03 Boolesche Algebra. Technische Grundlagen der Informatik

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1 03 Boolesche Algebra Technische Grundlagen der Informatik Automation Systems Group E183-1 Institute of Computer Aided Automation Vienna University of Technology

2 Inhalt Operationen der Booleschen Algebra Gesetze der Booleschen Algebra Funktionen über der Booleschen Algebra Normalformen Vereinfachen von Funktionen 2

3 Boolesche Algebra Der englische Mathematiker George Boole ( ) versuchte, Logik formal auszudrücken Entwickelte dazu 1847 die Algebra der Logik: Boolesche Algebra Diese arbeitet mit den Werten falsche Aussage und wahre Aussage Abbildung auf 0 und 1 3

4 1. Operationen der Booleschen Algebra Notation andere Schreibweisen Bezeichnung, & AND, UND Binäre Operationen + OR, ODER (2 Operanden) Überstreichung ( e ) NOT, NICHT Unäre Operation (1 Operand) a b a b a b a Rangfolge der Operatoren: vor vor 4

5 2. Gesetze der Booleschen Algebra Kommutativgesetz x y = y x x y = y x Assoziativgesetz (x y) z = x (y z) (x y) z = x (y z) Distributivgesetz x (y z) = (x y) (x z) x (y z) = (x y) (x z) Absorptionsgesetz x (x y) = x x (x y) = x Weitere Gesetze 0 x = x bzw. 1 x = x x x = 1 (Tautologie) bzw. x x = 0 (Kontradiktion) ( x) = x 5

6 2. Gesetze der Booleschen Algebra Anwendung, Beispiel 1 Aus x y = 0 und x y = 1 folgt y = x Beweis durch Umformen (Anwendung der Gesetze): y = y 0 = = y x x = = (y x) (y x) (y x) = 1 setzen: y = 1 y x = = y x sowie x = x 0 = = x x y = = x x x y = = 1 x y = = x y = = y x woraus die Gleichheit (y = x) folgt Linke Seite Rechte Seite 6

7 2. Gesetze der Booleschen Algebra Anwendung, Beispiel 2 Beweise (x y) ( x y) = 1 durch Umformen x y x y = x y x x y y = = x x y x y y = = 1 y x 1 = = 1 1 = 1 Beweise (x y) ( x y) = 0 durch Umformen x y x y = x x y y x y = = x x y y y x = = 0 y 0 x = = 0 0 = 0 7

8 2. Gesetze der Booleschen Algebra De Morgan Das de Morgansche Gesetz: x y = x y (x y) = x y Beweis durch Wahrheitstabelle a b a b (a b) a b a b

9 2. Gesetze der Booleschen Algebra De Morgan Erweiterung des Gesetzes von de Morgan: n bzw. x 1 x 2 x 3 x n = x i i=1 n x 1 x 2 x 3 x n = x i Durch vollständige Induktion nach n erhalten wir dann: n n i=1 bzw. x i = x i i=1 i=1 n n x i i=1 = x i i=1 9

10 3. Funktionen über der Booleschen Algebra e i {0,1} für i = 1,2,, n und a 0,1 f:,,, e n a n = 1; eine Eingangsvariable wird auf die Ausgangsvariable abgebildet f 1 e = 0 e = 1 a Funktionstyp f a 1.0 = 0 Nullfunktion f a 1.1 = e Identität f a 1.2 = e Negation f a 1.3 = 1 Einsfunktion f 1 Logische Funktionen mit einer Eingangsvariablen und einer Ausgangsvariablen 10

11 3. Funktionen über der Booleschen Algebra Funktionen mit zwei Eingangsvariablen : : j a 2.j = f 2.j e1, Funktionstyp 0 f 2. 0 a 2.0 = 0 Nullfunktion 1 f a 2.1 = Konjunktion, AND, 2 f a 2.2 = Konjunktion 3 f a 2.3 = Identität 4 f a 2.4 = Konjunktion 5 f a 2.5 = Identität 6 f a 2.6 = Antivalenz, XOR 7 f a 2.7 = Disjunktion, OR, 8 f a 2.8 = = Konjunktion, NOR 9 f a 2.9 = Äquivalenz 10 f a 2.10 = Negation 11 f a 2.11 = Disjunktion 12 f a 2.12 = Negation 13 f a 2.13 = Disjunktion 14 f a 2.14 = = Disjunktion, NAND 15 f a 2.15 = 1 Einsfunktion 11

12 3. Funktionen über der Booleschen Algebra Implikation (oder Subjunktion) Symbol: entspricht dem Ausdruck

13 3. Funktionen über der Booleschen Algebra Äquivalenz (oder Bijunktion) Symbol: bzw. entspricht dem Ausdruck

14 3. Funktionen über der Booleschen Algebra NAND und NOR NAND (NOT AND, Verneintes UND) NNNN entspricht dem Ausdruck: ( ) NOR (NOT OR, Verneintes ODER) NNN entspricht dem Ausdruck: ( ) NNNN NNN

15 3. Funktionen über der Booleschen Algebra Tautologie Tautologie Verknüpfung von Wahrheitswerten, die immer den Wert 1 (wahre Aussage) liefert Beispiele: (e e ), (e e ), ( ) Aufstellen der Wahrheitstabellen: e e e e e ( )

16 3. Funktionen über der Booleschen Algebra Kontradiktion Kontradiktion Verknüpfung von Wahrheitswerten, die immer den Wert 0 (falsche Aussage) liefert Beispiele: (e e), ( e e) e e e e e e

17 3. Funktionen über der Booleschen Algebra Funktionale Vollständigkeit Unter funktionaler Vollständigkeit versteht man die Eigenschaft einer Menge Boolescher Funktionen, alle möglichen Logikoperationen darstellen zu können. So ist beispielsweise die Menge {, } funktional vollständig, weil sich durch die Funktionen selbst oder durch Kombination der Funktionen alle denkbaren Logikoperationen darstellen lassen. a b = ( a b) Weitere Beispiele? {NNNN} universelle Operation/Funktion {NNN} universelle Operation/Funktion {, } 17

18 4. Normalformen Vollform = Ausdruck, in dem jede Variable genau einmal vorkommt Vollkonjunktion (Minterm) = Ausdruck, in dem sämtliche vereinbarten Variablen (bzw. deren Negate) konjunktiv verbunden sind z.b.: Vereinbarte Variablen: a, b, c (a b c) Volldisjunktion (Maxterm) = Ausdruck, in dem sämtliche vereinbarten Variablen (bzw. deren Negate) disjunktiv verbunden sind z.b.: (a b c ) Negationen nur in atomarer Form a b nicht atomar a b atomar 18

19 4. Normalformen Die disjunktive Normalform (DNF) ist jene Darstellungsart, bei der eine Reihe von Vollkonjunktionen disjunktiv verknüpft wird. Negationen treten nur in atomarer Form auf. z.b.: (a b c) (a b c) ( a b c) Die konjunktive Normalform (KNF) ist jene Darstellungsart, bei der eine Reihe von Volldisjunktionen konjunktiv verknüpft wird. Negationen treten nur in atomarer Form auf. z.b.: ( a b c ) (a b c ) (a b c ) Andere Bezeichnungen: kanonische disjunktive/konjunktive Normalform (KDNF/KKNF) vollständige disjunktive/konjunktive Normalform 19

20 4. Normalformen Disjunktive Normalform (DNF) Beispiel: f(,, e 3 ) = ( ) ( e 3 ) Zeile e 3 e 3 ( ) ( e 3 ) Alle Zeilen, in denen die Ergebnisspalte den Wert 1 aufweist: Zeile Vollkonjunktion 2 ( e 3 ) 4 ( e 3 ) 7 ( e 3 ) ( e 3 ) ( e 3 ) ( e 3 ) 20

21 4. Normalformen Konjunktive Normalform (KNF) Beispiel: ( ) e 3 Zeile e 3 ( ) e Alle Zeilen, in denen die Ergebnisspalte den Wert 0 aufweist Zeile Vollkonjunktion Volldisjunktion 1 ( e 3 ) ( e 3 ) 3 ( e 3 ) ( e 3 ) 5 ( e 3 ) ( e 3 ) ( e 3 ) ( e 3 ) ( e 3 ) 21

22 5. Vereinfachen von Funktionen Irrelevante Variablen werden eliminiert Anwendung z.b. bei Minimierung von Schaltungen Grundsätzlich durch Umformungen (anhand der Gesetze) möglich Ergebnisse sind aber nicht immer minimal! Systematisches Vorgehen sinnvoll/erforderlich Minimierungsverfahren: Karnaugh & Veitch (K&V) 22

23 5. Vereinfachen von Funktionen K&V Besonders bei Funktionen mit 4 oder weniger Variablen sinnvoll Bei mehr Variablen geht Vorteil der graphischen Veranschaulichung zunehmend verloren! Das KV-Diagramm wird aus Vierecken zusammengebaut Jedes der Felder entspricht einer Vollkonjunktion KV-Diagramm......für 2 Variablen:...für 3 Variablen:...für 4 Variablen: e 3 e 3 e 3 e 3 e 3 e 3 e 3 e 4 e 4 e 3 e 4 23

24 5. Vereinfachen von Funktionen K&V Ablauf Schritt 1: Zeichnen und Befüllen des KV-Diagramms 1 in Feld eintragen, wenn entsprechende Vollkonjunktion vorkommt sonst: 0 eintragen Schritt 2: möglichst vieler, die in benachbarten Feldern stehen, zu Blöcken zusammenfassen 2, 4, 8 (oder 16) Felder können zusammengefasst werden Nicht zusammenfassbarer müssen auch übernommen werden Überlappungen von zusammengefassten Blöcken möglich Felder, die sich am Rand befinden, grenzen an gegenüberliegende Randfelder (!) Wenn zwei Felder zusammengefasst werden, werden in der DNF zwei Vollkonjunktionen zu einem Ausdruck zusammengefasst. Die Variable, die einen Einser im negierten und im nicht negierten Bereich hat, wird gestrichen. 24

25 5. Vereinfachen von Funktionen K&V Vereinfachen - Beispiel e f(,, e 3, e 4 ) = ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) Wenn zwei Felder zusammengefasst werden, werden in der DNF zwei Vollkonjunktionen zu einem Ausdruck zusammengefasst. Die Variable, die einen Einser im negierten und im nicht negierten Bereich hat, wird gestrichen: ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 ) e 4 e 4 = ( e 3 ) 25

26 5. Vereinfachen von Funktionen K&V Einige mögliche Zweierblöcke f,, e 3, e 4 = e 3 f,, e 3, e 4 = e 3 e f,, e 3, e 4 = e 3 e 4 f,, e 3, e 4 = e 3 26

27 5. Vereinfachen von Funktionen K&V Viererblöcke und ein Achterblock f,, e 3, e 4 = e 4 f,, e 3, e 4 = e f,, e 3, e 4 = e 3 f,, e 3, e 4 = 27

28 5. Vereinfachen von Funktionen K&V Einser mehrfach verwenden (Foli von 2) Bsp: f(,, e 3, e 4 ) = ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) e

29 5. Vereinfachen von Funktionen K&V Einser mehrfach verwenden (Foli von 2) Mögliche Einteilung: e f(,, e 3, e 4 ) = ( FALSCH weil nicht minimal e 4 ) ( e 3 e 4 ) Ein Einser kann auch für mehrere Blöcke verwendet werden, z.b.: e f(,, e 3, e 4 ) = ( e 4 ) ( e 3 ) RICHTIG 29

30 5. Vereinfachen von Funktionen K&V Beispiel (Foli von 4) Bsp.: Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck mit dem Verfahren nach Karnaugh & Veitch: f(,, e 3, e 4 ) = ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 )

31 5. Vereinfachen von Funktionen K&V Beispiel (Foli von 4) zwei mögliche Blockeinteilungen: (1) (2) Gibt es noch weitere mögliche Blockeinteilungen? 31

32 5. Vereinfachen von Funktionen K&V Beispiel (Folie 3 von 4) (1) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) e ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) e 3 e ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) e 3 e 4 f,, e 3, e 4 = ( e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 ) ( e 4 ) 32

33 5. Vereinfachen von Funktionen K&V Beispiel (Folie 4 von 4)..oder (2) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) e 3 e ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) e 3 e ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) e 3 e 4 e 4 f,, e 3, e 4 = ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) ( e 4 ) 33

34 5. Vereinfachen von Funktionen K&V Vereinfachen Don t Care Minimale disjunktive Form Minimale konjunktive Form 0 X X f,, e 3, e 4 = ( e 3 e 4 ) ( e 3 e 4 ) f,, e 3, e 4 = ( ) ( e 3 ) ( e 4 ) 34