Minimierung nach Quine Mc Cluskey

Transkript

1 Minimierung nach Quine Mc Cluskey F(A,B,C,D) =!A!B!C!D +!A!B!C D +!A B!C!D +!A B!C D +!A B C!D +!A B C D + A!B!C!D + A!B!C D + A!B C D + A B C D Notiere die Funktion als # A B C D Gruppe Binärelemente und fasse diese zu Gruppen zusammen Die Binärelemente werden nach den in ihnen vorkommenden Einsen in jeweilige Gruppen eingeteilt. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 41

2 Minimierung nach Quine Mc Cluskey Ermitteln der Primterme # A B C D OK # A B C D OK # A B C D OK Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 42

3 Minimierung nach Quine Mc Cluskey Ermitteln der Primtermtabelle # A B C D OK m9 + m P1 m7 + m P2 m11 + m P3 m0 + m1 + m4 + m5 0 0 P4 m0 + m1 + m8 + m9 0 0 P5 m4 + m5 + m6 + m7 0 1 P6 P1 P2 P3 P4 P5 P6 m0 m1 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m11 m15 Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 43

4 Minimierung nach Quine Mc Cluskey Finden einer minimalen Überdeckung durch wiederholte Spalten und Zeilendominanzprüfung m0 m1 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m11 m15 P1 X X P2 X X P3 X X P4 X X X X P5 X X X X P6 X X X X Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 44

5 Minimierung nach Quine Mc Cluskey Finden einer minimalen Überdeckung durch wiederholte Spalten und Zeilendominanzprüfung m6 m8 m11 m15 P1 X P2 X P3 X X P4 P5 X P6 X Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 45

6 Minimierung nach Quine Mc Cluskey Finden einer minimalen Überdeckung durch wiederholte Spalten und Zeilendominanzprüfung m6 m8 m11 m15 P3 X X P5 X P6 X Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 46

7 Minimierung nach Quine Mc Cluskey Finden einer minimalen Überdeckung durch wiederholte Spalten und Zeilendominanzprüfung P3 P5 P6 m6 m8 m11 X X X Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 47

8 Logische Bausteine Addierwerke Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 48

9 Addition eines einzigen Bits Eingang Ausgang a b CarryIn CarryOut Sum CarryIn a b + Sum CarryOut Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 49

10 CarryIn Ripple Carry Adder a0 b0 a1 b1 a2 b2 + CarryOut CarryIn + CarryOut CarryIn + CarryOut Sum Sum Sum Problem: Berechnung benötigt O(n) Gatterlaufzeit. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 50

11 Carry Lookahead Adder Beobachtung 1: wenn zwei Binärzahlen a(0)...a(n 1) und b(0)...b(n 1) addiert werden, dann findet ein Übertrag an der Stelle i statt, wenn Also können wir als Carry Generierer g(i) definieren: Beobachtung 2: ein Übertrag von der Stelle i 1 wird von der Stelle i an die nächste Stelle i+1 weiter geleitet, wenn Also können wir als Carry Propagierer p(i) definieren: Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 51

12 Carry Lookahead Adder Mittels der Generate und Propagate Ausdrücke lässt ich dann für jede Stelle i der Carry (Übertrag) für die Stelle i+1 definieren: Für einen 4 Stelligen Addierer ergibt sich damit: Wie hilft uns das jetzt weiter? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 52

13 Wie hilft uns das jetzt weiter? Carry Lookahead Adder Expandieren durch Substitution: Laufzeit: O(1), aber die hohe Anzahl der benötigten Gatter limitiert die Größe eines solchen Bausteins. (Lösung: zusammenfassen mehrerer CLA zu einer Gruppe) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 53

14 Logische Bausteine Sequentielle Schaltungen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 54

15 Sequentielle Schaltungen n Eingänge m Ausgänge n Eingänge m Ausgänge Zustand Ausgänge hängen nur von den Eingängen ab. Wie schon gezeigt, ist dies durch eine Wahrheitstabelle beschreibbar. Ausgänge hängen von den Eingängen und dem aktuellen Zustand des Bausteins ab. Wie kann man dieses Verhalten beschreiben? Kombinatorische Schaltungen Sequentielle Schaltungen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 55

16 Zustandsautomat Ein Beispiel: Eingabe 01 / Ausgabe 00 Eingabe 00 / Ausgabe 11 Eingabe 10 / Ausgabe 01 Eingabe 11 / Ausgabe 10 Zustand 00 2 Bit Eingabe Eingabe 11 / Ausgabe 00 Zustand 01 2 Bit Ausgabe Zustand 10 Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 56

17 Speichern von Zuständen Speichern eines Bits am Beispiel R S Latch (S=Set, R=Reset) Beobachtung: das Speichern von Zustand erfordert Rückkopplungen (d.h. Ausgang ist wieder Eingang) in der Schaltung. R S altes Q neues Q Bildquelle: David A. Patterson und John L. Hennessy, Computer Organization and Design, Fourth Edition, 2012 Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 57