2.4. Das Karnaugh Veitch Diagramm ( KV Diagramm )

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1 2.4. Das Karnaugh Veitch Diagramm ( KV Diagramm ) Mit dem KV-Diagramm sollen Sie ein Verfahren kennen lernen, mit dem Funktionsgleichungen vereinfacht werden können. Dazu wird jeder Eingangskombination in der Funktionstabelle eine Fläche im Diagramm zugeordnet. Bei einer Funktionstabelle mit den zwei Eingängen A und B weist das Diagramm vier Flächen auf. Anhand eines Beispiels soll dieser Sachverhalt näher betrachtet werden Das KV Diagramm für 3 Eingangsvariablen Nimmt man 3 Eingangsvariable an, so ergeben sich 2 3 mögliche Verknüpf ungen untereinander. Als einfachste Form, eine Boolesche Funktion darzustellen, wurde die Definition durch eine Wertetabelle (auch Wahrheitstafel genannt) eingeführt. y Die aus der Wertetabelle ausgelesene Schaltfunktion ergibt folgende Funktionsgleichung: Stellt man nun diese Schaltfunktion im Stromlaufplan dar, so ergibt sich folgendes Bild: Nach näheren Betrachten der Schaltung kommt man zu der Erkenntnis, dass sich hier sicher etwas vereinfachen lässt. Um die Interpretierbarkeit einer Funktion zu vereinfachen, wurde von M. Karnaugh und E.W. Veitch eine grafische Darstellungsform vorgeschlagen, die es erlaubt, mit Hilfe von Anordnungsmustern und Strukturen unmittelbare Rückschlüsse auf die Schaltfunktion zu ziehen. Die von Karnaugh und Veitch vorgeschlagene Darstellung wird heute als Karnaugh Veitch Diagramm ( kurz KV Diagramm ) bezeichnet.

2 Das KV Diagramm für unsere 3 Eingansvariablen lässt sich in folgender Form darstellen: Die Aufstellung des Diagramms kann beliebig erfolgen, wenn man sich an folgende Regel hält: Von Zeile zu Zeile, bzw. von Spalte zu Spalte darf sich immer nur der Wert einer Variablen verändern. Nach der Aufstellung des KV Diagramms werden nun die Einsen aus der Wertetabelle in das Diagramm übertragen: Im vollständig ausgefüllten Diagramm sind die fünf Einser eingetragen. Es werden nun im KV Diagramm nur die Felder betrachtet, in denen eine Eins steht. Um einen vereinfachten Ausdruck zu erhalten, werden die Einser in waagerechten bzw. senkrechten Blöcken zusammengefasst. Dabei sind die Blöcke so groß als möglich zu wählen. Auswertung des KV Diagramms: Die Auswertung des KV Diagramms erfolgt durch die Anwendung folgender Rechenregeln:. x v x = Variable fällt raus 2. x v x = x bzw. x v x = x Es gibt folgende Blöcke: 2 = er Block keine Variable fällt raus 2 = 2er Block Variable fällt raus 2 2 = 4er Block 2 Variablen fallen raus 2 3 = 8er Block 3 Variablen fallen raus 2 4 = 6er Block 4 Variablen fallen raus 2 5 = 32er Block 5 Variablen fallen raus Für den blauen Block () ergibt sich unter Anwendung oben genannter Regeln folgendes Ergebnis: ( ) = und für den grünen Block (2) bekommen wir folgende Lösung: ( 2 ) = x x 2 2

3 Die vereinfachte Schaltfunktion erhält man durch disjunktive (ODER) Verknüpfung aller ausgelesenen Blöcke. y = v x x 2 Nun kann der vereinfachte Stromlaufplan für die Schaltung gezeichnet werden: x x 2 y An dieser Stelle noch ein wichtiger Hinweis: Beachte: Auch die erste und die letzte Zeile bzw. die erste und die letzte Spalte unterscheiden sich nur im Wert einer Variablen und können somit zur Blockbildung herangezogen werden. Räumliche Anordnnug eines KV Diagramms für drei Argumente a, b, c. Das besprochene Verfahren lässt sich auch zur Vereinfachung von Funktionsgleichungen verwenden, die vier, fünf oder sechs Eingangsgrößen besitzen. 3

4 Das KV Diagramm für 4 Eingangsvariablen Diagramm x 2 x x 2 x Wertetabelle y Folgende Beispiele zum KV Diagramm mit 4 Eingangsvariablen sollen verschiedene Möglichkeiten der Blockbildung aufzeigen: x Block : x 2 x 4 Block 2: x x 2 Block 3: x 4 x x x Block : Block 2 : x 4

5 x x 2 x x 2 x x x 2 x x 2 x x x Block : Block 2: x x Block : Block 2: x x2 x3 x4 x x Das KV Diagramm für 5 Eingangsvariablen Diagramm Wertetebelle x 2 x x2 x x2 x x2 x x 2 x x 5 Symmetrieachse Folgendes Beispiel zum KV Diagramm mit 5 Eingangsvariablen soll eine Möglichkeit der Blockbildung aufzeigen: x x x 5 x 5 y 5

6 Das KV Diagramm für 6 Eingangsvariablen Diagramm x2 x x 2 x x 2 x x 2 x x2 x x2 x x 2 x x 5 Folgendes Beispiel zum KV Diagramm mit 6 Eingangsvariablen soll eine Möglichkeit der Blockbildung aufzeigen: Wertetabelle x 6 x 5 y x 6 Symmetrieachsen x 5 x 6 6

7 Übungen und Beispiele y y 2 y 3 y 4 y Lösungen: y =... y =... y 2 =... y 2 =... y 3 =... y 3 =... y 4 = y 4 =... Block :... Block 2:... Block 3:... Block 4:... y 2 Block :... Block 2:... Block 3:... Block 4:... 7

8 y 3 Block :... Block 2:... Block 3:... Block 4:... y 4 Block :... Block 2:... Block 3:... Block 4:... Kontrollieren Sie ihre Lösungen:. Einsen eintragen 2. Blockbildung 3. Auslesen der Blöcke 4. Endlösung 5. Logik und Stromlaufpläne 8