Boolesche Funktionen und Schaltkreise
|
|
- Pia Sternberg
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Boolesche Funktionen und Schaltkreise Die Oder-Funktion (Disjunktion) und die Und-Funktion (Konjunktion), x y x y
2 (Implikationsfunktion), ( umgekehrte Implikation) und (Xor-Funktion, exclusive or), x y x y x y
3 Berechnungen mit Konstanten x 0 = x, x 1 = 1, x 0 = 0, x 1 = x, x 0 = x, x 1 = x Assoziativität x (y z) = (x y) z, x (y z) = (x y) z, x (y z) = (x y) z Kommutativität x y = y x, x y = y x, x y = y x 3
4 Distributivität x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z) Vereinfachungsgesetze x x = x, x x = 1, x x = x, x x = 0, x x = 0, x x = 1 Absorptionsgesetze x (x y) = x, x (x y) = x demorgansche Gesetze, Negationsgesetze x y = (x y), x y = (x y), x y = x y, x = x 4
5 Ersetzen der Implikation und der Antivalenz x y = x y, x y = x y, x y = (x y) ( x y) = ( x y) (x y) 5
6 Satz Jede Booleschen Funktion läßt sich sowohl in disjunktiver Normalform (als Disjunktion von Mintermen) auch in konjunktiver Normalform (als Konjunktion von Maxtermen) darstellen. 6
7 Unformung von einer Formel F in eine äquivalente DNF Formel 1: F in eine Formel mit nur, und unformen. 2: Negationszeichen direkt vor den Variablen bringen. 3: Distributivgesetze anwenden. 7
8 Minimierung von Normalformen, Karnaugh-Veitch-Diagramme (für Formeln mit weniger als 4 oder 5 Variablen) Minterme sind im Diagram mit einem Punkt markiert. 8er, 4er, 2er und 1er Blöcke zusammenfassen (möglichst Große Blöcke). Die Blöcke dürfen sich überlappen und dürfen über die Kanten hinweg definiert werden. 8
9
10 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 4 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 4 10
11 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 4 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 4 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 4 x 2 x 4 11
12 x 1 x 3 x 4 x 1 x 2 x 2 x 3 x 2 x 4 12
13 x 1 x 3 x x 1 x x 2 x x 2 x
14 Ringsummennormalform Für jede Boolesche Funktionf : B n B gibt es genau einen 0-1-Vektor a = (a T1,a T2,...,a T2 n) mitt i {1,...,n} unda Ti {0,1} so dass f(x 1,...,x n ) = a T T {1,...,n} j T x j 14
15 Schaltkreise Definition: Ein Schaltkreis über einer Basis Ω von Grundfunktionen (zum Beispiel Ω = {,, }) ist ein gerichteter, azyklischer Graph. Die Eingangsknoten sind mit Variablennamen oder den Konstanten 0,1 beschriftet, während die inneren Knoten mit Elementen aus Ω beschriftet sind. 15
16 Funktionres g (x 1,...,x n ) die von einem Gatterg berechnet wird Fallsg ein Eingangsknoten ist, der mit der Variablen 0 (bzw. 1) beschriftet ist, so istres g (x 1,...,x n ) = 0 (bzw. = 1). Fallsg ein Eingangsknoten ist, der mit der Variablenx i beschriftet ist, so istres g (x 1,...,x n ) = x i. Fallsg ein innerer Knoten ist, der mitf Ω beschriftet ist, und fallsk die Stelligkeit vonf ist, so seienf 1,...,f k die an den Vorgängerknoten von g berechneten Funktionen. Dann ist res g (x 1,...,x n ) = f(f 1 (x 1,...,x n ),...,f k (x 1,...,x n )) Wir sagen, dass ein Schaltkreis S eine Boolesche Funktion f berechnet, falls es einen Knoteng ins gibt mitf = res g. 16
17 Volladdierer x s y ü ü 17
18 Schaltkreiskomplexität Die Größe eines Schaltkreises S, C(S),ist die Anzahl seiner Gatter. Die Tiefe eines Schaltkreises S, D(S) ist die Länge eines längsten Pfades im Schaltkreis. Für eine Boolesche Funktionf und eine BasisΩ C Ω (f) = min{c(s) S ist einω-schaltkreis, derf berechnet} D Ω (f) = min{d(s) S ist einω-schaltkreis, derf berechnet} 18
19 Satz SeienΩundΩ zwei vollständige Basen. Sei c = max{c Ω (g) g Ω } und seid = max{c Ω (g) g Ω}. Dann ist für alle Booleschen Funktionenf,C Ω (f) c C Ω (f) und C Ω (f) d C Ω (f). 19
20 Obere Schranken fürf : B n B Mit der DNF, GrößeO(n2 n ) und Tiefen+logn. Mit dersel Funktion, GrößeO(2 n ) und Tiefen. f x 1 sel x 2 sel x 2 sel 20
21 Obere Schranken II Satz: (Lupanov, 1958) Es gibt Konstantencundn 0, so dass für alle n-stelligen Booleschen Funktionenf undn n 0 giltc(f) c 2 n /n. 21
22 Untere Schranken Satz: (Shannon, 1949) Für jedes n gibt es n-stellige Boolesche Funktionen f, die für ihre Realisierung (mittels Nand-Gattern) mindestens 1 2 2n /n viele Gatter benötigen. AlsoC {nand} (f) 1 2 2n /n. Folgerung: Es gibt Konstantencundn 0, so dass es für jedesn n 0 eine n-stellige Boolesche Funktionf gibt mitc(f) c 2 n /n. 22
23 Perzeptrone x 1 x 2. x n w 1 w 2. t. w n y w i,t R y = 1, n i=1 x iw i t, 0, sonst 23
24 1 x 1 t x 2. x n w 1 w w n y 24
25 Definition: f : B n B ist linear separierbar falls es eine Hyperebene der Dimensionn 1gibt, die die 0 n von den 1 n vonf trennt. Die durch ein Perzeptron berechenbaren Funktionen sind genau die linear separierbaren Funktionen. 25
26 Lernen von Booleschen Funktionen Y 0 undy 1 disjunkte, und linear separierbare, Mengen von Beispielen. Wir wollen einen Gewichtsvektor w finden mit: y Y 1 yw > 0 y Y 0 yw < 0 26
27 w 0 := (0,0,...,0) Wird dem Perzeptron ein Beispiel y vorgelegt, und dieses wird falsch klassifiziert, so wird der Gewichtsvektor im nächsten Schritt wie folgt vonw t zuw t+1 geändert: w t+1 = w t +y, fallsy Y 1 undyw 0 w t y, fallsy Y 0 undyw 0 w t, sonst 27
28 Y 1 Y 0 28
29 Y 1 Y 0 29
30 Perzeptron-Konvergenztheorem Satz: Gegeben seien zwei linear separierbare Mengen von PunktenY 0,Y 1 und eine unendliche Trainingsfolge, mit der Eigenschaft, dass jedes Element ausy 0 Y 1 in der Treiningsfolge unendlich oft auftrtt. Dann erreicht das Perzeptron nach endlich vielen Lernschritten (gemäß der oben beschriebenen Lernregel) einen Gewichtsvektor, so dass das Perzeptron allen Punkten iny 0 den Wert 0, und allen Punkten iny 1 den Wert 1 zuweist. 30
31 Boolesche Funktionen, Zusammenfassung Beschreibungsmöglichkeiten: Wahrheitstafel, DNF, KNF, RSNF, Boolesche Schaltkreise über eine vollständige Basis, Perzeptrone... Wie Groß sind solche Beschreibungen? Sind sie eindeutig? Können sie minimiert werden? Wie kann man die Modelle gegenseitig simulieren? Was sind die Vorteile der verschiedenen Modelle. 31
Aussagenlogik. Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 teil 7, folie 1 (von 50)
Aussagenlogik Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie (von 5) Teil VII: Aussagenlogik. Einführung 2. Boolesche Funktionen 3. Boolesche Schaltungen Franz-Josef Radermacher & Uwe Schöning,
MehrRechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel WS 2013/14. TU Dortmund, Fakultät für Informatik
Rechnerstrukturen Michael Engel und Peter Marwedel TU Dortmund, Fakultät für Informatik WS 2013/14 Folien a. d. Basis von Materialien von Gernot Fink und Thomas Jansen 21. Oktober 2013 1/33 1 Boolesche
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 5. Aussagenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische
MehrLogik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3)
Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3) Eine Aussage ist ein Satz, von dem man eindeutig entscheiden kann, ob er wahr (true, = 1) oder falsch (false, = 0) ist. Beispiele a: 1 + 1 = 2 b: Darmstadt liegt in Bayern.
MehrInformationsverarbeitung auf Bitebene
Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta 5. November 2005 Einführung in die Informatik - Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta Grundlagen der Informationverarbeitung
MehrKonjunktive und disjunktive Normalformen
Konjunktive und disjunktive Normalformen Nachdem gesprochen wurde, wie man Boolesche Terme unter einer Belegung der Variablen interpretiert und dass somit jeder Boolesche Term eine Boolesche Funktion repräsentiert,
Mehr5. Vorlesung: Normalformen
5. Vorlesung: Normalformen Wiederholung Vollständige Systeme Minterme Maxterme Disjunktive Normalform (DNF) Konjunktive Normalform (KNF) 1 XOR (Antivalenz) X X X X X X ( X X ) ( X X ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1
MehrÜbung 4: Aussagenlogik II
Übung 4: Aussagenlogik II Diskrete Strukturen im Wintersemester 2013/2014 Markus Kaiser 8. Januar 2014 1/10 Äquivalenzregeln Identität F true F Dominanz F true true Idempotenz F F F Doppelte Negation F
MehrTechnische Informatik I
Rechnerstrukturen Dario Linsky Wintersemester 200 / 20 Teil 2: Grundlagen digitaler Schaltungen Überblick Logische Funktionen und Gatter Transistoren als elektronische Schalter Integrierte Schaltkreise
MehrTeil 1: Digitale Logik
Teil 1: Digitale Logik Inhalt: Boolesche Algebra kombinatorische Logik sequentielle Logik kurzer Exkurs technologische Grundlagen programmierbare logische Bausteine 1 Analoge und digitale Hardware bei
MehrTU5 Aussagenlogik II
TU5 Aussagenlogik II Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 21.11.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;)
MehrWas bisher geschah: klassische Aussagenlogik
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik klassische Aussagenlogik: Syntax, Semantik Äquivalenz zwischen Formeln ϕ ψ gdw. Mod(ϕ) = Mod(ψ) wichtige Äquivalenzen, z.b. Doppelnegation-Eliminierung, DeMorgan-Gesetze,
MehrComputational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution
Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Ralf Moeller Hamburg Univ. of Technology Boole'sche Algebra Äquivalenzen als "Transformationsgesetze" Ersetzbarkeitstheorem Zentrale
Mehrx x y x y Informatik II Schaltkreise Schaltkreise Schaltkreise Rainer Schrader 3. November 2008
Informatik II Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 3. November 008 1 / 47 / 47 jede Boolesche Funktion lässt mit,, realisieren wir wollen wir uns jetzt in Richtung Elektrotechnik und
MehrSyntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4
Syntax der Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel)
MehrKapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln
Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.3: Normalformen 1/ 29 Übersicht
MehrBisher. minimale DNF. logischen Formeln Booleschen Funktionen Schaltungen
Bisher Klassische Aussagenlogik (Syntax, Semantik) semantische Äquivalenz von Formeln äquivalentes Umformen von Formeln (syntaktisch) Normalformen: NNF, DNF, CNF, kanonische DNF und CNF Ablesen kanonischer
MehrComputational Intelligence 1 / 20. Computational Intelligence Künstliche Neuronale Netze Perzeptron 3 / 20
Gliederung / Künstliche Neuronale Netze Perzeptron Einschränkungen Netze von Perzeptonen Perzeptron-Lernen Perzeptron Künstliche Neuronale Netze Perzeptron 3 / Der Psychologe und Informatiker Frank Rosenblatt
MehrGrundlagen der Informationverarbeitung
Grundlagen der Informationverarbeitung Information wird im Computer binär repräsentiert. Die binär dargestellten Daten sollen im Computer verarbeitet werden, d.h. es müssen Rechnerschaltungen existieren,
MehrErsetzbarkeitstheorem
Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit läßt sich auch folgendermaßen formulieren: Ersetzbarkeitstheorem Seien F und G Formeln mit F G. SeienH und H Formeln, so daß H aus H hervorgeht, indem ein Vorkommen
MehrTeil II. Schaltfunktionen
Teil II Schaltfunktionen 1 Teil II.1 Zahlendarstellung 2 b-adische Systeme Sei b IN mit b > 1 und E b = {0, 1,..., b 1} (Alphabet). Dann ist jede Fixpunktzahl z (mit n Vorkomma und k Nachkommastellen)
MehrErfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 44 Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Def.: eine Formel ϕ heißt erfüllbar, wennesein I gibt, so dass I = ϕ
MehrAllgemeingültige Aussagen
Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt
MehrSchaltalgebra und kombinatorische Logik
Schaltalgebra und kombinatorische Logik. Digitale elektrische Schaltungen 2. Beschreibung durch logische Ausdrücke 3. Boolesche Algebra 4. Schaltfunktionen 5. Synthese von Schaltungen 6. Schaltnetze *Die
MehrZusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 6 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Satz 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke
MehrGrundlagen der Rechnerarchitektur
Grundlagen der Rechnerarchitektur [CS3100.010] Wintersemester 2014/15 Heiko Falk Institut für Eingebettete Systeme/Echtzeitsysteme Ingenieurwissenschaften und Informatik Universität Ulm Kapitel 2 Kombinatorische
Mehr1 Analogtechnik und Digitaltechnik. C Schaltalgebra und kombinatorische Logik. 2 Digitale elektrische Schaltungen
Analogtechnik und Digitaltechnik C Schaltalgebra und kombinatorische Logik bei analoger Technik kontinuierliche Signale. Analog- und Digitaltechnik 2. Digitale elektrische Schaltungen 3. Logische Schaltungen
MehrAussagenlogik Prädikatenlogik erster Stufe. Logik. Logik
Grundzeichen Aussagenlogik Aussagenvariablen P, Q, R,... Junktoren nicht und oder Runde Klammern (, ) Formeln Aussagenlogik Formeln sind spezielle Zeichenreihen aus Grundzeichen, und zwar 1 Jede Aussagenvariable
Mehr6. Vorlesung: Minimalformen
6. Vorlesung: Minimalformen Wiederholung Minterme Maxterme Disjunktive Normalform (DN) Konjunktive Normalform (KN) Minimalformen KV-Diagramme 24..26 fällt aus wegen Dozentenfachexkursion 2 Normalformen
Mehr2. Schaltfunktionen und ihre Darstellung
2. Schaltfunktionen und ihre Darstellung x y z Schaltalgebra Schaltkreise und -terme Schaltfunktionen Dualitätsprinzip Boolesche Algebra Darstellung von Schaltfunktionen 58 Schaltalgebra Wir untersuchen
MehrKapitel 1. Aussagenlogik
Kapitel 1 Aussagenlogik Einführung Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1: Aussagenlogik 1/17 Übersicht Teil I: Syntax und Semantik der Aussagenlogik (1.0) Junktoren und Wahrheitsfunktionen (1.1) Syntax
MehrKapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1
Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1 Boolesche Formeln, Literale und Klauseln Eine Boolesche Formel ist eine aussagenlogische
MehrI. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.
I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten
MehrKapitel 6 Programmierbare Logik. Literatur: Kapitel 6 aus Oberschelp/Vossen, Rechneraufbau und Rechnerstrukturen, 9. Auflage
Kapitel 6 Programmierbare Logik Literatur: Kapitel 6 aus Oberschelp/Vossen, Rechneraufbau und Rechnerstrukturen, 9. Auflage Kapitel 6: Programmierbare Logik und VLSI Seite Kapitel 6: Programmierbare Logik
MehrAussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen
Aussagenlogik Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagen sind Sätze, von denen sich sinnvollerweise sagen läßt, sie seien wahr oder falsch. Jede Aussage besitzt also einen von zwei möglichen Wahrheitswerten,
MehrBeispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik...
Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens? wurde ein 100-jähriger gefragt. Ich halte mich streng an die Diätregeln: Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit
MehrFormelsammlung. Wahrscheinlichkeit und Information
Formelsammlung Wahrscheinlichkeit und Information Ein Ereignis x trete mit der Wahrscheinlichkeit p(x) auf, dann ist das Auftreten dieses Ereignisses verbunden mit der Information I( x): mit log 2 (z)
MehrGrundlagen der diskreten Mathematik
Grundlagen der diskreten Mathematik Prof. Dr. Romana Piat WS 25/6 Allgemeine Informationen Vorlesungen:./C Zug D (Mi., 3. Block + Do., 4. Block, y-raster) Zug E (Di., 5. Block + Do.,. Block, y-raster)
MehrSignalverarbeitung 1
TiEl-F000 Sommersemester 2008 Signalverarbeitung 1 (Vorlesungsnummer 260215) 2003-10-10-0000 TiEl-F035 Digitaltechnik 2.1 Logikpegel in der Digitaltechnik In binären Schaltungen repräsentieren zwei definierte
MehrKapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1
Kapitel 1.0 Aussagenlogik: Einführung Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Ziele der Aussagenlogik In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter
MehrFormale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/36 Ersetzbarkeitstheorem
MehrPhysikalisches Praktikum für Vorgerückte. an der ETH Zürich. vorgelegt von. Mattia Rigotti Digitale Elektronik
Physikalisches Praktikum für Vorgerückte an der ETH Zürich vorgelegt von Mattia Rigotti mrigotti@student.ethz.ch 14.02.2003 Digitale Elektronik Versuchsprotokoll 1 Inhaltverzeichnis 1. Zusammenfassung...
MehrInformatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser
Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische
MehrMathematik für Informatik 1
Mathematik für Informatik 1 Inhalt : Grundbegriffe Mengen, speziell Zahlenmengen Aussagenlogik Beweistechniken Funktionen, Relationen Kombinatorik Abzählverfahren Binominalkoeffizienten Komplexität von
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 5 8.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 6 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
MehrII. Grundlagen der Programmierung
II. Grundlagen der Programmierung II.1. Zahlenssteme und elementare Logik 1.1. Zahlenssteme 1.1.1. Ganze Zahlen Ganze Zahlen werden im Dezimalsstem als Folge von Ziffern 0, 1,..., 9 dargestellt, z.b. 123
MehrEinführung in die Boolesche Algebra
Einführung in die Boolesche Algebra Einführung in Boole' sche Algebra 1 Binäre Größe Eine Größe (eine Variable), die genau 2 Werte annehmen kann mathematisch: falsche Aussage wahre Aussage technisch: ausgeschaltet
MehrSystemorientierte Informatik 1
Systemorientierte Informatik. Grundlagen Digitaler Schaltungen.8 Schaltnetze aus Gattern und Leitungen.9 Boole sche Algebra. Minimierung Boole scher Funktionen. CMOS Komplegatter Die nächste Funktion,
MehrInformatik A (Autor: Max Willert)
2. Aufgabenblatt Wintersemester 2012/2013 - Musterlösung Informatik A (Autor: Max Willert) 1. Logik im Alltag (a) Restaurant A wirbt mit dem Slogan Gutes Essen ist nicht billig!, das danebenliegende Restaurant
Mehrder einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr
Kapitel 2 Grundbegriffe der Logik 2.1 Aussagen und deren Verknüpfungen Eine Aussage wie 4711 ist durch 3 teilbar oder 2 ist eine Primzahl, die nur wahr oder falsch sein kann, heißt logische Aussage. Ein
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Inormatik Sebastian Ianoski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.1: Aussagenlogik FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie
MehrWas ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie
Was ist Logik? Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere Aussagen ableiten kann Beschränkung auf
MehrLösung 3.1 Schaltalgebra - Schaltnetze (AND, OR, Inverter)
Lösung 3.1 Schaltalgebra - Schaltnetze (AND, OR, Inverter) Folgende Darstellung der Funktionen als Zusammenschaltung von AND-, OR- und Invertergattern ist möglich: a) F = X ( Y Z) b) F = EN ( X Y) ( Y
MehrZusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme
Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme Max Kramer 13. Februar 2009 Diese Zusammenfassung entstand als persönliche Vorbereitung auf die Klausur zur Vorlesung Formale Systeme von Prof.
MehrA.1 Schaltfunktionen und Schaltnetze
Schaltfunktionen und Schaltnetze A. Schaltfunktionen und Schaltnetze 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II Bedeutung des Binärsystems für den Rechneraufbau Seit Beginn der Entwicklung von Computerhardware
Mehr3. Logik 3.1 Aussagenlogik
3. Logik 3.1 Aussagenlogik WS 06/07 mod 301 Kalkül zum logischen Schließen. Grundlagen: Aristoteles 384-322 v. Chr. Aussagen: Sätze, die prinzipiell als ahr oder falsch angesehen erden können. z. B.: Es
Mehr5. Aussagenlogik und Schaltalgebra
5. Aussagenlogik und Schaltalgebra Aussageformen und Aussagenlogik Boolesche Terme und Boolesche Funktionen Boolesche Algebra Schaltalgebra Schaltnetze und Schaltwerke R. Der 1 Aussagen Information oft
MehrFormalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem:
Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem: 4 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 3 3 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 9 9 8 6 Verwenden Sie dazu eine atomare Formel A[n, x, y] für jedes Tripel (n,
MehrPerzeptronen. Lehrstuhl für Künstliche Intelligenz Institut für Informatik Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Perzeptronen Lehrstuhl für Künstliche Intelligenz Institut für Informatik Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (Lehrstuhl Informatik 8) Perzeptronen 1 / 22 Gliederung 1 Schwellwert-Logik (MCCULLOCH-PITTS-Neuron)
MehrFormale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015
Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015 Teil 3: Logik 1 Aussagenlogik Einleitung Eigenschaften Äquivalenz Folgerung Normalformen 2 Prädikatenlogik Wenn eine Karte
MehrInformatik I WS 07/08 Tutorium 24
Info I Tutorium 24 Informatik I WS 07/08 Tutorium 24 3.2.07 astian Molkenthin E-Mail: infotut@sunshine2k.de Web: http://infotut.sunshine2k.de Organisatorisches / Review is zum 2.2 müssen alle Praxisaufgaben
MehrComputersysteme. 2. Grundlagen Digitaler Schaltungen 2.10 Minimierung Boole scher Funktionen 2.11 CMOS Komplexgatter
Computersysteme 2. Grundlagen Digitaler Schaltungen 2.10 Minimierung Boole scher Funktionen 2.11 CMOS Komplexgatter 1 Die Einsen im KV-Diagramm werden zu Blöcken maximaler Größe zusammengefasst. Dabei
MehrGrundlagen der Programmierung
GdP2 Slide 1 Grundlagen der Programmierung Vorlesung 2 Sebastian Ianoski FH Wedel GdP2 Slide 2 Beispiel ür eine Programmveriikation Gegeben sei olgender Algorithmus: i (x>0) ((y+x) 0) then z := x y else
MehrBoole'sche Algebra. Inhaltsübersicht. Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schaltalgebra. Verknüpfungen der mathematischen Logik
Boole'sche Algebr Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schltlgebr Inhltsübersicht Verknüpfungen der mthemtischen Logik Boole sche Algebren Grundelemente der Schltlgebr Regeln der Schltlgebr Normlformen
MehrFakultät für Informatik Universität Magdeburg Jürgen Dassow. Vorbemerkungen
Vorbemerkungen if (x > y) z = x; else z = y; Wenn es blaue Tiger regnet, dann fressen alle Kirschbäume schwarze Tomaten. q(1) = 1, q(i) = q(i 1) + 2i 1 für i 2 Welchen Wert hat q(6)? 24 ist durch 2 teilbar.
Mehr3.0 VU Formale Modellierung
3.0 VU Formale Modellierung Gernot Salzer 11.10.2011 1 Organisatorisches Verschiebung der Vorlesung: Vorlesung am Dienstag, 18.10.2011, 13:00 16:00, entfällt. Ersatz: Mittwoch, 19.10.2011, 15:00 18:00,
MehrKapitel 3: Boolesche Algebra
Inhalt: 3.1 Grundlegende Operationen und Gesetze 3.2 Boolesche Funktionen u. u. ihre Normalformen 3.3 Vereinfachen von booleschen Ausdrücken 3.4 Logische Schaltungen 3.1 Grundlegende Operationen und Gesetze
MehrBinary Decision Diagrams (Einführung)
Binary Decision Diagrams (Einführung) Binary Decision Diagrams (BDDs) sind bestimmte Graphen, die als Datenstruktur für die kompakte Darstellung von booleschen Funktionen benutzt werden. BDDs wurden von
MehrNormalformen boolescher Funktionen
Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion
MehrNormalformen von Schaltfunktionen
Disjunktive Normalform (DNF) Vorgehen: 2. Aussuchen der Zeilen, in denen die Ausgangsvariable den Zustand 1 hat 3. Die Eingangsvariablen einer Zeile werden UND-verknüpft a. Variablen mit Zustand 1 werden
MehrN Bit binäre Zahlen (signed)
N Bit binäre Zahlen (signed) n Bit Darstellung ist ein Fenster auf die ersten n Stellen der Binär Zahl 0000000000000000000000000000000000000000000000000110 = 6 1111111111111111111111111111111111111111111111111101
Mehr1 Aussagenlogischer Kalkül
1 Aussagenlogischer Kalkül Ein Kalkül in der Aussagenlogik soll die Wahrheit oder Algemeingültigkeit von Aussageformen allein auf syntaktischer Ebene zeigen. Die Wahrheit soll durch Umformung von Formeln
MehrWas bisher geschah. Aufgaben: Diagnose, Entscheidungsunterstützung Aufbau Komponenten und Funktion
Was bisher geschah Daten, Information, Wissen explizites und implizites Wissen Wissensrepräsentation und -verarbeitung: Wissensbasis Kontextwissen Problemdarstellung fallspezifisches Wissen repräsentiert
MehrKombinatorische Logik. Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck
Kombinatorische Logik Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck Überblick Analog- und Digitaltechnik Boolesche Algebra Schaltfunktionen Gatter Normalformen
MehrÜbungsblatt Nr. 5. Lösungsvorschlag
Institut für Kryptographie und Sicherheit Prof. Dr. Jörn Müller-Quade Dirk Achenbach Tobias Nilges Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Übungsblatt Nr. 5 Aufgabe 1: Eine schöne Bescherung (K)
MehrBinäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst)
Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Datenstruktur zum Speichern einer endlichen Menge M von Zahlen. Genauer: Binärbaum T mit n := M Knoten Jeder Knoten v von T ist mit einer Zahl m v M markiert.
MehrMathematische Logik. Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz. Felix Hensel. February 21, 2012
Mathematische Logik Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz Felix Hensel February 21, 2012 Dies ist im Wesentlichen eine Zusammenfassung der Abschnitte 1.1-1.3 aus Wolfgang Rautenberg s Buch
MehrEinführung in die Logik. Sommersemester Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik
Einführung in die Logik Jiří Adámek Sommersemester 2010 14. Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung: Logische Systeme 4 I Aussagenlogik 6 2 Aussagenlogik 7 2.i Syntax
MehrAlgorithmen für OBDD s. 1. Reduziere 2. Boole sche Operationen
Algorithmen für OBDD s 1. Reduziere 2. Boole sche Operationen 1 1. Reduziere siehe auch M.Huth und M.Ryan: Logic in Computer Science - Modelling and Reasoning about Systems, Cambridge Univ.Press, 2000
Mehr3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik
3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik Wichtige Konzepte und Begriffe in Logiken: Syntax (Signatur, Term, Formel,... ): Festlegung, welche syntaktischen Gebilde als Formeln (Aussagen, Sätze,
MehrJede Belegung von k Variablen kann als Binärvektor aus k Binärwerten x 1...x k mit
BOOLESCHE PROBLEME / SCHALTALGEBRA 1 1. Boolesche Räume Jede Belegung von k Variablen kann als Binärvektor aus k Binärwerten x 1...x k mit { } xi 0,1 ; i = 1...k dargestellt werden. Der Boolesche Raum
MehrKombinatorische Schaltwerke
Informationstechnisches Gymnasium Leutkirch Kombinatorische Schaltwerke Informationstechnik (IT) Gemäß Bildungsplan für das berufliche Gymnasium der dreijährigen Aufbauform an der Geschwister-Scholl-Schule
MehrLogik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen
Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Andreas Maletti 7. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 4. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der Aussagenlogik:
MehrAussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen
Einführung in die Logik - 4 Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen Widerlegungsverfahren zum Aufwärmen: Bestimmung von Tautologien mittels Quick Falsification
MehrTechnische Informatik - Eine Einführung
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Fachbereich Mathematik und Informatik Lehrstuhl für Technische Informatik Prof. P. Molitor Technische Informatik - Eine Einführung Boolesche Funktionen - Grundlagen
MehrÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK WS 2015/16 GÜNTHER EDER
ÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK WS 2015/16 GÜNTHER EDER SPARSAMKEIT BEI DER WAHL DER JUNKTOREN Wie sich mit Wahrheitstaeln zeigen lässt, benötigen wir nicht gar nicht alle Junktoren die oiziell in unserer Sprache
MehrAtomare Sätze Prädikat der Stelligkeit n mit n Individuenkonstanten Reihenfolge der Individuenkonstanten ist entscheidend
Vokabelliste Logik (bis einschließlich Kapitel 12) Vorbemerkung: Die folgenden Erläuterungen sind nicht sauber formatiert, sollten aber selbsterklärend sein. Blaue Begriffe fallen unter den optionalen
MehrVerwendung eines KV-Diagramms
Verwendung eines KV-Diagramms Ermittlung einer disjunktiven Normalform einer Schaltfunktion Eine Disjunktion von Konjunktionen derart, dass jeder Konjunktion ein Block in dem KV-Diagramm entspricht, der
MehrNicht-Kanonizität von AIGs Systemtheorie 1 Formale Systeme 1 # WS 2006/2007 Armin Biere JKU Linz Revision: 1.6
Nicht-Kanonizität von AIGs BDDs Binar Decision Diagrams BDDs 2 neue dreistellige Basis-Operation ITE (i-then-else): Bedingung ist immer eine Variable ( ) ( ) gehen zurück au Shannon (deshalb auch Shannon-Graphs)
Mehrx 2 x 1 x 3 5.1 Lernen mit Entscheidungsbäumen
5.1 Lernen mit Entscheidungsbäumen Falls zum Beispiel A = {gelb, rot, blau} R 2 und B = {0, 1}, so definiert der folgende Entscheidungsbaum eine Hypothese H : A B (wobei der Attributvektor aus A mit x
MehrAntwort: h = 5.70 bit Erklärung: Wahrscheinlichkeit p = 1/52, Informationsgehalt h = ld(1/p) => h = ld(52) = 5.70 bit
Übung 1 Achtung: ld(x) = Logarithmus dualis: ld(x) = log(x)/log(2) = ln(x)/ln(2)! Aufgabe 1 Frage: Wie gross ist der Informationsgehalt einer zufällig aus einem Stapel von 52 Bridgekarten gezogenen Spielkarte?
Mehr1. Boolesche Algebra und Schaltalgebra
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 1 1. oolesche lgebra und Schaltalgebra 1.1 Was ist Informatik? Definition des egriffs Informatik Die Informatik ist die Wissenschaft, die sich mit der systematischen
MehrVerwendet man zur Darstellung nur binäre Elemente ( bis lat.: zweimal) so spricht man von binärer Digitaltechnik.
Kursleiter : W. Zimmer 1/24 Digitale Darstellung von Größen Eine Meßgröße ist digital, wenn sie in ihrem Wertebereich nur eine endliche Anzahl von Werten annehmen kann, also "abzählbar" ist. Digital kommt
MehrMusterbeispiele: Aussagenlogik (Lösung)
Musterbeispiele: Aussagenlogik (Lösung) 3.0 VU Formale Modellierung Lara Spendier, Gernot Salzer WS 2011 Aufgabe 1 Gegeben seien die folgenden Aussagen: A: Es ist eiskalt. B: Es schneit. Drücken Sie die
MehrDigitale Elektronik. Vom Transistor zum Speicher
Digitale Elektronik Vom Transistor zum Speicher Begleitheft Universität Stuttgart Schülerlabor 1 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung... 3 2. Versuchshintergrund... 4 2.1. Bildungsstandards... 4 2.1.1 Leitgedanken
MehrEinführung in. Logische Schaltungen
Einführung in Logische Schaltungen 1/7 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 1. Was sind logische Schaltungen 2. Grundlegende Elemente 3. Weitere Elemente 4. Beispiel einer logischen Schaltung 2. Notation von
MehrInhaltsverzeichnis. 1 Boolesche Algebra, Schaltalgebra - Begriffsbestimmung 1. 2 Operationssystem der Schaltalgebra 4. 3 Boolesche Funktionen 6
Inhaltsverzeichnis 1 Boolesche Algebra, Schaltalgebra - Begriffsbestimmung 1 2 Operationssystem der Schaltalgebra 4 3 Boolesche Funktionen 6 4 Boolesche Funktionen kombinatorischer Schaltungen 8 4.1 Begriffsbestimmung
MehrDIGITALTECHNIK 06 SCHALTUNGS- SYNTHESE UND ANALYSE
Seite 1 von 23 DIGITALTECHNIK 06 SCHALTUNGS- SYNTHESE UND ANALYSE Inhalt Seite 2 von 23 1 SCHALTUNGS- SYNTHESE UND ANALYSE... 3 1.1 NORMALFORM... 5 1.2 UND NORMALFORM... 5 1.3 ODER NORMALFORM... 7 1.4
Mehr