Boolesche (Schalt-) Algebra (1)
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- Hannah Ziegler
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1 Boolesche (Schalt-) Algebra (1) Definition 1: Sei B = SS 2 = 0,1 das Alphabet mit den Elementen 0 und 1. Seien auf BB die folgenden 3 Operatoren definiert für xx, yy B: xx + yy max xx, yy xx yy min xx, yy xx 1 xx Dann ist (B, +,,,0,1) eine Boolesche Schaltalgebra. Die Elemente 0,1 werden neutrale Elemente genannt. Besteht das Alphabet B aus mehr als den neutralen Elementen, so wird die darauf basierende Algebra als Boolesche Algebra bezeichnet.
2 Boolesche (Schalt-) Algebra (2) Satz 1: In dieser Algebra gelten folgende Rechengesetze Kommutativgesetz: Assoziativgesetz: xx + yy = yy + xx xx + yy + zz = xx + yy + zz xx yy = yy xx xx yy zz = xx yy zz Distributivgesetz xx yy + zz = xxxx + xxxx xx + yy zz = xx + yy xx + zz Komplementgesetz: xx + xx = 1 xx xx = 0 Idempotenzgesetz: xx + xx = xx xx xx = xx xx = xx Gesetz vom kleinsten und größten Element: de Morgansche Regeln: xx + 0 = xx und xx + 1 = 1 xx + yy = xx yy xx 0 = 0 und xx 1 = xx xx yy = xx + yy
3 Boolesche (Schalt-) Algebra (3) Definition 2: Seien nn, mm N mit nn, mm 1. Dann heißt eine Funktion ff: B nn B nn eine Schaltfunktion. Definition 3: Eine Schaltfunktion ff: B nn B heißt (n-stellige) Boolesche Funktion. Definition 4: Sei ff: B nn B eine Boolesche Funktion und sei (xx 1, xx 2,, xx nn ) B nn. Dann heißt das Produkt xx 1 xx 2 xx nn der Elemente von (xx 1, xx 2,, xx nn ) ein Minterm von ff. Der Minterm heißt einschlägig, wenn ff(xx 1, xx 2,, xx nn ) = 1.
4 Boolesche (Schalt-) Algebra (4) Satz 2: Jede Boolesche Funktion ist eindeutig darstellbar als Summe ihrer einschlägigen Minterme. Definition 5: Sei ff: B nn B eine Boolesche Funktion und sei (xx 1, xx 2,, xx nn ) B nn. Dann heißt die Summe xx 1 + xx xx nn der Elemente von (xx 1, xx 2,, xx nn ) ein Maxterm von ff. Der Maxterm heißt nullschlägig, wenn ff(xx 1, xx 2,, xx nn ) = 0. Satz 3: Jede Boolesche Funktion ist eindeutig darstellbar als Produkt ihrer nullschlägigen Maxterme.
5 Boolesche (Schalt-) Algebra (5) Definition 6: Die Darstellung einer Booleschen Funktion durch einschlägige Minterme heißt auch disjunktive Normalform (DNF) einer Booleschen Funktion. Definition 7: Enthalten die Minterme einer DNF jeweils alle Eingangsvariablen, so ist es eine kanonisch disjunktive Normalform (KDNF). Definition 8: Die Darstellung einer Booleschen Funktion durch nullschlägige Maxterme heißt auch konjunktive Normalform (KNF) einer Booleschen Funktion. Definition 9: Enthalten die Maxterme einer KNF jeweils alle Eingangsvariablen, so ist es eine kanonisch konjunktive Normalform (KKNF).
6 Boolesche (Schalt-) Algebra (6) Sätze 2 und 3 ermöglichen das Auslesen der DNF bzw. der KNF aus einer Wahrheitstabelle, wie folgendes Beispiel zeigt: cc bb aa yy Minterm Maxterm cc bb aa cc + bb + aa cc + bb + aa cc bb aa cc + bb + aa cc bb aa cc + bb + aa cc bb aa DNF KNF yy = cc bb aa + cc bb aa + cc bb aa + cc bb aa yy = cc + bb + aa cc + bb + aa cc + bb + aa cc + bb + aa
7 Boolesche (Schalt-) Algebra (7) Korollar 1: Jede nn-stellige Boolesche Funktion ist allein darstellbar durch die 2- stelligen Booleschen Funktionen + und sowie die 1-stellige Boolesche Funktion. Anders ausgedrückt: {+,, } ist funktional vollständig. Korollar 2: {+, } und {, } sind funktional vollständig.
8 Boolesche (Schalt-) Algebra (8) Satz 4: xx + xxxx Beweis: xx + xxxx = xx 1 + xxyy xx 1 = xx = xx 1 + yy Distributivgesetz = xx yy = 1 = xx xx 1 = xx Satz 5: xx + xxyy = xx + yy Beweis: xx + xxyy = xx + xx xx + yy Distributivgesetz = 1 xx + yy Komplementgesetz = xx + yy kleinstes Element Satz 6: xxxx + xxzz + yyyy = xxxx + xxzz Beweis: xxxx + xxzz + yyyy = xxxx + xxzz + yyyy xx + xx = xxxx + xxzz + xxxxxx + xxyyyy Distributivgesetz = xxxx 1 + zz + xxzz 1 + yy Distributivgesetz = xxxx 1 + xxzz 1 größtes Element = xxxx + xxzz kleinstes Element xx + xx = 1, Komplementg.
9 Boolesche (Schalt-) Algebra (9) Satz 7: xx + yy xx + zz = xxxx + xxyy Beweis: xx + yy xx + zz = xxxx + xxxx + yyxx + yz Distributivgesetz = xxxx + yyxx + yz Komplementgesetz = xxxx + xxyy Satz 6 Satz 8: xx + yy xx + zz yy + zz = xx + yy xx + zz Beweis: xx + yy xx + zz yy + zz = xxxx + xxyy yy + zz Satz 7 = xxxxxx + xxxxxx + xxyyy + xxyyz Distributivgesetz = xxxxxx + xxxx + xxy + xxyyz Idempotenzgesetz = xxxx yy xxyy 1 + zz Distributivgesetz = xxxx + xxyy gr. und kl. Element = xx + yy xx + zz Satz 7
10 Boolesche (Schalt-) Algebra (10) Beispiel: Entwurf eines 2-bit - Multiplizierers Eingang X Eingang Y X0 X1 Y0 Y1 Zwei-Bit-mal-zwei-Bit- Multiplizierer Z0 Z1 Z2 Z3 4-Bit- Produkt Z
11 Boolesche (Schalt-) Algebra (11) Wahrheitstabelle: xx yy = zz xx 1 xx 0 yy 1 yy 0 zz 3 zz 2 zz 1 zz = = = = = = = = = = = = = = = =
12 Boolesche (Schalt-) Algebra (12) Auslesen der DNF aus der Wahrheitstabelle und Minimierung zz 3 = xx 1 xx 0 yy 1 yy 0 zz 2 = xx 1 xx 0yy 1 yy 0 + xx 1 xx 0yy 1 yy 0 + xx 1 xx 0 yy 1 yy 0 = xx 1 xx 0yy 1 yy 0 + yy 0 + xx 1 xx 0 yy 1 yy 0 Distributivgesetz = xx 1 xx 0yy 1 + xx 1 xx 0 yy 1 yy 0 Komplementgesetz = xx 1 yy 1 xx 0 + xx 0 yy 0 Distributivgesetz = xx 1 yy 1 xx 0 + yy 0 Satz 5 = xx 1 xx 0yy 1 + xx 1 yy 1 yy 0 Distributivgesetz
13 Boolesche (Schalt-) Algebra (13) zz 1 = xx 1xx 0 yy 1 yy 0 + xx 1xx 0 yy 1 yy 0 + xx 1 xx 0yy 1 yy 0 + xx 1 xx 0yy 1 yy 0 + xx 1 xx 0 yy 1 yy 0 + xx 1 xx 0 yy 1 yy 0 = xx 1xx 0 yy 1 yy 0 + yy 0 + xx 1 xx 0yy 0 yy 1 + yy 1 + xx 1 xx 0 yy 1 yy 0 + xx 1 xx 0 yy 1 yy 0 Distributivgesetz = xx 1xx 0 yy 1 + xx 1 xx 0yy 0 + xx 1 xx 0 yy 1 yy 0 + xx 1 xx 0 yy 1 yy 0 Komplementgesetz = xx 0 yy 1 xx 1 + xx 1 yy 0 + xx 1 yy 0 xx 0 + xx 0 yy 1 Distributivgesetz = xx 0 yy 1 xx 1 + yy 0 + xx 1 yy 0 xx 0 + yy 1 Satz 5 = xx 1xx 0 yy 1 + xx 0 yy 1 yy 0 + xx 1 xx 0yy 0 + xx 1 yy 1 yy 0 Distributivgesetz zz 0 = xx 1xx 0 yy 1 yy 0 + xx 1xx 0 yy 1 yy 0 + xx 1 xx 0 yy 1 yy 0 + xx 1 xx 0 yy 1 yy 0 = xx 1xx 0 yy 0 yy 1 + yy 1 + xx 1 xx 0 yy 0 yy 1 + yy 1 Distributivgesetz = xx 1xx 0 yy 0 + xx 1 xx 0 yy 0 Komplementgesetz = xx 0 yy 0 xx 1 + xx 1 Distributivgesetz = xx 0 yy 0 Komplementgesetz
14 Boolesche (Schalt-) Algebra (14) Ergebnis: zz 3 = xx 1 xx 0 yy 1 yy 0 zz 2 = xx 1 xx 0yy 1 + xx 1 yy 1 yy 0 zz 1 = xx 1xx 0 yy 1 + xx 0 yy 1 yy 0 + xx 1 xx 0yy 0 + xx 1 yy 1 yy 0 zz 0 = xx 0 yy 0 Negationen der Eingangsvariablen müssen nur einmal realisiert werden Verknüpfungen der Minterme werden mittels Mehrfach-AND realisiert Disjunktionen der Minterme werden durch Mehrfach-OR realisiert
15 Boolesche (Schalt-) Algebra (15) Schaltnetz: x 1 x 0 y 1 y z z 1 z 2 z 3
16 Boolesche (Schalt-) Algebra (16) Ableitung einer Full-NAND-Struktur: zz 3 = xx 1 xx 0 yy 1 yy 0 = xx 1 xx 0 yy 1 yy 0 Idempotenzgesetz zz 2 = xx 1 xx 0yy 1 + xx 1 yy 1 yy 0 = xx 1 xx 0yy 1 + xx 1 yy 1 yy 0 Idempotenzgesetz = xx 1 xx 0yy 1 xx 1 yy 1 yy 0 De Morgan zz 1 = xx 1xx 0 yy 1 + xx 0 yy 1 yy 0 + xx 1 xx 0yy 0 + xx 1 yy 1 yy 0 = xx 1xx 0 yy 1 + xx 0 yy 1 yy 0 + xx 1 xx 0yy 0 + xx 1 yy 1 yy 0 Idempotenzgesetz = xx 1xx 0 yy 1 xx 0 yy 1 yy 0 xx 1 xx 0yy 0 xx 1 yy 1 yy 0 De Morgan zz 0 = xx 0 yy 0 = xx 0 yy 0 Idempotenzgesetz Realisierung mittels Mehrfach-NAND Einzelne Negationen werden durch NAND mit zusammengeschalteten Eingängen realisiert
17 Boolesche (Schalt-) Algebra (17) Schaltnetz: x 1 x 0 y 1 y 0 z 0 1 z 1 1 z 2 z 3
18 Boolesche (Schalt-) Algebra (18) Wichtig: NAND (NOR) - Operation ist nicht assoziativ! Logikentwurf mit NAND- und NOR-Gattern nicht immer geradlinig, z.b. bei der Realisierung von NAND-Funktionen mit n Variablen durch Standard mm-input-nand-gatter (n > m) Beispiel: a) Realisierung eines 3-input-AND mit 2-input-Gattern b) Realisierung eines 3-input-NAND mit 2-input-Gattern = = Falsch Richtig
19 Boolesche (Schalt-) Algebra (19) Zusammenfassung Schaltfunktionen sind ein logischer Formalismus zur Beschreibung von Schaltnetzen Die Boolesche Algebra dient zur algebraischen Vereinfachung von Schaltfunktionen Schaltnetze mit weniger Gattern und Inputs sind einfacher und kostengünstiger zu implementieren Es ist von ökonomischen Interesse, minimale Schaltnetze zu bestimmen Probleme bei der algebraischen Minimierung: es gibt keine klare, methodische Vorgehensweise (Algorithmus), wie welche Regeln in welcher Reihenfolge angewandt werden sollen es ist nicht immer leicht zu bestimmen, wann ein Boolescher Ausdruck minimal ist mögliche Lösung: Karnaugh-Diagramme Quine/McCluskey - Verfahren (bei mehr als 6 Variablen)
20 Boolesche (Schalt-) Algebra (20) Karnaugh-Plan ist eine graphische Technik zur Darstellung und Vereinfachung von Booleschen Ausdrücken ist eine andere, zweidimensionale Darstellung von Wahrheitstabellen, wobei jede Zelle genau einen Minterm repräsentiert. Karnaugh-Pläne mit den jeweiligen Mintermen: für 2 Variablen: für 3 Variablen: YY AA YY BBBB 0 1 BB 0 BB AA BB AA CC 0 CC BB AA CC BB AA CC BB AA CC BB AA 1 BB AA BB AA 1 CC BB AA CC BB AA CC BB AA CC BB AA
21 Boolesche (Schalt-) Algebra (21) Karnaugh-Plan YY BBBB CC 0 CC BB AA CC BB AA CC BB AA CC BB AA 1 CC BB AA CC BB AA CC BB AA CC BB AA Hauptidee: Horizontal und vertikal benachbarte Zellen entsprechen Mintermen, die nur bzgl. einer Variablen differieren. YY = CC BB AA + CC BB AA + CC BB AA + CC BB AA + CC BB AA + CC BB AA YY = BB AA + CC BB + CC BB YY = BB AA + BB YY BBBB CC Es gilt: Benachbarte Einsen führen zu Vereinfachungen Hinweis: eine bessere Vereinfachung wird hier zwecks Erläuterung des Prinzips nicht vorgenommen
22 Boolesche (Schalt-) Algebra (22) Fragestellung für das Erstellen eines Karnaugh - Planes: Welche Minterme (Felder) werden von einem (vereinfachten) Produktterm überdeckt? Es gelten folgende Regeln: Es werden 1-Blöcke mit 1, 2, 4, 8... Zellen gebildet (2er-Potenzen) Ein Block vereinfacht um so viele Variablen wie der Exponent der 2er- Potenz der Anzahl der überdeckten Zellen, also llll nn Blöcke sollten folglich so groß wie möglich sein Eine Zelle kann zu mehreren Produkttermen gehören Die Variablenbelegung (Spalten- und Zeilenkopf) darf sich jeweils nur um exakt eine Variablenbelegung unterscheiden Karnaugh-Pläne repräsentieren geometrisch einen Torus: oberste Zeile ist auch benachbart zur untersten Zeile Spalte links außen ist benachbart zur Spalte rechts außen die Regeln bezüglich Variablenbelegung gelten auch bezüglich dieser Zeilen / Spalten
23 Boolesche (Schalt-) Algebra (23) Praktische Regeln zur Minimierung mittels Karnaugh-Plan: 1. Aufstellen der Wahrheitstabelle aus den logischen Bedingungen der Aufgabenstellung, sofern nicht bereits vorhanden 2. Zeichnen des Karnaugh-Planes mit entsprechend vielen Zellen ( = Zeilenanzahl der Wahrheitstabelle) und Beschriftung der Zeilen / Spalten mit der Variablenbelegung entsprechend Gray-Code 3. Die Variablen werden im Spalten- / Zeilenkopf links beginnend und in genau der Reihenfolge angegeben, wie sie im Tabellenkopf der Wahrheitstabelle stehen. Die Funktionswerte werden passend in die Zellen eingetragen 4. Bilden von Blöcken mit Zellen-Funktionswert 1 aus 2, 4, 8 oder 16 Zellen, so dass alle Einsen in mindestens einem Block sind. Wichtig ist ferner, Blöcke maximaler Größe und in minimaler Anzahl zu finden, wobei Zellen mehrfach verwendet werden können. Der Rest verbleibt ggf. als 1er-Blöcke. 5. Auslesen der minimierten Terme, indem alle Variablen in einen Produktterm aufgenommen werden, deren Variablenbelegung im jeweiligen Block konstant ist. Eine 0 ergibt eine negierte Variable und eine 1 eine nichtnegierte Variable. Verbinden der Produktterme mittels OR zu einer DNF.
24 Boolesche (Schalt-) Algebra (24) Beispiel 1: xx 3 xx 2 xx 1 ff 1 (xx 3, xx 2, xx 1 ) ff 1 xx 2 xx xx Karnaugh-Plan aus Wahrheitstabelle DNF aus Wahrheitstabelle ff 1 = xx 3 xx 2 xx 1 + xx 3 xx 2 x 1 + xx 3 xx 2 xx 1 +xx 3 xx 2 xx 1 + xx 3 xx 2 xx 1 Minimiert mittels Karnaugh-Plan ff 1 = xx 1 + xx 3 xx 2
25 Boolesche (Schalt-) Algebra (25) Regeln für das Vereinfachen von Booleschen Ausdrücken: Überdeckung aller Einsen mit minimaler Anzahl von Blöcken Wahl von Blöcken maximaler Größe Mehrfache Überdeckung möglich Beispiel 2: ff 2 = xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 + xx 4 xx 3 x 2 x 1 +xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 + xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 +xx 4 x 3 x 2 x 1 + xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 +xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 + xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 ff 2 xx 2 xx xx 4 xx ff 2 = xx 3 xx 1 + xx 4 xx 2 + xx 4 xx 3 xx 1 Karnaugh-Plan mit Block (Minterm) Über alle vier Ecken
26 Boolesche (Schalt-) Algebra (26) Beispiel 3: ff 3 = xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 + xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 + xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 + xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 +xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 + xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 + xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 + xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 +xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 + xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 ff 3 xx 2 xx xx 4 xx ff 3 = xx 3 + xx 4 xx 1 Karnaugh-Plan mit Block aus 8 Einsen
27 Boolesche (Schalt-) Algebra (27) Es gilt: Es kann mehrere minimale Lösungen geben. Beispiel 4: ff 4 = xx 4 xx 4 xx 4 xx 4 + xx 4 xx 3 xx 4 xx 4 +xx 4 xx 3 xx 4 xx 1 + xx 4 xx 3 xx 4 xx 1 +xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 ff 4 = xx 4 xx 2 xx 1 + xx 3 xx 2 xx 1 + xx 4 xx 3 xx 1 ff 4 = xx 4 xx 2 xx 1 + xx 4 xx 3 xx 2 + xx 4 xx 3 xx 1 ff 4 xx 2 xx xx 4 xx ff 4 xx 2 xx xx 4 xx Karnaugh-Pläne mit mehreren gleichwertigen Lösungen
28 Boolesche (Schalt-) Algebra (28) Don t care - Bedingungen d: Treten auf, wenn bei Schaltnetzen gewisse Eingangsbelegungen nicht möglich sind entsprechende Ausgangsbelegungen sind egal (don t care), da sie im Anwendungsszenarium nicht vorkommen Ausgangsbelegung kann 0 oder 1 sein Definition: Ausgangsbelegung dd: = Folglich kann eine implizite Belegung mit 0 oder 1 vorgenommen werden, so dass hierdurch eine einfachere Lösung entsteht Die Möglichkeit, einen Ausgang beliebig zu definieren, kann zur Vereinfachung der Schaltfunktion genutzt werden.
29 Boolesche (Schalt-) Algebra (29) Beispiel: Klimaanlage Inputvariable Bedeutung, wenn 0 Bedeutung, wenn 1 HH (heiß) < 22 CC > 22 C KK (kalt) > 15 C < 15 C FF (feucht) < 75 % > 75 % TT (trocken) > 40 % < 40 % Output Bedeutung, wenn 0 Bedeutung, wenn 1 PP Kaltlufterzeuger aus Kaltlufterzeuger an QQ Warmlufterzeuger aus Warmlufterzeuger an RR Entfeuchter aus Entfeuchter an SS Befeuchter aus Befeuchter an Hinweis: Bei Erhöhung der Temperatur kann die Luft mehr Wasserdampf aufnehmen, was zur Verringerung der relativen Luftfeuchte führt.
30 Boolesche (Schalt-) Algebra (30) HH KK FF TT Bedeutung PP QQ RR SS OK Trocken Feucht Unmöglich dd dd dd dd Kalt Kalt/Trocken Kalt/Feucht Unmöglich dd dd dd dd Heiß Heiß/Trocken Heiß/Feucht Unmöglich dd dd dd dd Unmöglich dd dd dd dd Unmöglich dd dd dd dd Unmöglich dd dd dd dd Unmöglich dd dd dd dd
31 Boolesche (Schalt-) Algebra (31) Karnaugh-Diagramm mit don t care Bedingungen für den Warmlufterzeuger: QQ FFFF HHHH dd dd dd dd dd dd dd 0 Verwendung von don t-care- Bedingungen, soweit sich dadurch größere oder weniger Blöcke ergeben Blöcke werden so gewählt, dass sich eine maximale Überdeckung ergibt dd s können einbezogen werden, wenn vorteilhaft Somit größtmögliche Vereinfachung Ergebnis: QQ = KK
32 Boolesche (Schalt-) Algebra (32) Zusammenfassung: Es wurde gezeigt, wie sich kombinatorische Schaltnetze bzw. Schaltungen mit einem bestimmten, gewünschten Verhalten auf der Basis von Gattern in folgenden Schritten realisieren lassen: Das gewünschte Verhalten wird in Form von Wahrheitstabellen beschrieben. Durch Anwendung von algebraischen oder graphischen Methoden wird daraus eine Schaltfunktion abgeleitet. Der resultierende Schaltung wird durch die Verbindung der den Operatoren entsprechenden Gattern mit den zugehörigen Variablen als Eingängen erzeugt.
33 Boolesche (Schalt-) Algebra (33) Umsetzung logischer Schaltfunktionen Mit fortschreitender Technologie wurde es möglich, die Anzahl der Gatter pro Chip exponentiell zu erhöhen. Je nach erzielter Integrationsdichte unterscheidet man verschiedene Technologien: SSI (< 20 Gatter pro Chip) MSI (> 20 Gatter, komplette Realisierung einer häufig benutzten logischen Funktion wie z.b. Multiplexer) LSI ( Realisierung kompletter Systeme, z.b. Mikroprozessoren auf einem Chip) VLSI (Produktion von Speicherchips von enormer Kapazität, moderne Hochleistungsprozessoren)
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