,1,0][1,1,1] r=0... unterscheiden sich in genau 1Bit benachbarte Ausdrücke x2*x1 = x2*x1*x0+x2*x1*/x0 mit h i =x2*x1, r=0 in genau einer Variablen (negiert)

27 Karnaugh-Veith-Diagramme benachbarte Belegungen grafisch so anordnen, dass Nachbarn nebeneinander liegen, Matrix, Nachbarschaft je Spalte und je Zeile Funktionswerte

28 Karnaugh-Veith-Diagramme z.b. k 13 k 9

29 Karnaugh-Veith-Diagramme Gleiches Beispiel - andere Kürzung Ergebnis:

30 Karnaugh-Veith-Diagramme benachbarte Belegungen können gekürzt werden. Kürzung: 1 Variable => 2er Block 2 Variable => 4er Block 3 Variable => 8er Block 4 Variable =>16er Block... x 3 /x 2 /x 1 Applet

31 Technische Informatik (RO) Zahlensysteme, Digitale Systeme (1) Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4) Automaten (5,6) Datenkodierung (7,8) Fortsetzung Teil Rechnerarchitektur, Prof. Fengler 04. Dezember 2018

32 Kombinatorische Struktur

33 Kombinatorische Struktur

34 Struktursynthese strukturgleicher Ausdruck strukturgleiche Schaltung

35 Strukturanalyse

36 Technische Informatik (RO) Zahlensysteme, Digitale Systeme (1) Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4) Automaten (5,6) Datenkodierung (7,8) Fortsetzung Teil Rechnerarchitektur, Prof. Fengler 04. Dezember 2018

37 Technische Informatik (RO) Automatentypen (Mealy/Moore) Synthese sequentieller Strukturen (z- und y- Gleichungen) Verifikation (Vollständigkeit & Widerspruchsfreiheit)

38 Beispiel

39 Automatengraph aus Automatentabelle x 2 = x s x 1 = x r x 0 = x l

40 Automatengraph Intuitiver Entwurf Beispiel: Zustand Z 0 => links fahren Zustand Z 1 => rechts fahren Zustand behalten, falls Rand nicht erreicht => z.b. h 00 =x 0 fahren, falls x 2 =1: y k =x 2... x 2 = x s x 1 = x r x 0 = x l Mealy Automat

41 Automatengraph Intuitiver Entwurf x 2 = x s x 1 = x r x 0 = x l Moore Automat

42 Technische Informatik (RO) Zahlensysteme, Digitale Systeme (1) Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4) Automaten (5,6) Datenkodierung (7,8) Fortsetzung Teil Rechnerarchitektur, Prof. Fengler 04. Dezember 2018

43 Technische Informatik (RO) Automatentypen (Mealy/Moore) Synthese sequentieller Strukturen (z- und y- Gleichungen) Verifikation (Vollständigkeit & Widerspruchsfreiheit)

44 z-gleichungen Zustandsüberführungsfunktion: Zur DNF-Realisierung 1-Belegungen der z-variablenwerte in den Zustandskodierungen suchen und Bedingungen notieren: z.b. 1=Belegung von z 0 in Z 1

45 z-gleichungen Zustandsüberführungsfunktion: z 0 := z 0 x 0 z 0 x 1 1-Belegung von z 0 in Z 1 hinführende Kanten

46 y-gleichungen Ausgabefunktion: z.b. 1-Belegung von y 1 in Z 1 Knotengewicht y 1 = z 0 x 2

47 Struktur-Gleichungen Zustandsüberführungsfunktion: z 0 := x 0 z 0 x 1 Ausgabefunktion: y 0 = z 0 x 2 y 1 = z 0 x 2

48 Technische Informatik (RO) Automatentypen (Mealy/Moore) Synthese sequentieller Strukturen (z- und y- Gleichungen) Verifikation (Vollständigkeit & Widerspruchsfreiheit)

49 Verifikation Korrekter Entwurf? => formale Verifikation Prüfung auf Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit

50 Vollständigkeit BAA => BMA je Zustand alle X k vollständig {X 0, X 2, X 4, X 6 } {X 1, X 3, X 5, X 7 } {X 0, X 1, X 4, X 5 } {X 2, X 3, X 6, X 7 }

51 Vollständigkeit BMA {X 0, X 2, X 4, X 6 } {X 1, X 3, X 5, X 7 } = X BAA x 0 x 0 = 1 allgemein Für jeden Zustand einzeln testen!

52 Widerspruchsfreiheit BAA => BMA je Kantenpaar keine gleichen Belegungen {X 0, X 1, X 4, X 5 } {X 2, X 3, X 6,X 7 }

53 Widerspruchsfreiheit BAA => BMA Widerspruch {X 0, X 1, X 2, X 3 } {X 0, X 1, X 4, X 5 } {X 2, X 3, X 6, X 7 }

54 Widerspruchsfreiheit BAA => BMA Widerspruch BMA: paarweise Schnittbildung {X 2, X 3, X 6, X 7 } {X 0, X 1, X 2, X 3 } = {X 2, X 3 }=> Widerspruch! BAA: paarweise Konjunktion x 1 x 2 0 Widerspruch!

55 Widerspruchsfreiheit BAA allgemein

56 Widerspruchsfreiheit Vergleich mit Aufgabe und Widerspruch auflösen {X 0, X 1, X 2, X 3 } {X 4, X 5 } {X 6, X 7 }

57 Technische Informatik (RO) Zahlensysteme, Digitale Systeme (1) Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4) Automaten (5,6) Datenkodierung (7,8) Fortsetzung Teil Rechnerarchitektur, Prof. Fengler 04. Dezember 2018

58 Datenkodierung Daten alphanumerische Zeichen Zahlen ASCII-Kode:

59 Zahlenkodierung Binary Coded Decimals

60 Zahlenkodierung BCD Tetraden <> Pseudotetraden

61 Operationen Konegative Zahlen z n1 > z n2, z n1 + z n2 =s n, z n1 - z n2 = d n

62 Gleitkommazahlen (GK) IEEE - Standard (125) dezimal = ( 1, x ) dual s e f...

63 Gleitkommazahlen (GK) IEEE - Standard Sonderformate

64 Das war s für den Teil RO Viel Erfolg bei der Prüfung ;-)