6. Vorlesung: Minimalformen

Transkript

1 6. Vorlesung: Minimalformen Wiederholung Minterme Maxterme Disjunktive Normalform (DN) Konjunktive Normalform (KN) Minimalformen KV-Diagramme

2 fällt aus wegen Dozentenfachexkursion 2

3 Normalformen Normalformen dienen der Darstellung oolescher unktionen in einheitlicher orm. Jeder Term der Darstellung enthält alle Eingangsvariablen. ür die oolesche Algebra ist die konjunktive und die disjunktive Normalform von Interesse. 3

4 Minterm (Vollkonjunktion) Ein Minterm ist eine Konjunktion, die alle Eingangsvariablen, nicht negiert oder negiert, enthält. ür eine oolesche unktion mit n Eingangsvariablen existieren daher genau 2 n Minterme. ür exakt eine Kombination der Zustände der Eingangsvariablen nimmt ein Minterm den Zustand wahr bzw. an. ür alle anderen Kombinationen liefert der Minterm. 4

5 Minterme für zwei Eingänge X X m m m m itte notieren Sie die algebraische Darstellung für alle vier Minterme. X X m m m m X X X X X X X X

6 Maxterm (Volldisjunktion) Ein Maxterm ist eine Disjunktion, die alle Eingangsvariablen, nicht negiert oder negiert, enthält. ür eine oolesche unktion mit n Eingangsvariablen existieren daher genau 2 n Maxterme. ür exakt eine Kombination der Zustände der Eingangsvariablen nimmt ein Maxterm den Zustand falsch bzw. an. ür alle anderen Kombinationen liefert der Maxterm. 6

7 Maxterme für zwei Eingänge X X M M M M itte notieren Sie die algebraische Darstellung für alle vier Maxterme. X X M M M M X X X X X X X X

8 Konvention ür die Indizierung der Min- bzw. Maxterme ist die Anwendung einer Konvention üblich. Die Zustände der Eingangsvariablen werden als inärdarstellung einer Dezimalzahl interpretiert. eispiel: X =, X =, X = () (6)

9 Übung itte notieren Sie die algebraische Darstellung für den Term M 3 und die Darstellung für den Term m 7 einer ooleschen unktion mit drei Eingangsvariablen. M (,,) = X X X m (,,) = X X X

10 Disjunktive Normalform X X2 Y Wie kann die XOR-unktion mit Mintermen dargestellt werden? m = X X2 m2 = X X2 Y = ( X X ) ( X X ) 2 2

11 XOR im Digitalsimulator Disjunktive Normalform

12 Disjunktive Normalform (DN) Eine beliebige oolesche unktion Y kann durch eine disjunktive Verknüpfung der Minterme realisiert werden, die für die Kombinationen der Eingangsvariablen eine erzeugen, für welche Y = gilt. Diese eschreibung einer ooleschen unktion wird als DN bezeichnet. 2

13 Übung X X2 X3 Y itte bilden Sie die DN für Y und zeichnen Sie den Schaltungsaufbau. Y = m m3 m5 m6 = ( X X X ) ( X X X ) ( X X X ) ( X X X )

14 Übung (ortsetzung) X X2 X3 Y Y = ( X X X ) ( X X X ) ( X X X ) ( X X X )

15 Konjunktive Normalform X X2 Y Wie kann die XOR-unktion mit Maxtermen dargestellt werden? M = X X2 M 3 = X X2 Y = ( X X ) ( X X ) 2 2 5

16 XOR im Digitalsimulator Konjunktive Normalform 6

17 Konjunktive Normalform (KN) Eine beliebige oolesche unktion Y kann durch eine konjunktive Verknüpfung der Maxterme realisiert werden, die für die Kombinationen der Eingangsvariablen eine erzeugen, für welche Y = gilt. Diese eschreibung einer ooleschen unktion wird als KN bezeichnet. 7

18 Übung X X2 X3 Y itte bilden Sie die KN für Y und zeichnen Sie den Schaltungsaufbau. Y = M M2 M4 M7 = ( X X X ) ( X X X ) ( X X X ) ( X X X )

19 Übung (ortsetzung) X X2 X3 Y Y = ( X X X ) ( X X X ) ( X X X ) ( X X X )

20 2 Übung Y A C D Y A C D Y A C D itte notieren Sie die DN für die oben spezifizierte oolesche unktion. Y = m +m 3 +m 4 +m 8 +m 9 +m +m 4

21 Minimierungsverfahren Jede oolesche unktion kann wahlweise in disjunktiver oder konjunktiver Normalform dargestellt werden (DN bzw. KN). Diese Darstellungen können so vereinfacht werden, dass man die disjunktive bzw. konjunktive Minimalform erhält (DM bzw. KM). Zur Minimierung können drei verschiedene Verfahren zur Anwendung kommen: oolesche Algebra, Algorithmische Verfahren, Graphische Verfahren. 2

22 Minimierung: oolesche Algebra Eine gegebene Normalform kann mit Hilfe der Kürzungs- und Rechenregeln der ooleschen Algebra minimiert werden. Dieses Vorgehen ist im allgemeinen schwierig und wird daher nur in Ausnahmefällen angewandt. 22

23 Algorithmische Verfahren ei algorithmischen Verfahren werden die Min- bzw. Maxterme der ersten Stufe sukzessive zusammengefasst. Diese Verfahren eignen sich zur Realisierung in Software. Dies wird bspw. für den ASIC Entwurf eingesetzt. Der bekannteste Algorithmus ist das Quine-McCluskey-Verfahren. 23

24 Graphische Verfahren ür die Anwendung von graphischen Verfahren werden oolesche unktionen so graphisch dargestellt, dass Terme zeichnerisch zusammengefasst werden können. Das bekannteste Verfahren ist die Minimierung mit Hilfe von Karnaugh- Veitch-Diagrammen. 24

25 KV-Diagramm M. Karnaugh (952) und E.W. Veitch (953) entwickelten Verfahren zur graphischen Minimierung. Die Kombination beider Verfahren ist als Karnaugh-Veitch-Diagramm bekannt, das meist abgekürzt als KV-Diagramm bezeichnet wird. ei diesem Verfahren können Minterme oder Maxterme zusammengefasst werden. 25

26 Konstruktion KV-Diagramm A Y Y Y Y A

27 eispiel: ODER (Übung) A Y Y A 27

28 Vereinfachungen für 2 Variablen A Y Y2 Y3 Y4 Y5 Y5 A Y 5 = Y Y3 A Y Y3 A Y2 = Y2 Y4 = A Y4 A = = 28 A A

29 Übung A Y Y A A ( A) ( A) ( A) = ( A) (( ( A A)) DM = ( A) = ( ) ( A ) = A 29

30 eispiel: KM A Y Y A A KM 3

31 KV-Diagramm für 3 Eingangsvariablen C A Y A Spiegelachse C 3

32 Torus-Topologie Die Nachbarschaft von eldern im KV- Diagramm basiert auf der Torus-Topologie. Dies bedeutet, dass elder in der untersten Reihe Nachbarn der elder in der obersten Reihe sind. Gleiches gilt für die elder der rechten und linken Seite. 32

33 Torus-Topologie (eispiel) A C 33

34 Übung: DM A C A DN = m +m 3 +m 5 DM? C ( A ) ( A C) = A ( C) 34