3 Verarbeitung und Speicherung elementarer Daten

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1 3 Verarbeitung und Speicherung elementarer Daten 3.1 Boolsche Algebra Definition: Eine Boolsche Algebra ist eine Menge B mit den darauf definierten zweistelligen Verknüpfungen (+,*) sowie der einstelligen Verknüpfung, falls für a,b,c B gilt: 1) Kommutativgesetz a + b = b + a a b = b a 2) Assoziativgesetz (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) 3) Existenz von Null und Eins 0, 1 B mit: 0 + a = a, 1 a = a 4) Distributivgesetz (a + b) c = (a c) + (b c) (a b) + c = (a + c) (b + c) 5) Komplementäres Element zu a B gibt es ā B mit a + ā = 1, a ā = 0 (Schreibweise a = ā) Für Boolsche Algebren lassen sich folgende Rechenregeln beweisen: 24

2 6) a 0 = 0, a + 1 = 1 7) a = a + a = a a = a 8) Verschmelzungsgesetz a (a + b) = a a + (a b) = a 9) De Morganisches Gesetz (a + b) = ā b (a b) = ā + b Im folgenden betrachten wir nur noch die spezielle Boolsche Algebra: B={0,1} mit (UND (*)), (ODER(+)), (NICHT) wird auch als Konjunktion und als Disjunktion bezeichnet Hierbei gilt: 0 0 = = 0 0 = = = = = 1 1 = = = Schaltfunktionen Defintion: Eine Abbildung f : B n B heißt Schaltfunktion oder Boolsche Funktion z.b. ganze Zahl mit 3 Bit ist gerade ( = 1) oder ungerade ( = 0) 25

3 x 1 x 2 x 3 Y x 1 x 2 x x 1 x 2 x x 1 x 2 x x 1 x 2 x Ableitung der Schaltfunktion aus der Wahrheitstabelle: 1) Disjunktive Normalform: Disjunktion von Konjunktionen über alle Variablen ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) 2) Konjunktive Normalform: Konjunktion von Disjunktionen über alle Variablen (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) Im Weiteren wird folgende abkürzende Schreibweise verwendet: x 1 x 2 x 1 x 2 In einem realen Rechner werden die Operationen, und durch sogenannte Gatter realisiert x. x Inverter x y x v y Oder-Gatter x y x v y Und-Gatter Ziel: Verwendung möglichst weniger Bauteile Minimierung von Schaltfunktionen Resolutionsregel 26

4 Dies wird erreicht durch geschickte Anwendung der Resolutionsregel: Kommen in einer disjunktiven Form (DF) zwei Konjunktionen vor, die sich in genau einer komplementären Variablen unterscheiden, dann können diese durch den gemeinsamen Teil ersetzt werden. Beispiel: x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 = x 1 x 3 (x 2 x 2 ) = x 1 x 3 1 = x 1 x 3 Beweis: x 1 x n 1 x n x n+1 x k x 1 x n 1 x n x n+1 x k = x 1 x n 1 x n+1 x k (x n x n ) = x 1 x n 1 x n+1 x k { xi oder mit x i = x i Es gibt formale Verfahren (z.b. Quine McCluskey), die dies automatisch durchführen. Mehr hierzu erfahren Sie im Modul Grundlagen Technischer Informatik. 3.3 Schaltnetze Definition: a) Eine Abbildung f : B n B m heißt Schaltabbildung (Für m=1 heißt f Schaltfunktion oder Boolsche Funktion.) b) Die Darstellung einer Schaltabbildung durch Gatter bezeichnet man als Schaltnetz (oder Schaltkreis). Halbaddierer: Addition zweier einstelliger Dualziffern x,y mit Beachtung des Übertrags x y R U R = xy xȳ und U = xy Schaltnetz des Halbaddierers 27

5 x y.. x HA y U R U R Volladdierer: Addition zweier Dualziffern x,y und einlaufendem Übertrag u x y u R U R = xȳu xyū xȳū xyu = ( xy xȳ)ū [( xȳ xy)u] = ( xy xȳ)ū [(x x xȳ xy yȳ)u] = ( xy xȳ)ū [( x y)(x ȳ)u] = ( xy xȳ)ū [(xȳ)( xy)u] = ( xy xȳ)ū (xȳ xy)u =HA(HA(x, y), u) U = xyu xȳu xyū xyu = ( xy xȳ)u xy Schaltnetz für Volladdierer 28

6 x y u HA1 x y u U 1 R 1 HA1 VA U 2 R 2 U R U R Aufbau eines Addierwerkes für beliebige Dualzahlen möglich Addiernetz für 4-stellige Dualzahlen 29

7 3.4 Schaltwerke (Schaltungen mit Delays) Bisher: nach Anlage von Inputsignal ergibt sich nach einiger Zeit ein stabiler Zustand an den Ausgängen wie dieser Ausgabezustand gespeichert wird bzw. woher das Inputsignal kam war uns egal durch das Inputsignal war die Ausgabe eindeutig bestimmt keine Berechnungen mit Gedächtnis bisher Berechnung ohne Speichern von evtl. Zwischenergebnissen (Solche Schaltungen mit Gedächtnis wollen wir im Folgenden betrachten.) Beispiel: Ringzähler für vierstellige Dualzahlen, d.h. R : B 4 B 4 mit R(i) := (i + 1 mod 10000( =16)) mit i = 0000,..., 1111 Folgende Schaltung leistet im Prinzip das Gewünschte: 30

8 Sinn des Ringzählers ist es, die Ausgabe zu einem Zeitpunkt als Eingabe für den nächsten Zeitpunkt zu verwenden: Ausgaben y 0, y 1, y 2, y 3 mit Eingaben x 0, x 1, x 2, x 3 verbinden? aufgrund unterschiedlicher Laufzeiten für y i keine sinvolle Berechnung möglich Abhilfe: Durch Taktimpulse einer zentralen Uhr (Clock) gesteuertes Delay Delays x i v s y i Takt 1. Arbeitsphase: Inhalt von S wird (nach rechts) abgegeben steht als Signal y i für längere Zeit zur Verfügung Ein Signal x i wird in V gespeichert V und S sind durch eine Sperre getrennt 2. Setzphase: durch zentral erzeugte Taktimpulse wird Sperre kurzzeitig aufgehoben, Inhalt von V S es werden keine Signale x i aufgenommen bzw. Signale y i abgegeben. Funktionstüchtiger Ringzähler wie folgt: 31

9 In der Praxis wird ein Delay durch ein sog. Flip-Flop realisiert. Auf die technische Realisierung können wir aus Zeitgründen leider nicht näher eingehen. Oftmals Folgen von Delays benötigt, z.b. zur Speicherung einer n-stelligen Dualzahl Register Alle Delays bzw. Register eines Rechners werden gleichzeitig getaktet Taktzeit eines Rechners = Zeit zwischen zwei Taktimpulsen 32

10 aktuell ca sec Gigahertz =10 9 Takte pro Sekunde Für Addition im Durchschnitt ca. 5 Takte erforderlich (Im Prinzip Additionsnetz bekannt. Offen woher kommen die Summanden bzw. wohin geht das Ergebnis.) Addierwerke Besteht aus 2 Registern, Akku und Puffer Ergebnis wird im Akku gespeichert Ergebnis in einem Schritt Laufzeit beim Volladdierer wegen Übertrag sehr hoch nämlich bei n-stellen: (n 1)5g + 6g mit g = Gatterlaufzeit (ca sec) Taktimpuls auf (n 1)5g + 6g beschränkt serielles Addierwerk 33

11 Vorteil: Kurze Taktzeit möglich 6g Nachteil: Benötigt viele Takte (bei n Stellen 6n Takte) Von-Neumann-Addierwerk (wird im Rahmen dieser Vorlesung nicht behandelt) Multiplikationswerk Prinzip sieht man an folgendem Beispiel: * = Ergebnisregister länger als Multiplikand und Multiplikator Unpraktisch die obigen vier Produkte zwischenzuspeichern, um sie dann zu addieren iteratives Vorgehen 34

12 1) (Ergebnis) Akku Addierer Multiplikand Multiplikator Falls 0-tes Bit des Multiplikators = 1 addiere Akku und Multiplikand schiebe Multiplikand nach links schiebe Multiplikator nach rechts 2) < (da 0-tes Bit des Multiplikators = 0 addiere nicht) 3) ) ) < <

13 Bei negativen Zahlen Umwandlung in Betrag Multipliziere Beträge Falls Vorzeichen unterschiedlich wandle Ergebnis ins 2er Komplement 36