1 Analogtechnik und Digitaltechnik. C Schaltalgebra und kombinatorische Logik. 2 Digitale elektrische Schaltungen

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1 Analogtechnik und Digitaltechnik C Schaltalgebra und kombinatorische Logik bei analoger Technik kontinuierliche Signale. Analog- und Digitaltechnik 2. Digitale elektrische Schaltungen 3. Logische Schaltungen 4. Boolesche Algebra 5. Schaltfunktionen 6. Synthese von Schaltungen 7. Minimierung von Schaltfunktionen 8. Schaltnetze bei digitaler Technik diskrete, i.a. binäre Signale (Bilder aus: Clements, The Principles of Computer Hardware) C-2 Analogtechnik und Digitaltechnik (2) einige Vor- und Nachteile analoger Hardware: Multiplikation und Addition leicht zu realisieren kleiner Flächenbedarf sehr schnell temperaturabhängig nichtlineare Bauteile Präzision nur bei ca. 6-8 bit Langzeitspeicherung von Daten schwierig einige Vor- und Nachteile digitaler Hardware: unempfindlich gegenüber Störungen (z.b. Rauschen) einfacher Entwurf beliebig hohe Präzision möglich hoher Flächenbedarf, insbesondere für Multiplikation hoher Energieverbrauch Digitaltechnik ermöglicht eine einfache Realisierung robuster Hardware 2 Digitale elektrische Schaltungen eine einfache Schaltung: Spannungsquelle Schalter Lichquelle Strom fließt nur bei geschlossenem Stromkreis! zwei Zustände Strom fließt Lampe leuchtet Strom fließt nicht Lampe leuchtet nicht C-3 C-4

2 2 Digitale elektrische Schaltungen (2) eine einfache Reihenschaltung: 2 Digitale elektrische Schaltungen (3) eine komplexe Schaltung: Lampe leuchtet, wenn der erste und der zweite Schalter geschlossen werden eine einfache Parallelschaltung: wann leuchtet die Lampe? Lampe leuchtet, wenn der erste oder der zweite Schalter geschlossen wird C-5 C-6 3 Logische Schaltungen 3 Logische Schaltungen (2) bei Betrachtung aus Sicht der Logik ergeben sich 2 Zustände: Strom fließt / Strom fließt nicht Lampe leuchtet / Lampe leuchtet nicht an / aus wahr / falsch / im folgenden Betrachtung der Zustandsmenge {,} Zustände werden elektronisch realisiert: Stromfluß / kein (oder ein sehr geringer) Stromfluß Spannung / keine (oder eine sehr geringe) Spannung elementare Funktionen auf {,} werden durch Gatter realisiert, komplexe Funktionen durch eine geeignete Verschaltung von mehreren Gattern ein Gatter ist eine Black Box mit einem, zwei oder mehreren Eingängen A,B,C,... {,} und genau einem Ausgang Y {,} zur Realisierung einer Funktion Y = f (A,B,C,...) ( die elektronische Realisierung tritt nun in den Hintergrund!) eine Wahrheitstabelle legt jeweils die Funktion fest. C-7 C-8

3 3. Elementare Gatter 3. Elementare Gatter (2) einund-gatter realisiert eine Konjunktion: für zwei Eingänge: Y=A B für k Eingänge: Y=A A 2... A k einoder-gatter realisiert eine Disjunktion: für zwei Eingänge: Y=A+B, für k Eingänge: Y=A +A A k Andere äquivalente Notationen: Y = A B Y = AB Y = A & B andere äquivalente Notationen: Y=A B C-9 C- 3. Elementare Gatter (3) 3.2 Beispiel einer logischer Schaltung einnicht-gatter realisiert eine Negation: Y=A Gesucht ist eine Schaltung, die eine logische generiert, wenn höchstens einer von drei Eingängen A,B,C den Wert aufweist. erste Lösungsvariante: andere äquivalente Notationen: Y=A' Y= A C- C-2

4 3.2 Beispiel einer logischen Schaltung Gesucht ist eine Schaltung, die eine logische generiert, wenn höchstens einer von drei Eingängen A,B,C den Wert aufweist. erste Lösungsvariante: 3.2 Beispiel einer logischer Schaltung (2) zweite Lösungsvariante: C-3 C Beispiel einer logischer Schaltung (2) zweite Lösungsvariante: 4 Boolesche Algebra Problem: Gibt es ein Verfahren, um die Äquivalenz zweier Schaltungen formal nachzuweisen um Schaltungen auf einfache Weise zu transformieren um minimale Schaltungen zu entwerfen welche Variante ist besser? Lösung: Boolesche Algebra von G. Boole im Jahre 854 entwickelt zwei Werte: und drei Boolesche Operationen: +, sowie vier Axiome... C-5 C-6

5 4. Axiome der Booleschen Algebra Kommutativität: A+B = B+A A B = B A Distributivität: A (B+C) = (A B)+(A C) A+(B C) = (A+B) (A+C) Neutrales Element: +A = A A = A Komplementäres Element: A+A = A A = 4.2 Sätze der Booleschen Algebra folgende Sätze können aus den vier Axiomen abgeleitet werden: Assoziativität: A+(B+C) = (A+B)+C A (B C) = (A B) C Idempotenzgesetze: A+A = A A A = A Substitutionsregeln: A+ = A = Absorptionsgesetze: A+(A B) = A A (A+B) = A Doppelnegation: A = A C-7 C Sätze der Booleschen Algebra (2) 5 Schaltfunktionen Komplementäre Werte: = = Abgeschlossenheit: Boolesche Operationen liefern nur boolesche Werte als Ergebnis de Morgansche Regeln: A+B = A B A B = A+B Anmerkung: de Morgansche Regeln ermöglichen eine einfache Negation von Termen durch ) Tausch der Operationen + (ODER) und (UND) 2) Komplementierung aller Variablen Dualität: Für jede aus den Axiomen ableitbare Aussage gibt es eine duale Aussage, die durch Tausch der Operationen + und sowie durch Tausch der Werte und entsteht Funktionen f : {,} n {,} m mit n,m werden auch als Schaltfunktionen bezeichnet Eine Schaltfunktion f : {,} n {,} heißt eine n-stellige Boolesche Funktion Jede Schaltfunktion f : {,} n {,} m kann durch m Boolesche Funktionen ausgedrückt werden Jede Boolesche Funktion läßt sich eindeutig beschreiben durch eine Wahrheitstabelle (auch Wahrheitstafel genannt) durch einen booleschen Ausdruck (gebildet durch Boolesche Variablen und Operationen aus der Booleschen Algebra) Es gibt 2 2n verschiedene n-stellige Boolesche Funktionen (also 6 zweistellige, 256 dreistellige, vierstellige,...) C-9 C-2

6 5 Schaltfunktionen (2) vier einstellige Boolesche Funktionen: 5 Schaltfunktionen (3) zweistellige Boolesche Funktionen, Teil : Name Nullfunktion Identität Negation Einsfunktion Name Nullfunktion Konjunktion x Boolescher Ausdruck f(x) f(x) = f(x) f(x) = x f(x) f(x) = x f(x) f(x) = Wahrheitstafel Wahrheitstafel x Boolescher Ausdruck y = = x y = x y = x Konjunktion: UND-Funktion C-2 C-22 5 Schaltfunktionen (4) 5 Schaltfunktionen (5) zweistellige Boolesche Funktionen, Teil 2: zweistellige Boolesche Funktionen, Teil 3: Name x Boolescher Ausdruck y = x y = y exklusives ODER = x y + x y Disjunktion = x + y Name Wahrheitstafel Wahrheitstafel x Boolescher Ausdruck y negiertes ODER = x + y Äquivalenz = x y + x y = y = x + y exklusives ODER wird auch Antivalenz, XOR oder Addition modulo 2 bezeichnet; andere Notation: = x y Disjunktion: ODER-Funktion negiertes ODER wird auch als NOR oder Peirce-Funktion bezeichnet andere Notation für Äquivalenz: x y C-23 C-24

7 5 Schaltfunktionen (6) zweistellige Boolesche Funktionen, Teil 4: Name Implikation negiertes UND Einsfunktion 5 Schaltfunktionen (7) mit NAND-Funktion (bzw. NAND-Gatter) können NICHT, UND und ODER einfach nachgebildet werden: Wahrheitstafel x Boolescher Ausdruck y = x = x + y = x y = andere Notation für Implikation: x y negiertes UND wird auch NAND oder Sheffer-Funktion genannt jede Schaltfunktion ist durch ausschließliche Verwendung von NAND-Gattern realisierbar! die gleiche Eigenschaft trifft für NOR-Gatter zu! NAND-Gatter sind sehr einfach in Hardware implementierbar C-25 C-26 6 Synthese von Schaltungen 6. ausgezeichnete Terme jede Boolesche Funktion kann durch Wahrheitstabelle Boolescher Ausdruck Schaltung mit elementaren Gattern dargestellt werden eine Darstellung als Boolescher Ausdruck sowie als Schaltung sind jedoch nicht eindeutig! es werden normierte Ausdrücke (Normalformen) zur Darstellung von Booleschen Funktionen benötigt zunächst einige wichtige Begriffe... Produktterm: einfache Variable (ggf. negiert) Konjunktion mehrerer Variablen (ggf. negiert) Beispiele: x, y, x y, x y z Summenterm: wie Produktterm, jedoch Disjunktion statt Konjunktion Beispiele: x, y, x + y, x + y + z Minterm: Produktterm, in dem jede Variable einer booleschen Funktion genau einmal vorkommt (einfach oder negiert) Beispiel: x y z ist ein Minterm der Funktion f(x,y,z) Maxterm: Summenterm, in dem jede Variable einer booleschen Funktion genau einmal vorkommt (einfach oder negiert) Beispiel: x + y + z ist ein Maxterm der Funktion f(x,y,z) C-27 C-28

8 6. ausgezeichnete Terme (2) Disjunktive Normalform (DNF, Summe von Produkten): Disjunktion von Produkttermen Beispiel: ( x y ) + ( x y z ) Konjunktive Normalform (KNF, Produkt von Summen): Konjunktion von Summentermen Beispiel: w ( x + y ) ( x + y + z ) Kanonische Disjunktive Normalform (KDNF): eindeutige Darstellung einer booleschen Funktion f als Disjunktion von Mintermen Beispiel: ( x y z ) + ( x y z ) + ( x y z ) ist KDNF von f(x,y,z) Kanonische Konjunktive Normalform (KKNF): eindeutige Darstellung einer booleschen Funktion f als Konjunktion von Maxtermen Beispiel: ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) ist KKNF von 6.2 Hauptsatz der Schaltalgebra Satz: Jede Boolosche Funktion läßt sich als genau eine KDNF darstellen Bildung der KDNF für n-stellige Boolsche Funktion f : für jede Zeile der Wahrheitstabelle mit f(x, x 2,..., x n ) = wird ein Minterm aufgestellt hierin wird jede Variable x i negiert, wenn in der entsprechenden Zeile der Wert der Variablen ist Beispiel: Darstellung als KDNF ist abgesehen von Reihenfolge eindeutig! C-29 C Hauptsatz der Schaltalgebra (2) 6.2 Hauptsatz der Schaltalgebra (3) Satz: Jede Boolosche Funktion läßt sich als genau eine KKNF darstellen Bildung der KKNF für n-stellige Boolsche Funktion f : für jede Zeile der Wahrheitstabelle mit f(x, x 2,..., x n ) = wird ein Maxterm aufgestellt hierin wird jede Variable x i negiert, wenn in der entsprechenden Zeile der Wert der Variablen ist Beispiel: Darstellung als KKNF ist abgesehen von Reihenfolge eindeutig! Satz: Jede KDNF kann in eine KKNF umgewandelt, jede KKNF kann in eine KDNF umgewandelt werden Aufgrund der Dualität gilt: KKNF( f(x, x 2,..., x n ) ) = KDNF( f(x, x 2,..., x n ) ) und KDNF( f(x, x 2,..., x n ) ) = KKNF( f(x, x 2,..., x n ) ) Zwei Darstellungen Boolescher Funktionen sind äquivalent, wenn sie durch Umformungen gemäß den Sätzen der Booleschen Algebra auf die gleiche KDNF bzw. KKNF zurückgeführt werden können C-3 C-32

9 6.3 Synthese Eine Schaltung zur Realisierung einer Booleschen Funktion f kann erzeugt werden durch: ) Aufstellen der Wahrheitstafel von f 2) Bilden der KDNF (oder KKNF) von f 3) Realisierung der KDNF (oder KKNF) mit Gattern eine KDNF ist günstiger als eine KKNF, wenn nur für wenige Kombinationen der Eingabewerte f(x, x 2,..., x n ) = gilt Beispiel : Implikation 6.3 Synthese (2) Beispiel 2: Generierung von Y=, wenn höchstens einer von drei Eingängen A,B,C den Wert aufweist (vgl. Folien C-3, C-5) Die einfacheren Lösungen aus C-3 und C-5 ergeben sich z.b. durch Umformungen gemäß den Sätzen der Booleschen Algebra! C-33 C Synthese (3) 7 Minimierung von Schaltfunktionen gelegentlich ist in Schaltungen der Wert am Ausgang Y für einige Eingangskombinationen irrelevant, in diesem Fall wird in den entsprechenden Zeilen der Wahrheitstabelle für Y ein d eingetragen ( don t care ) werden die mit d gekennzeichneten Zeilen bei der Bildung von KDNF bzw. KKNF nicht berücksichtigt Beispiel 3: Eingabemelder Eine Schaltung soll am Ausgang Y = (y 2, y )den Index derjenigen Eingabeleitung ausgeben, die auf liegt; es kann nicht mehr als eine Eingabeleitung gleichzeitig aktiv sein. Bildung der KDNFs: y 2 = f 2 (x 3, x 2, x ) = x 3 x 2 x + x 3 x 2 x y = f (x 3, x 2, x ) = x 3 x 2 x + x 3 x 2 x kanonische Normalformen stellen zwar eine eindeutige, jedoch nicht minimale Darstellung einer Schaltfunktion dar Wann heißt eine Darstellung minimal? kleinste Anzahl an Gattern? kleinste Anzahl an Verbindungsleitungen? kleinste Anzahl an Produkttermen bzw. Summentermen? hier verwendet: kleinste Anzahl an Booleschen Operationen! Lösungsmöglichkeiten: ) geeignetes Umformen mit Gesetzen der Booleschen Algebra 2) Einsatz eines graphischen Verfahrens (z.b. ein Karnaugh-Veith- Diagramm), nur möglich bei Schaltfunktionen mit wenigen Variablen 3) algorithmisches Minimieren (z.b. Verfahren nach Quine-Mc-Cluskey), geeignet auch für Schaltfunktionen mit vielen Variablen (hier jedoch nicht behandelt, vgl. Vorlesung Theoretische Informatik II) C-35 C-36

10 7. Minimierung mit Boolescher Algebra Idee: Resolutionregel Wenn sich in einer disjunktiven Normalform zwei Summanden nur in genau einer komplementären Variablen unterscheiden, so können beide Summanden durch ihren gemeinsamen Teil ersetzt werden Beispiel: f(x, x 2, x 3 ) = x x 2 x 3 + x x 2 x 3 + x x 2 x 3 = x x 2 x 3 + x x 2 x 3 + x x 2 x 3 + x x 2 x 3 (Idempotenzgesetz) = x x 2 (x 3 + x 3 ) + x x 2 x 3 + x x 2 x 3 (Distributivgesetz) = x x 2 (x 3 + x 3 ) + x x 3 x 2 + x x 3 x 2 (Kommutativgesetz) = x x 2 (x 3 + x 3 ) + x x 3 (x 2 + x 2 ) (Distributivgesetz) = x x 2 + x x 3 (Komplementäres Element) = x x 2 + x x 3 (Neutrales Element) 7.2 Karnaugh-Veitch-Diagramme graphische Darstellung der Wahrheitstafel durch eine Matrix jedes Element repräsentiert einen Minterm die Anordnung der Elemente erfolgt derart, daß sich zwei (zyklisch) benachbarte Elemente genau im Vorzeichen einer Komponente unterscheiden benachbarte Minterme können zusammengefasst werden! Karnaugh-Veitch-Diagramm für eine zweistellige Boolesche Funktion f(x, x 2 ): erste (zweite) Spalte repräsentiert x (bzw. x ) erste (zweite) Zeile repräsentiert x 2 (bzw. x 2 ) C-37 C Karnaugh-Veitch-Diagramme (2) 7.2 Karnaugh-Veitch-Diagramme (3) zur Minimierung der KDNF einer n-stelligen Funktion f wird für jeden Minterm mit f(x,...,x n )= eine im Diagramm eingetragen wird für jeden Minterm mit f(x,...,x n )= eine im Diagramm eingetragen werden möglichst wenige und möglichst große zusammenhängende ggf. überlappende Bereiche aus Einsen markiert, wobei ) jeder Bereich aus 2 k Elementen (mit k n) besteht 2) letztendlich alle Einsen überdeckt sein müssen wird eine minimale DNF gebildet, indem den einzelnen markierten Bereichen Produktterme zugeordnet werden, die summiert werden Beispiel: Implikation Karnaugh-Veitch-Diagramm für eine dreistellige Boolesche Funktion f(x, x 2, x 3 ): alternative Beschriftung zeigt: zwei disjunkte Bereiche für x 2! Nachbarschaft ergibt sich hier durch zyklische Fortsetzung in horizontaler Richtung! auch zyklisch fortgesetzte Markierungen möglich! C-39 C-4

11 7.2 Karnaugh-Veitch-Diagramme (4) Beispiel: (vgl. Folie C-3) 7.2 Karnaugh-Veitch-Diagramme (5) bei Auftreten von don t care Termen in der Wahrheitstafel wird in das entsprechende Element des Diagramms ein d eingetragen können die d-elemente bei der Markierung berücksichtigt werden, wenn sich hierdurch größere zusammenhängende Bereiche ergeben Beispiel: Eingabemelder KDNFs aus Wahrheitstafel (vgl. Folie C-35): f 2 (x, x 2, x 3 ) = x x 2 x 3 + x x 2 x 3 f (x, x 2, x 3 ) = x x 2 x 3 + x x 2 x 3 aus Karnaugh-Veitch-Diagrammen resultierende minimale Darstellungen: f 2 (x, x 2, x 3 ) = x 2 + x 3 f (x, x 2, x 3 ) = x + x 3 C-4 C Karnaugh-Veitch-Diagramme (6) 7.2 Karnaugh-Veitch-Diagramme (7) Karnaugh-Veitch-Diagramm für eine vierstellige Boolesche Funktion f(x, x 2, x 3, x 4 ): alternative Beschriftung: sowohl für x 2 als auch für x 4 existieren zwei disjunkte Bereiche; zyklische Nachbarschaften in horizontaler Richtung (bei x 2 ) und in vertikaler Richtung (bei x 4 ) C-43 C-44

12 7.2 Karnaugh-Veitch-Diagramme (8) Beispiel: 2-Bit Multplizierer 7.2 Karnaugh-Veitch-Diagramme (9) Minimierung von y und y : y : y : y = x 2 x 4 y = x x 2 x 3 + x 2 x 3 x 4 + x x 3 x 4 + x x 2 x 4 = a b = a a b + a b b + a b b + a a b C-45 C Karnaugh-Veitch-Diagramme () 7.2 Karnaugh-Veitch-Diagramme () Minimierung von y 2 und y 3 : y 2 : y 3 : y 2 = x x 2 x 3 + x x 3 x 4 y 3 = x x 2 x 3 x 4 = a a b + a b b = a a b b einige Anmerkungen: zyklisch fortgesetzte Markierungen können sehr leicht übersehen werden, insbesondere im Diagramm für vierstellige Boolesche Funktionen, z.b. Karnaugh-Veitch-Diagramme für Boolesche Funktionen mit 5 oder mehr Stellen sind zu unübersichtlich und werden i.a. nicht verwendet zur Minimierung einer KKNF werden möglichst wenige und möglichst große zusammenhängende Bereiche aus Nullen markiert wird eine minimale DNF gebildet, indem den einzelnen markierten Bereichen Produktterme zugeordnet werden, die summiert werden wird hieraus durch Negation eine minimale KNF generiert C-47 C-48

13 8 Schaltnetze Ein Schaltnetz ist eine schaltungstechnische Realisierung einer Schaltfunktion f : {,} n {,} m mit n, m f ist zerlegbar in m Boolesche Funktionen mit den gleichen n Eingangsvariablen : f (x, x 2,..., x n ), f 2 (x, x 2,..., x n ),..., f m (x, x 2,..., x n ) Schaltnetz ein Schaltnetz bezeichnet man auch als kombinatorische Logik 8 Schaltnetze (2) Schaltnetze können einstufig (eine Gatterebene), zweistufig (zwei Gatterebenen) oder mehrstufig sein jedes Schaltnetz ist als gerichteter, ayzklischer Graph darstellbar: Gatter, Ein- und Ausgänge sind die Knoten Verbindungsleitungen entsprechen den gerichteten Kanten Zyklen (Rückkopplungen) sind nicht zulässig! aus der Darstellung als kanonische Normalform resultiert, daß jede Schaltfunktion f(x, x 2,..., x n ) durch ein zweistufiges Schaltnetz realisierbar ist, wenn alle Eingangssignale x i sowohl einfach als auch negiert vorliegen Gatter mit einer ausreichenden Größe (d.h. Anzahl an Eingängen) zur Verfügung stehen C-49 C-5 8 Schaltnetze (3) 8 Schaltnetze (4) bei Realisierung einer KDNF werden benötigt: je Minterm ein UND-Gatter ein ODER-Gatter zur Disjunktion aller Minterme bei Realisierung einer KKNF werden benötigt: je Maxterm ein ODER-Gatter ein UND-Gatter zur Konjunktion aller Maxterme Anzahl der benötigten Gatter zur Realisierung der KDNF (bzw. KKNF) einer n-stelligen Schaltfunktion: je Boolescher Funktion max. 2 n UND-Gatter (bzw. ODER-Gatter) mit jeweils max. n Eingängen je Boolescher Funktion ein ODER-Gatter (bzw. UND-Gatter) mit max. 2 n Eingängen Minimierung der Booleschen Funktionen reduziert Anzahl und Größe der benötigten Gatter Beispiel: Realisierung des minimierten 2-Bit Multiplizierers (vgl. Folien C-45 bis C-47) mit Nicht-, UND-, und ODER-Gattern: C-5 C-52

14 8 Schaltnetze (5) obwohl jedes Schaltnetz nur mit UND-, ODER- und NICHT- Gattern aufgebaut werden kann, ist es gelegentlich erforderlich, andere Gatterbausteine zu verwenden, z.b.: 8. Realisierung eines Schaltnetzes Ein Schaltnetz wird heute nicht mehr mit diskreten Gattern aufgebaut, statt dessen verwendet man: integrierte Bausteine (ICs) in SSI-Technologie (SSI = Small Scale Integration ) in TTL (Transistor-Transistor-Logik) oder CMOS ( Complementary Metal Oxide Semiconductor ): stets mehrere Gatter des gleichen Typs je Baustein programmierbare Logikbausteine PROM PLA PAL/GAL FPGAs ( Field-Programmable Gate Arrays ) hochintegrierte Schaltkreise (ASICs = Application-Specific Integrated Circuits ) in VLSI-Technologie (VLSI = Very Large Scale Integration ) C-53 C Realisierung eines Schaltnetzes (2) 8. Realisierung eines Schaltnetzes (3) einige Integrierte Bausteine (TTL-ICs) mit Gattern: Realisierung mit PROM ( Programmable Read-Only Memory ) Schematische Darstellung (hier ein PROM mit 6 Worten zu 4 Bit): Adressdekoder entspricht einer festen UND-Matrix Koppelelemente bilden eine programmierbare ODER-Matrix realisiert unmittelbar die Wahrheitstabelle in Hardware! ein PROM mit 2 m n-bit Worten kann jede beliebige Schaltfunktion f : {,} m {,} n ohne Minimierung implementieren C-55 C-56

15 8. Realisierung eines Schaltnetzes (4) Beispiel: 2 2 Bit Multiplizierer mit 6 4 Bit PROM 8. Realisierung eines Schaltnetzes (5) Realisierung mit PAL / GAL ( Programmable / Generic Array Logic ) Schematische Darstellung eines PAL-Bausteins (hier mit 4 Ein- und Ausgängen und 4 Produkttermen je Ausgang): Aufbau: programmierbare UND-Matrix Produktterme werden mit fester ODER-Matrix verknüpft GAL ist wiederprogrammierbar kann jede (ggf. minimierte) DNF realisieren, wenn Zahl der Produktterme je ODER ausreicht C-57 C Realisierung eines Schaltnetzes (6) 8.2 Typische Schaltnetze Realisierung mit PLA ( Programmable Logic Array ) Schematische Darstellung eines PLA-Bausteins (hier mit 4 Ein- und Ausgängen und 6 Produkttermen): Aufbau: programmierbare UND-Matrix programmierbare ODER-Matrix kann jede (ggf. minimierte) DNF realisieren, wenn die Gesamtzahl der Produktterme im PLA ausreicht -aus-k Multiplexer: n Steuerleitungen: s n-,..., s, s k = 2 n Eingänge: x, x,..., x k- ein Ausgang: y y = x i für (s n-,..., s, s ) 2 = i Beispiel: Realisierung eines -aus-4 Multiplexers KDNF: y = s s x + s s x + s s x 2 + s s x 3 Binärzahl Negation benötigt z.b. zur Auswahl einer Datenquelle C-59 C-6

16 8.2 Typische Schaltnetze (2) 8.2 Typische Schaltnetze (3) -zu-k Demultiplexer: n Steuerleitungen s n-,..., s, s ein Eingang x k = 2 n Ausgänge y, y,..., y k- y i = x für (s n-,..., s, s ) 2 = i k-zu-n Kodierer: n Ausgänge y,y,...,y n- k = 2 n Eingänge x, x,...,x k- nur genau eine Eingangsleitung darf auf sein: x i =, x j i = (y n-,..., y, y ) 2 = i Beispiel: Realisierung eines -zu-4 Demultiplexers: y = s s x, y = s s x, y 2 = s s x, y 3 = s s x Beispiel: Realisierung eines 8-zu-3 Kodierers: y = x + x 3 + x 5 + x 7 y = x 2 + x 3 + x 6 + x 7 y 2 = x 4 + x 5 + x 6 + x 7 benötigt z.b. zur Auswahl einer Datensenke (E/A-Gerät, Speicherzeile) benötigt z.b. zur Kodierung von Tasten an einer Tastatur C-6 C Typische Schaltnetze (4) 9 Lernziele für Teil C n-zu-k Dekodierer: n Eingänge x, x,..., x n- k = 2 n Ausgänge y, y,..., y k- wenn (x n-,..., x, x ) 2 = i, dann ist y i = und y j i = Beispiel: Realisierung eines 4-zu-2 Dekodierers: y = x x, y = x x y 2 = x x, y 3 = x x benötigt z.b. zur Dekodierung von Adressen oder Instruktionen Begriffe: Schaltfunktion, Schaltnetz, Minterm, Maxterm, DNF, KNF, KDNF, KKNF, (De-)Multiplexer, (De-)Kodierer,... Transformation Boolescher Ausdrücke gemäß den Axiomen und Sätzen der Booleschen Algebra, z.b. zum Nachweis der Äquivalenz zweier Schaltnetze Systematischer Entwurf eines Schaltnetzes aus einer Problembeschreibung Aufstellen der Wahrheitstabelle Bildung der KDNF oder KKNF Minimierung der KDNF oder KKNF mit Karnaugh-Veitch- Diagrammen Realisierung des Schaltnetzes mit Gattern aus einer vorgegeben Menge oder mit programmierbaren Logikbausteinen C-63 C-64