Digitaltechnik. 4 Arithmetik. Revision 1.1

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1 Digitaltechnik 4 Arithmetik A Revision 1.1

2 Diskretisierung Einfache Addierer Carry-Select-Addierer Conditional-Sum-Addierer Conditional-Sum-Addierer Carry-Look-Ahead Addierer Multiplizierer

3 Diskretisierung Ursprüngliches Signal Zeitdiskretes Signal Zeit Zeit Diskretes Signal Boolesches Signal Zeit 0 Zeit Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 3

4 Diskretisierung Abstraktion kontinuierlicher physikalischer Größe zu endlich vielen Werten W = {l, l + 1,..., r} Beispiele: Elektrische Spannung, Polarisationsrichtung, Wasserdruck kleinste Wertemenge besteht aus den Boole schen Werten {0, 1} jede größere Wertemenge W lässt sich Boole sch kodieren durch ein γ γ : W 2 n mit n = log 2 W, injektiv Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 4

5 Aufzählungstypen Abstrakte Aufzählungstypen wie lassen sich durch injektive Abb. von binär kodieren: W = {Äpfel, Bananen, Birnen} W nach {0,..., 2 n 1} mit n = log 2 W Äpfel 00 2 Bananen 01 2 Birnen 10 2 undef 11 2 Falls W keine Zweierpotenz, muss man entweder gewisse Binärkombinationen unbelegt lassen oder mehrere mit demselben Wert assoziieren. Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 5

6 One-Hot-Encoding m Werte werden durch m Bits kodiert Beispiel: Äpfel 001 Bananen 010 Birnen 100 Kodierung vereinfacht sich immens. Einfach zu erkennende ungültige Kombinationen: genau ein Bit muss 1 sein. Vereinfacht auch die Schaltungen und macht Sie robust (mehr dazu später). Aber: Braucht exponentiell mehr Bits! Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 6

7 Gray-Code Logarithmisch viele Bits in W, günstig für Zähler. Aufeinanderfolgende Kombinationen unterscheiden sich an einer Bitposition Motivation wie beim One-Hot-Encoding: robuste und einfache Schaltungen Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 7

8 Binärkodierung für Zahlen geg. Wertebereich W = {l,..., r}, zunächst l = 0 und r = 2 n 1 jedes w W lässt sich als n-stellige Binärzahl darstellen: Wir schreiben d n 1... d 0 für die Zahl, die durch d n 1... d 0 repräsentiert wird: d n 1... d 0 := n 1 d i 2 i i=0 Beispiel: = = 22 Man beachte das implizite Festlegen der Stelligkeit n. Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 8

9 Integers: Einerkomplement Zusätzliches Vorzeichen-Bit s n Negative Zahlen x für x 0 werden durch 2 n+1 1 x repräsentiert. Die (n + 1)-stellige Binärzahl s n d n 1... d 0 im Einerkomplement kodiert n 1 die positive Zahl i=0 d i 2 i falls s n = 0 die negative Zahl - n 1 i=0 (1 d i) 2 i falls s n = 1 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 9

10 Integers: Einerkomplement Zusätzliches Vorzeichen-Bit s n Negative Zahlen x für x 0 werden durch 2 n+1 1 x repräsentiert. Die (n + 1)-stellige Binärzahl s n d n 1... d 0 im Einerkomplement kodiert n 1 die positive Zahl i=0 d i 2 i falls s n = 0 die negative Zahl Beispiele: - n 1 i=0 (1 d i) 2 i falls s n = 1 Trick: Bits umdrehen, als Integer negieren! im 5-stelligen Einerkomplement kodiert = im 5-stelligen Einerkomplement kodiert (8 + 1) = größte darstellbare Zahl 2 n 1 = kleinste darstellbare Zahl (2 n 1) = 15 Redundante Darstellungen der 0 10 sind und Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 9

11 Integers: Zweierkomplement Zusätzliches Vorzeichen-Bit s n wie beim Einerkomplement Negative Zahlen x für x 0 werden durch 2 n+1 x repräsentiert. Die (n + 1)-stellige Binärzahl s n d n 1... d 0 im Zweierkomplement kodiert n 1 die positive Zahl i=0 d i 2 i falls s n = 0 die negative Zahl - (1 + n 1 i=0 (1 d i) 2 i ) falls s n = 1 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 10

12 Integers: Zweierkomplement Zusätzliches Vorzeichen-Bit s n wie beim Einerkomplement Negative Zahlen x für x 0 werden durch 2 n+1 x repräsentiert. Die (n + 1)-stellige Binärzahl s n d n 1... d 0 im Zweierkomplement kodiert n 1 die positive Zahl i=0 d i 2 i falls s n = 0 die negative Zahl - (1 + n 1 i=0 (1 d i) 2 i ) falls s n = 1 Trick: Bits umdrehen, Eins hinzuzählen, als Integer negieren! Beispiele: im 5-stelligen Zweierkomplement kodiert = im 5-stelligen Zweierkomplement kodiert ( ) = größte darstellbare Zahl 2 n 1 = kleinste darstellbare Zahl 2 n = 16 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 10

13 Integers: Zweierkomplement Wir schreiben d n 1... d 0 für die Zahl, die im Zweierkomplement durch d n 1... d 0 kodiert wird n 1 Lemma: 2 n = i i=0 Definition ohne Fallunterscheidung n 1 s n d n 1... d 0 = s n 2 n + d i 2 i i=0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 11

14 Integers: Zweierkomplement Beweis: Trivial für s n = 0. n 1 Für s n = 1: s n d n 1... d 0 = 1 2 n + d i 2 i i=0 n 1 = (2 n d i 2 i ) i=0 n 1 = (2 n + d i 2 i ) i=0 n 1 n 1 = ( i + d i 2 i ) i=0 i=0 ( ) n 1 = 1 + (1 2 i d i 2 i ) i=0 n 1 = (1 + (1 d i ) 2 i ) i=0 (Lemma!) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 12

15 Festkommazahlen Fixpoint Numbers Genauigkeit m der Nachkommastellen wird fixiert, z.b. m = 2 Binärstellen. Zurückrechnen wie Zweierkomplement, Multiplikation mit 2 m zum Schluss. Umwandlung von Zahlen x in die Festkommadarstellung erfordert Runden: bei zwei Nachkommastellen (1/4) wird zu = Das Festkomma (oder der Punkt im Englischen) wird nicht gespeichert: in einem Byte mit 2 Nachkommastellen Häufig verwendete Zahlendarstellung in Graphikhardware Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 13

16 Fließkommazahlen Floating Point Numbers Darstellen und Runden einer Zahl als ( 1) s 1.m 2 e Separate Kodierung des Exponenten e im Zweierkomplement, des Vorzeichen-Bit s und der positiven Mantisse m. Vorzeichen Mantisse Exponent Einfache Genauigkeit (32 Bits): 1 Vorzeichen-Bit, 8 für Exponent, 23 für Mantisse. IEEE Standard : auch 64, 128 Bits. Zusätzlich: Infinity und ungültige Zahlen (NaN = Not a Number). Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 14

17 Rechnen mit Binärzahlen Klar: Aber was ist Exception werfen? }{{} }{{} 6 = }{{} }{{} + } {{}? Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 15

18 Rechnen mit Binärzahlen Klar: Aber was ist Exception werfen? Saturierung: }{{} }{{} }{{} 6 = }{{} }{{} + } {{}? }{{} 100 = }{{} 255 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 15

19 Rechnen mit Binärzahlen #include <s t d i o. h> i n t main ( ) { 5 char x ; x =100; x=x +200; p r i n t f ( %d\n, x ) ; } Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 16

20 Rechnen mit Binärzahlen #include <s t d i o. h> i n t main ( ) { 5 char x ; x =100; x=x +200; p r i n t f ( %d\n, x ) ; } Ausgabe: 44 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 16

21 Rechnen mit Binärzahlen Überlauf: 300 = , also = = 44! Überlauf entspricht modulo-arithmetik = 300 mod 256 = 44 mod 256 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 17

22 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 18

23 Addierer einfache arithmetische Basis-Operation Hardware Trade-Off: Zeit versus Platz Skalierbar durch Carry-Weiterleitung Carry In (CI) und Carry Out (CO) P Σ 0 { Q 3 CO CI { { Σ IEEE Schaltsymbol 4-Bit Addierer Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 19

24 Additions-Algorithmus a Summand b Summand c Übertrag (engl. Carry) s Summe 1 = Carry Out 0 = Carry In Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 20

25 Additions-Algorithmus a Summand b Summand c Übertrag (engl. Carry) s Summe 1 = Carry Out 0 = Carry In s k (a k + b k + c k ) mod 2 c k+1 (a k + b k + c k ) div 2 ( + = Addition in den natürlichen Zahlen, nicht als + = ODER) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 20

26 Halb-Addierer (Half Adder) Addition von zwei Bits mit Übertragsgenerierung s (a + b) mod 2 a b o (a + b) div 2 a b a b Whitebox Model a b HA Blackbox Model o s o s (Datenfluss von oben nach unten, Carry links, Summe rechts) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 21

27 Volladdierer (Full Adder) Addition von drei Bits mit Übertragsgenerierung s (a + b + i ) mod 2 a b i o (a + b + i ) div 2 a b + a i + b i a b i o s a b i FA o s Blackbox Model i = carry in o = carry out s = sum Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 22

28 Volladdierer Whitebox Model a b c i a b c i a b c i oder oder c o s c o s c o s c o = ab ((a b) c i ) ab + ((a b) c i ) ((a + b) c i ) + ab s = (a b) c i (a b) c i (a b) c i Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 23

29 Ripple-Carry Addierer o a 7 b 7 a 6 b 6 a 5 b 5 a 4 b 4 a 3 b 3 a b a b a b FA FA FA FA FA FA FA FA s s s s s s 2 1 s 1 0 s 0 i Lässt sich einfach skalieren (Schema iterativ fortsetzen) Platz: O(n) n Volladdierer für Addition von zwei n-bit Zahlen Zeit: O(n) längster Pfad (von i nach o) durchläuft n Volladdierer (bei einem 128 Bit Addierer kann das ziemlich lange dauern) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 24

30 Carrypropagierung a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 a0 b 0 i o s s s Schritt 0 s 0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 25

31 Carrypropagierung a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 a0 b 0 i o s s s Schritt 1 s 0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 25

32 Carrypropagierung a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 a0 b 0 i o s s s Schritt 2 s 0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 25

33 Carrypropagierung a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 a0 b 0 i o s s s Schritt 3 s 0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 25

34 Carrypropagierung a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 a0 b 0 i o s s s Schritt 4 s 0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 25

35 Carrypropagierung a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 a0 b 0 i o s s s Schritt 5 s 0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 25

36 Carrypropagierung a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 a0 b 0 i o s s s Schritt 6 s 0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 25

37 Carrypropagierung a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 a0 b 0 i o s s s Schritt 7 s 0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 25

38 Carrypropagierung a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 a0 b 0 i o s s s Schritt 8 s 0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 25

39 Carrypropagierung a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 a0 b 0 i o s s s Schritt 9 s 0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 25

40 Carrypropagierung a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 a0 b 0 i o s s s Schritt 10 s 0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 25

41 Korrektheit Addierer Ein Addierer ist eine Schaltfunktion add : {0, 1} n {0, 1} n {0, 1} n mit x + y = add(x, y) mod 2 n Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 26

42 Korrektheit Addierer Ein Addierer ist eine Schaltfunktion add : {0, 1} n {0, 1} n {0, 1} n mit x + y = add(x, y) mod 2 n Mit dieser Definition können wir die Korrektheit des Ripple-Carry Addierers per Induktion über n beweisen (siehe Buch). Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 26

43 Addition Zweierkomplement Wie spezifizieren wir, was ein korrekter Addierer für vorzeichenbehaftete Zahlen tut? Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 27

44 Addition Zweierkomplement Wie spezifizieren wir, was ein korrekter Addierer für vorzeichenbehaftete Zahlen tut? Ein Addierer für Zahlen im Zweierkomplement ist eine Schaltfunktion add S : {0, 1} n {0, 1} n {0, 1} n mit x + y = add S (x, y) mod 2 n Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 27

45 Addition Zweierkomplement Wie spezifizieren wir, was ein korrekter Addierer für vorzeichenbehaftete Zahlen tut? Ein Addierer für Zahlen im Zweierkomplement ist eine Schaltfunktion add S : {0, 1} n {0, 1} n {0, 1} n mit x + y = add S (x, y) mod 2 n Beispiel mit Überlauf: 100 = = 1 1 }{{} 011 =3 5 5 = 3 mod 8! Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 27

46 Zweierkomplement Addieren Es sei add : {0, 1} n {0, 1} n {0, 1} n mit x + y = add(x, y) mod 2 n (also ist add ein Addierer für Binärzahlen) Behauptung Beweis per Fallunterscheidung. x + y = add(x, y) mod 2 n Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 28

47 Zweierkomplement Addieren Es sei add : {0, 1} n {0, 1} n {0, 1} n mit x + y = add(x, y) mod 2 n (also ist add ein Addierer für Binärzahlen) Behauptung Beweis per Fallunterscheidung. Konsequenz: add = add S x + y = add(x, y) mod 2 n Wir können die selbe Schaltung für Binärzahlen und Zweierkomplement verwenden! Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 28

48 Subtrahieren Idee: a b = a + ( b) Lemma: x n 1... x 0 = x n 1... x mod 2 n Beweis per Fallunterscheidung. Beispiele: 0 = 000 = = = 001 = = ( 1) = 111 = = ( 4) = 100 = = Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 29

49 Kombinierter 4-Bit Addierer/Subtrahierer a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 a 0 b sel 0 1 sel 0 1 sel 0 1 MUX MUX MUX MUX sel a b a b a b a b o FA i o FA i o FA i o FA i add/sub s s s s s 3 s 2 s 1 s 0 A, B, S in 2er-Komplementdarstellung add/sub = 0: S = A + B add/sub = 1: S = A B Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 30

50 Überlauferkennung Nützlich zur Fehlerbehandlung Intel x86: into, RISC: ovf Interrupt Binärzahlen: Klar, einfach das Carry Out Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 31

51 Überlauferkennung Nützlich zur Fehlerbehandlung Intel x86: into, RISC: ovf Interrupt Binärzahlen: Klar, einfach das Carry Out Theorem für das Zweierkomplement: Es seien c 0,..., c n die Carry Bits im Ripple-Carry Addierer. a + b { 2 n 1,..., 2 n 1 1} c n 1 c n Beweis: per Fallunterscheidung Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 31

52 Kombinierter 4-Bit Addierer/Subtrahierer mit Überlauferkennung a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 a 0 b sel 0 1 sel 0 1 sel 0 1 MUX MUX MUX MUX sel a b a b a b a b o FA i o FA i o FA i o FA i add/sub s s s s overflow s 3 s 2 s 1 s 0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 32

53 Addieren mit Verilog Selber zusammenbauen als kombinatorische Schaltung (Übung) Bibliothek verwenden (oft handgemalt ) Einfach a + b schreiben, wie in C/JAVA. Das Synthesetool wählt einen Addierer aus. Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 33

54 Zeit vs. Platz Zeit Verwirklichbare Designs Optimum Platz Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 34

55 Leistung vs. Kosten Fahrtzeit Preis Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 35

56 Schnellere Addierer? Schnellere Addierer? (schneller als O(n) beim n-bit Ripple-Carry-Adder) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 36

57 Schnellere Addierer? Schnellere Addierer? (schneller als O(n) beim n-bit Ripple-Carry-Adder) Zeit vs. Platz: Platz begrenzt durch Chipfläche Zeit antiproportional zur erzielbaren Taktfrequenz (längster Pfad!) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 36

58 Carry-Select-Addierer Wie vermeidet man die Carry-Propagation? Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 37

59 Carry-Select-Addierer Wie vermeidet man die Carry-Propagation? Mehrere Lösungskandidaten vorausberechnen! Wir teilen die zu addierenden Vektoren a, b in eine obere und untere Hälfte auf: a h := a[n 1 : n/2] a l := a[n/2 1 : 0] Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 37

60 Carry-Select-Addierer ā l ; b l n Σ( n 2 ) cin n 2 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 38

61 Carry-Select-Addierer ā h ; b h n ā l ; b l n n n Σ( n 2 ) 1 Σ( n 2 ) 0 n n 2 2 Σ( n 2 ) cin n 2 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 38

62 Carry-Select-Addierer ā h ; b h n ā l ; b l n n n Σ( n 2 ) 1 Σ( n 2 ) 0 n n MUX 0 c out n 2 c intern Σ( n 2 ) c in n 2 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 38

63 Carry-Select-Addierer: Kosten und Zeit Zeit: Tiefe O(log 2 (n)) T (1) = t FA T (n) = t( n 2 ) + t MUX Kosten: Kosten O(n) log 2 (n) 1 ( C(n) = 2 3 log 2 n ) n + 3 i 2 i (siehe auch Aufgabe 4.9 im Buch) i=0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 39

64 Conditional-Sum-Addierer Problem: Kosten! Wir brauchen 3 Sub-Addierer! Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 40

65 Conditional-Sum-Addierer Problem: Kosten! Wir brauchen 3 Sub-Addierer! Wir brauchen a h + b h und a h + b h + 1 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 40

66 Conditional-Sum-Addierer Problem: Kosten! Wir brauchen 3 Sub-Addierer! Wir brauchen a h + b h und a h + b h + 1 Idee: Beide auf einmal berechnen! s h = a h + b h s h+1 = a h + b h + 1 s l = a l + b l s l+1 = a l + b l + 1 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 40

67 Conditional-Sum-Addierer a h b h a l b l n/2 n/2 n/2 n/2 CondSum( n 2 ) CondSum( n 2 ) n/2 n/2 n/2 n/ c l+1 c l n/2 n/2 n/2 n/2 c h+1 s h+1 s l+1 c h s h s l Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 41

68 Conditional-Sum-Addierer: Kosten und Zeit Zeit: T (1) = 2 t FA T (n) = t( n 2 ) + t MUX Tiefe O(log 2 (n)) Kosten: O(n) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 42

69 Carry-Look-Ahead Addierer Geht es noch schneller? Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 43

70 Carry-Look-Ahead Addierer Geht es noch schneller? Idee: Vorausberechnung des Carry Faktorisieren von Carry-Propagierung und Generierung Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 43

71 Carry-Generierung und Propagierung Faktorisieren c k+1 a k b k + a k c k + b k c k a k b }{{ k + (a } k + b k ) c k }{{} g k p k g k die Summanden-Bits an der k-ten Stelle generieren ein Carry p k die Summanden-Bits an der k-ten Stelle propagieren das Carry Damit lässt sich wie folgt die Summe berechnen: s k a k b k c k Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 44

72 Das Element a k b k g k p k g k a k b k p k a k + b k Beobachtung: die Signale lassen sich auch aus dem Volladdierer abgreifen Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 45

73 Carry-Generierung und Propagierung Beispiel für 4 Bits: c 1 = g 0 (p 0 c 0 ) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 46

74 Carry-Generierung und Propagierung Beispiel für 4 Bits: c 1 = g 0 (p 0 c 0 ) c 2 = g 1 (p 1 c 1 ) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 46

75 Carry-Generierung und Propagierung Beispiel für 4 Bits: c 1 = g 0 (p 0 c 0 ) c 2 = g 1 (p 1 c 1 ) = g 1 (g 0 p 1 ) (c 0 p 0 p 1 ) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 46

76 Carry-Generierung und Propagierung Beispiel für 4 Bits: c 1 = g 0 (p 0 c 0 ) c 2 = g 1 (p 1 c 1 ) = g 1 (g 0 p 1 ) (c 0 p 0 p 1 ) c 3 = g 2 (p 2 c 2 ) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 46

77 Carry-Generierung und Propagierung Beispiel für 4 Bits: c 1 = g 0 (p 0 c 0 ) c 2 = g 1 (p 1 c 1 ) = g 1 (g 0 p 1 ) (c 0 p 0 p 1 ) c 3 = g 2 (p 2 c 2 ) = g 2 (g 1 p 2 ) (g 0 p 1 p 2 ) (c 0 p 0 p 1 p 2 ) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 46

78 Carry-Generierung und Propagierung Beispiel für 4 Bits: c 1 = g 0 (p 0 c 0 ) c 2 = g 1 (p 1 c 1 ) = g 1 (g 0 p 1 ) (c 0 p 0 p 1 ) c 3 = g 2 (p 2 c 2 ) = g 2 (g 1 p 2 ) (g 0 p 1 p 2 ) (c 0 p 0 p 1 p 2 ) c 4 = g 3 (p 3 c 3 ) = g 3 (g 2 p 3 ) (g 1 p 2 p 3 ) (g 0 p 1 p 2 p 3 ) (c 0 p 0 p 1 p 2 p 3 ). Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 46

79 Carry-Generierung und Propagierung Beispiel für 4 Bits: c 1 = g 0 (p 0 c 0 ) c 2 = g 1 (p 1 c 1 ) = g 1 (g 0 p 1 ) (c 0 p 0 p 1 ) c 3 = g 2 (p 2 c 2 ) = g 2 (g 1 p 2 ) (g 0 p 1 p 2 ) (c 0 p 0 p 1 p 2 ) c 4 = g 3 (p 3 c 3 ) = g 3 (g 2 p 3 ) (g 1 p 2 p 3 ) (g 0 p 1 p 2 p 3 ) (c 0 p 0 p 1 p 2 p 3 ). Beobachtung: Das ist DNF! Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 46

80 Einfacher 2-Bit Carry Look-Ahead Addierer a 1 b 1 a 0 b 0 c 1 c 0 c 2 g 1 p 1 g 0 p 0 s 1 s 0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 47

81 Carry Out eines 4-Bit Carry Look-Ahead Addierers g 3 p 3 g 2 c 4 p 3 p 2 g 1 p 3 p 2 p 1 g 0 p 3 p 2 p 1 p 0 c 0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 48

82 Kosten & Geschwindigkeit Platz: Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 49

83 Kosten & Geschwindigkeit Platz: insgesamt O(n 2 ) Transistoren für n-bit Addierer letztes ODER für c k hat k Eingänge ODER mit k Eingängen braucht O(k) Transistoren Σ n k=0 k = O(n 2 ) Zeit: Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 49

84 Kosten & Geschwindigkeit Platz: insgesamt O(n 2 ) Transistoren für n-bit Addierer letztes ODER für c k hat k Eingänge ODER mit k Eingängen braucht O(k) Transistoren Σ n k=0 k = O(n 2 ) Zeit: O(1) 4-stufige Logik (oder 5-stufig, wenn XOR nicht in der Basis) unabhängig von n die vielen Drähte erschweren Place & Route erheblich Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 49

85 Optimierter Carry Look-Ahead Addierer quadratischer Platz zu teuer für die Praxis, AND/OR Gatter mit beliebig vielen Eingängen gibt es nicht wirklich Ziel: weniger Platzverbrauch vergleichbarer Zeitaufwand Idee: Rekursive Generierung und Propagierung mit Group-Propagate- bzw. Group-Generate-Signalen damit erhält man ersten praktikablen Addierer Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 50

86 Group-Propagate und Group-Generate Idee: eine Gruppe von FAs kann propagieren und generieren Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 51

87 Group-Propagate und Group-Generate Idee: eine Gruppe von FAs kann propagieren und generieren Beispiel für 4 Bits: P G = p 0 p 1 p 2 p 3 GG = g 3 (g 2 p 3 ) (g 1 p 3 p 2 ) (g 0 p 3 p 2 p 1 ) Wir fügen diese Signale als neue Ausgabesignale des CLAs hinzu Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 51

88 Rekursionsansatz Rekursive Konstruktion von n-bit CLAs mit der 4-Bit Carry-Look-Ahead Einheit : Eingabe: 4x P G/GG, Carry-in Berechnet 4 Carry Bits (siehe vorhergehende Folie) Berechnet P G, GG (siehe vorhergehende Folie) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 52

89 Ein 4-Bit Carry-Look-Ahead Addierer a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 a 0 b 0 i Volladdierer Volladdierer Volladdierer Volladdierer s 3 s 2 s 1 s 0 p 3 g 3 c 3 p 2 g 2 c 2 p 1 g 1 c 1 p 0 g 0 c 4 Carry-Look-Ahead-Einheit P G GG Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 53

90 Ein 16-Bit Carry-Look-Ahead Addierer a b a b a 4..7 b 4..7 a 0..3 b 0..3 i 4-Bit- CLA- Addierer 4-Bit- CLA- Addierer 4-Bit- CLA- Addierer 4-Bit- CLA- Addierer s s s 4..7 s 0..3 p 12 g 12 c 12 p 8 g 8 c 8 p 4 g 4 c 4 p 0 g 0 c 16 Carry-Look-Ahead-Einheit P G GG Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 54

91 Ein 64-Bit Carry-Look-Ahead Addierer b b b b i a a a a Bit- CLA- Addierer 16-Bit- CLA- Addierer 16-Bit- CLA- Addierer 16-Bit- CLA- Addierer s s s s p 48 g 48 c 48 p 32 g 32 c 32 p 16 g 16 c 16 p 0 g 0 c 64 Carry-Look-Ahead-Einheit P G GG Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 55

92 Ein 16-Bit Carry-Look-Ahead Addierer P/G P/G P/G P/G P/G Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 56

93 Ein 16-Bit Carry-Look-Ahead Addierer P/G P/G P/G P/G P/G Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 56

94 Ein 16-Bit Carry-Look-Ahead Addierer P/G P/G P/G P/G P/G Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 56

95 Ein 16-Bit Carry-Look-Ahead Addierer P/G P/G P/G P/G P/G Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 56

96 Ein 16-Bit Carry-Look-Ahead Addierer P/G P/G P/G P/G P/G Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 56

97 Carry Look-Ahead Addierer: Längster Pfad Es sei T (n) die Tiefe (Länge des längsten Pfades) im n-bit CLA T (1) ist die Tiefe des Volladdierers, t FA Es sei t CLA die Tiefe der Carry-Look-Ahead Einheit (konstant!) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 57

98 Carry Look-Ahead Addierer: Längster Pfad Es sei T (n) die Tiefe (Länge des längsten Pfades) im n-bit CLA T (1) ist die Tiefe des Volladdierers, t FA Es sei t CLA die Tiefe der Carry-Look-Ahead Einheit (konstant!) Beobachtung: keine Pfade durch zwei unter-clas, da P G/GG nicht von dem Carry-in abhängt! Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 57

99 Carry Look-Ahead Addierer: Längster Pfad Es sei T (n) die Tiefe (Länge des längsten Pfades) im n-bit CLA T (1) ist die Tiefe des Volladdierers, t FA Es sei t CLA die Tiefe der Carry-Look-Ahead Einheit (konstant!) Beobachtung: keine Pfade durch zwei unter-clas, da P G/GG nicht von dem Carry-in abhängt! Also: T (n) = T ( n 4 ) + t CLA Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 57

100 Carry Look-Ahead Addierer: Längster Pfad Geschlossene Form für T (n) = T ( n 4 ) + t CLA? Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 58

101 Carry Look-Ahead Addierer: Längster Pfad Geschlossene Form für T (n) = T ( n 4 ) + t CLA? T (4) = T (1)+t CLA = t FA + t CLA Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 58

102 Carry Look-Ahead Addierer: Längster Pfad Geschlossene Form für T (n) = T ( n 4 ) + t CLA? T (4) = T (1)+t CLA = t FA + t CLA T (16) = T (4)+t CLA = t FA +2 t CLA Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 58

103 Carry Look-Ahead Addierer: Längster Pfad Geschlossene Form für T (n) = T ( n 4 ) + t CLA? T (4) = T (1)+t CLA = t FA + t CLA T (16) = T (4)+t CLA = t FA +2 t CLA T (64) = T (16)+t CLA = t FA +3 t CLA Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 58

104 Carry Look-Ahead Addierer: Längster Pfad Geschlossene Form für T (n) = T ( n 4 ) + t CLA? T (4) = T (1)+t CLA = t FA + t CLA T (16) = T (4)+t CLA = t FA +2 t CLA T (64) = T (16)+t CLA = t FA +3 t CLA T (256) = T (64)+t CLA = t FA +4 t CLA Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 58

105 Carry Look-Ahead Addierer: Längster Pfad Geschlossene Form für T (n) = T ( n 4 ) + t CLA? T (4) = T (1)+t CLA = t FA + t CLA T (16) = T (4)+t CLA = t FA +2 t CLA T (64) = T (16)+t CLA = t FA +3 t CLA T (256) = T (64)+t CLA = t FA +4 t CLA Verallgemeinerung: Logarithmische Tiefe! T (n) = t FA + (log 4 n) t CLA Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 58

106 Carry Look-Ahead Addierer: Kosten Es sei c CLA die Kosten der Carry-Look-Ahead Einheit, und c FA die Kosten des Volladdierers Kosten für n-bit CLA: C(n) = 4 C( n 4 ) + c CLA Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 59

107 Carry Look-Ahead Addierer: Kosten Es sei c CLA die Kosten der Carry-Look-Ahead Einheit, und c FA die Kosten des Volladdierers Kosten für n-bit CLA: C(n) = 4 C( n 4 ) + c CLA C(4) = 4 C(1)+c CLA = 4 c FA + c CLA C(16) = 4 C(4)+c CLA = 16 c FA + 5 c CLA C(64) = 4 C(16)+c CLA = 64 c FA +21 c CLA C(256) = 4 C(64)+c CLA = 256 c FA +85 c CLA Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 59

108 Carry Look-Ahead Addierer: Kosten Es sei c CLA die Kosten der Carry-Look-Ahead Einheit, und c FA die Kosten des Volladdierers Kosten für n-bit CLA: C(n) = 4 C( n 4 ) + c CLA C(4) = 4 C(1)+c CLA = 4 c FA + c CLA C(16) = 4 C(4)+c CLA = 16 c FA + 5 c CLA C(64) = 4 C(16)+c CLA = 64 c FA +21 c CLA C(256) = 4 C(64)+c CLA = 256 c FA +85 c CLA = C(n) O(n) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 59

109 Vergleich Addierer Typ Zeit Platz Gatter Fläche Carry Ripple Adder O(n) O(n) O(n) Carry Look-Ahead Adder O(log n) O(n) O(n log n) Carry Skip Adder Carry Select Adder O( n) O(n) O(n) weitere Addierer mit dazwischenliegender Komplexität Anpassung an Technologie: manchmal ist Carry Ripple schnell Hybride Ansätze! Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 60

110 Vergleich Addierer RCA CLA Cond. Sum Gatter Breite Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 61

111 Multiplizierer Beispiel komplexer arithmetischer Schaltung Langsamer als Addition, braucht mehr Platz Übersicht: 1. Sequentielle Multiplikation 2. Kompakte kombinatorische Variante mit Carry-Save-Adders (CSA) 3. Vorzeichenbehaftete Multiplikation mit Booth-Algorithmus Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 62

112 Schulalgorithmus zur Multiplikation B A Partielle Summe * Resultat Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 63

113 Einfacher Multiplizierer 5 B A 5 5 Bit Addierer 5 5 Bit Addierer 5 5 Bit Addierer 5 5 Bit Addierer 5 Resultat Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 64

114 Einfacher Multiplizierer n n Multiplikation: Eingabe: zwei n-bit Vektoren Ausgabe: 2 n-bit Vektor benötigt n 1 seriell geschaltete Addierer Annahme: CLA Adder Zeit: O(n log n) Platz: O(n 2 ) Gatter, Fläche O(n 2 log n) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 65

115 Sequentielle Version: Software long long unsigned mult32 ( unsigned a, unsigned b ) { long long unsigned pa=a ; unsigned i ; 5 for ( i =0; i <32; i ++) { i f ( pa&1) pa +=(( unsigned long long ) b)<<32; 10 pa=pa>>1; } } return pa ; Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 66

116 Sequentielle Version: Software Benötigt eine Iteration pro Bit Pro Iteration: eine Bitextrahierung ein Test zwei Shifts Q: Schleifeninvariante? Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 67

117 Sequentielle Version: Hardware Shiften n n C 1 n P A n n n Bit Addierer n B Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 68

118 Sequentieller Algorithmus 1. Obere Hälfte P der partiellen Summe mit 0 initialisieren 2. Erster Operand ins B Register 3. Zweiter Operand ins A Register (untere Hälfte der partiellen Summe) 4. Für jeden der n Multiplikationsschritte: 4.1 LSB von A gleich 1, dann addiere B zu P (ansonsten 0) 4.2 Schiebe (C, P, A) nach rechts (C ist Carry des Addierers) 5. Result findet sich in (P, A) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 69

119 Sequentielle Multiplikation von 7 und 5 C P A Schreibe 7 = nach B und 5 = nach A Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 70

120 Sequentielle Multiplikation von 7 und 5 C P A Schreibe 7 = nach B und 5 = nach A A 0 = 1 also addiere B = Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 70

121 Sequentielle Multiplikation von 7 und 5 C P A Schreibe 7 = nach B und 5 = nach A A 0 = 1 also addiere B = Shiften (A 0 gebraucht, fällt also raus) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 70

122 Sequentielle Multiplikation von 7 und 5 C P A Schreibe 7 = nach B und 5 = nach A A 0 = 1 also addiere B = Shiften (A 0 gebraucht, fällt also raus) A 1 = 0 also addiere Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 70

123 Sequentielle Multiplikation von 7 und 5 C P A Schreibe 7 = nach B und 5 = nach A A 0 = 1 also addiere B = Shiften (A 0 gebraucht, fällt also raus) A 1 = 0 also addiere Shiften (A 1 gebraucht, fällt also raus) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 70

124 Sequentielle Multiplikation von 7 und 5 C P A Schreibe 7 = nach B und 5 = nach A A 0 = 1 also addiere B = Shiften (A 0 gebraucht, fällt also raus) A 1 = 0 also addiere Shiften (A 1 gebraucht, fällt also raus) A 2 = 1 also addiere B = Shiften, Resultat ist = 35 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 70

125 Probleme mit Vorzeichen Multiplikation von 3 und 7 gibt natürlich 21 4-Bit Zweierkomplement: , als unsigned 4-Bit Zahlen sind das 13 bzw. 9 Multiplikation von 13 und 9 ergibt Bit Zweierkomplement: , Multiplikation gibt es mit oder ohne Vorzeichen (signed oder unsigned)! Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 71

126 Einfache Multiplikation mit Vorzeichen 1. Konvertierung der beiden Operanden in positive Zahlen 2. Speichern der ursprünglichen Vorzeichen 3. Unsigned-Multiplikation der konvertierten Zahlen 4. Berechnung des Resultats-Vorzeichen aus gespeicherten Vorzeichen (negativ gdw. ursprüngliche Operanden hatten komplementäres Vorzeichen) 5. eventuell Negation des Ergebnisses bei negativem Resultats-Vorzeichen Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 72

127 Booth Recoding Erste Beobachtung: PA ist auch signed! Verwende arithmetischen Shift statt logischem Shift (schiebe beim Shift Vorzeichen-Bit nach, statt dem Carry) Addiere B (A i 1 A i ) zu P (mit A 1 = 0): 1. addiere B zu P wenn A i = 0 und A i 1 = 1 2. subtrahiere B von P wenn A i = 1 und A i 1 = 0 3. addiere 0 zu P wenn A i = A i 1 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 73

128 Booth Multiplikation von 6 und 5 P A Schreibe 6 = nach A und 5 = 1011 nach B A 0 = A 1 = 0 ergibt mit Regel 3 Addition von Shiften 1011 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 74

129 Booth Multiplikation von 6 und 5 P A Schreibe 6 = nach A und 5 = 1011 nach B A 0 = A 1 = 0 ergibt mit Regel 3 Addition von Shiften 1011 A 1 = 1, A 0 = 0 ergibt mit Regel 2 Subtraktion von B Zweierkomplement von ist Shiften Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 74

130 Booth Multiplikation von 6 und 5 P A Schreibe 6 = nach A und 5 = 1011 nach B A 0 = A 1 = 0 ergibt mit Regel 3 Addition von Shiften 1011 A 1 = 1, A 0 = 0 ergibt mit Regel 2 Subtraktion von B Zweierkomplement von ist Shiften A 2 = 0, A 1 = 1 ergibt mit Regel 1 Addition von B Shiften (arithmetisch!) 1011 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 74

131 Booth Multiplikation von 6 und 5 P A Schreibe 6 = nach A und 5 = 1011 nach B A 0 = A 1 = 0 ergibt mit Regel 3 Addition von Shiften 1011 A 1 = 1, A 0 = 0 ergibt mit Regel 2 Subtraktion von B Zweierkomplement von ist Shiften A 2 = 0, A 1 = 1 ergibt mit Regel 1 Addition von B Shiften (arithmetisch!) 1011 A 3 = 1, A 2 = 0 ergibt mit Regel 2 Subtraktion von B Zweierkomplement von ist Shiften (arithmetisch!) Resultat ist = 30 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 74

132 Korrektheit Booth Multiplikation Da jedes Mal B (A i 1 A i ) zum partiellen Produkt addiert wird, erhält man die Teleskopsumme n 1 B (A i 1 A i ) 2 i i=0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 75

133 Korrektheit Booth Multiplikation Da jedes Mal B (A i 1 A i ) zum partiellen Produkt addiert wird, erhält man die Teleskopsumme n 1 B (A i 1 A i ) 2 i i=0 B ( A n 1 2 n 1 + A n 2 2 n A A 0 ) + B A 1 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 75

134 Korrektheit Booth Multiplikation Da jedes Mal B (A i 1 A i ) zum partiellen Produkt addiert wird, erhält man die Teleskopsumme n 1 B (A i 1 A i ) 2 i i=0 B ( A n 1 2 n 1 + A n 2 2 n 2 ) + + A A 0 + B A 1 ( ) n 2 B A n 1 2 n 1 + A i 2 i i=0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 75

135 Korrektheit Booth Multiplikation Da jedes Mal B (A i 1 A i ) zum partiellen Produkt addiert wird, erhält man die Teleskopsumme n 1 B (A i 1 A i ) 2 i i=0 B ( A n 1 2 n 1 + A n 2 2 n A A 0 ) + B A 1 ( ) n 2 B A n 1 2 n 1 + A i 2 i Der Klammerausdruck ist genau der Integer-Wert einer n-bit Zahl A im Zweierkomplement! i=0 (z.b. 3 = = = ) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 75

136 Carry-Save Adder (CSA) Problem: viele Zahlen sollen addiert werden Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 76

137 Carry-Save Adder (CSA) Problem: viele Zahlen sollen addiert werden Idee: Carry Propagierung vermeiden CSA für 3 Zahlen: Eingänge a, b, c, und zwei Ausgänge s, t. Der CSA wird auch als 3/2-Addierer bezeichnet. Berechne n-bit Vektoren s und t so dass a + b + c = s + t Das kann mit Tiefe O(1) geschehen! Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 76

138 Kombinatorischer Multiplizierer mit CSA a n 1 b n 1 c n 1 a 2 b 2 c 2 a 1 b 1 c 1 a 0 b 0 c 0 FA FA FA FA 0 t n s n 1 t 3 s 2 t 2 s 1 t 1 s 0 t 0 t i+1 s i = a i + b i + c i und t 0 = 0 Behauptung: a + b + c = s + t Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 77

139 Korrektheit CSA Beweis: a + b + c = n 1 (a i + b i + c i ) 2 i i=0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 78

140 Korrektheit CSA Beweis: a + b + c = = n 1 (a i + b i + c i ) 2 i i=0 n 1 (2t i+1 + s i ) 2 i i=0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 78

141 Korrektheit CSA Beweis: a + b + c = = = n 1 (a i + b i + c i ) 2 i i=0 n 1 (2t i+1 + s i ) 2 i i=0 n 1 n 1 2t i+1 2 i + s i 2 i i=0 i=0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 78

142 Korrektheit CSA Beweis: a + b + c = = = = n 1 (a i + b i + c i ) 2 i i=0 n 1 (2t i+1 + s i ) 2 i i=0 n 1 n 1 2t i+1 2 i + s i 2 i i=0 n i=1 i=0 n 1 t i 2 i + s i 2 i i=0 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 78

143 Korrektheit CSA Beweis: a + b + c = = = = n 1 (a i + b i + c i ) 2 i i=0 n 1 (2t i+1 + s i ) 2 i i=0 n 1 n 1 2t i+1 2 i + s i 2 i i=0 n i=1 i=0 n 1 t i 2 i + s i 2 i i=0 = s + t Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 78

144 Kombinatorischer Multiplizierer mit CSA A 4 B A 3 B A 2 B A 1 B A 0 B 3/2-CSA 3/2-CSA 3/2-CSA Mehrere CSAs um alle partiellen Produkte aufzuaddieren Ein normaler Addierer für das Endergebnis (z.b. CLA) Propagate Adder Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 79

145 Wallace Tree Multiplizierer Offensichtliche Idee: Baum balancieren (Wallace Tree) Aus zwei 3/2-Addierern lässt sich ein 4/2-Addierer bauen: CSA CSA Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 80

146 Wallace Tree Multiplizierer Damit erhält man einen gewöhnlichen Binärbaum: Baum hat Tiefe O(log n) Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 81

147 Optimierung Booth Multiplikation in Hardware Erinnerung: Wir berechnen n 1 B (A i 1 A i ) 2 i i=0 Beispiel für 8 Bits: B ( A 1 A 0 ) B ( A 0 A 1 ) B ( A 1 A 2 ) B ( A 2 A 3 ) B ( A 3 A 4 ) B ( A 4 A 5 ) B ( A 5 A 6 ) B ( A 6 A 7 ) 2 7 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 82

148 Booth Multiplikation in Hardware Idee: Wir fassen jeweils zwei Summanden zusammen: B ( A 1 A 0 ) B ( A 0 A 1 ) B ( A 1 A 2 ) B ( A 2 A 3 ) B ( A 3 A 4 ) B ( A 4 A 5 ) B ( A 5 A 6 ) B ( A 6 A 7 ) 2 7 Dann hätte man die Anzahl der Summanden halbiert. Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 83

149 Booth Multiplikation in Hardware Allgemein: B ( A i 1 A i ) 2 i + B ( A i A i+1 ) 2 i+1 Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 84

150 Booth Multiplikation in Hardware Allgemein: B ( A i 1 A i ) 2 i + B ( A i A i+1 ) 2 i+1 = B ( A i 1 A i + 2(A i A i+1 ) ) 2 i Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 84

151 Booth Multiplikation in Hardware Allgemein: B ( A i 1 A i ) 2 i + B ( A i A i+1 ) 2 i+1 = B ( A i 1 A i + 2(A i A i+1 ) ) 2 i = B ( A i 1 + A i 2A i+1 ) 2 i Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 84

152 Booth Multiplikation in Hardware Wie berechen wir B(A i 1 + A i 2A i+1 )? Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 85

153 Booth Multiplikation in Hardware Wie berechen wir B(A i 1 + A i 2A i+1 )? Tabelle: A i+1 A i A i 1 Summand B B B B B B B B Radix 4 Booth Encoding Wird auch Sign-Magnitude -Darstellung genannt Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 85

154 Booth Multiplikation in Hardware Auswahl aus: 0, B, 2B, B, 2B Wir brauchen: einen Multiplexer zur Auswahl aus 0, B, 2B einen Komplementierer für die untere Hälfte der Tabelle: bitweise invertieren (XOR); die +1 geht in die CSAs als Carry-in In der Praxis ca. 25 % Einsparung bei Kosten und Tiefe Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 86

155 Vergleich Multiplizierer Trivial Sequential Wallace Gatter Breite Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 87

156 Zusammenfassung Multiplizierer Multiplikation braucht Platz (Wallace Tree) oder Zeit (sequentielle Implementierung) Carry-Save-Addierer: keine Carry-Kette! Vorzeichen mit Booth-Recoding behandeln! Booth-Recoding reduziert auch die Anzahl der partiellen Produkte Weitere Operationen wie Division haben ähnliche Trade-Offs Digitaltechnik Kapitel 4: Arithmetik 88