Digitaltechnik. KV-Diagramm

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Nadine Otto
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1 KV-01 ie unterscheidet sich von der Analogtechnik dahingehend, dass sie nur zwei (Spannungs)Zustände kennt: nämlich 0V (binär 0) oder 5V (binär 1). iese beiden Zustände werden durch verschiedene logische Verknüpfungen miteinander verarbeitet. abei gibt es drei Möglichkeiten dies darzustellen: entweder mit einem Schaltbild, mit einer Wahrheitstabelle oder mit einer Gleichung. Schaltbild: A A 1 A Wahrheitstabelle: UN-Gatter OR-Gatter Inverter 1 A A A Gleichung: A = 1 A = 1 A = ei einem UN-Gatter nimmt der Ausgang A erst dann den logischen Zustand 1 an, wenn beide ingänge ( 1 ) den Zustand 1 haben. ei einem OR-Gatter muss nur einer der ingänge den Zustand 1 annehmen ( 1), dann hat auch der Ausgang den Zustand 1. in Inverter (oder auch Negierung) invertiert das ingangssignal: Aus einer 0 macht er eine 1, aus einer 1 eine 0. Für gewöhnlich werden mehr als nur zwei Variablen (ingänge) miteinander verknüpft. ie Anzahl der möglichen Schaltzustände hängt von der Anzahl der Variablen ab. s gilt: Anzahl der Variablen Anzahl Schaltzustände =. ie asis rührt daher, weil man im binären System nur zwei Zustände kennt (0 oder 1). as bedeutet, dass man bei 4 Variablen 4 = 16 Schaltzustände hat. iese Schaltzustände sind logisch miteinander verknüpft. in eispiel (Prüfung 004/1; Aufgabe 8) soll dies einmal verdeutlichen: Gegeben ist die auf der nächsten Seite abgebildete Wertetabelle. Sie stellt den Zusammenhang zwischen den vier ingangsvariablen (A,, C und ) sowie der Ausgangsvariablen S dar. ntscheidend ist lediglich, wann der Ausgang S den Zustand 1 annimmt. Man muss also für jede Zeile, in der S den Zustand 1 hat, eine Gleichung aufstellen und all diese Gleichungen disjunktiv (OR) miteinander verknüpfen. ie einzelnen ingangsvariablen sind miteinander konjunktiv (UN) verbunden. s muss ein bestimmter Zustand für A UN für UN für C UN für gelten, damit S den Zustand 1 hat. Schreibt man alle Gleichungen für S = 1 disjunktiv verknüpft auf, so kann man diese nach den Gesetzen von de Morgan vereinfachen. Allerdings ist dies ein sehr umständliches und zeitaufwändiges Verfahren, weswegen man hier auf eine grafische Lösung zurückgreift: dem.

2 KV-0 A C S ie Gleichung für die Ausgangsvariable S lautet: S = ( A C ) ( A C ) ( A C ) ( A C ( A C ) Weil alle ingangsvariablen miteinander UN-verknüpft sind, müssen die Nullen bei A und negiert werden, damit S den Zustand 1 annimmt. ei den anderen Zeilen ist es genauso. Für das zieht man alle Zeilen (Gleichungen) heran, also auch jene, bei denen S den Zustand 0 hat. ie vier ingangsvariablen ergeben allerdings 16 Zustände, von denen in dieser Wertetabelle 5 fehlen. iese sind so genannte don t care -Terme; sie sind für die Ausgangsvariable nicht von edeutung, wohl aber für die Vereinfachungen im. ieses sieht wie folgt aus: ie mit dem * gekennzeichneten Felder sind die don t care-terme mit den Gleichungen: A C S * * * * * 0 0 * 0 ie insen und Nullen werden im dort eingetragen, wo sie auch in der Wertetabelle bei der entsprechenden ins oder Null sind. In der ersten Zeile steht eine 0 bei den ingangsvariablen A UN UN C UN. Im entspricht diese Koordinate der rechten unteren cke. ie zweite Zeile entspricht wiederum S = 0. Sie gilt, wenn A UN UN C UN als ingangsvariablen anliegen. ieses Feld liegt oberhalb der Lösung aus der ersten Zeile (rechte untere cke), weil dort die Variable A C und nicht liegt. Alle anderen Felder werden nach derselben Methode gefüllt. 1 0 In der dritten Zeile hat S den Zustand 1. as 0 gilt für die Variablen A UN UN C UN. ieses trägt man also auch in das A C A C ein. A C Feld ( )

3 KV-03 ie Vereinfachung mittels erfolgt über das Zusammenlegen mehrerer nebeneinander liegender insen. as bedeutet, man bildet inser-pakete in Form von 1er-, er-, 4er- oder 8er-Paketen; also nur Pakete zur asis :,, oder. s gibt auch 16er-Pakete, diese tauchen bei 4 Variablen nur (so gut wie) nie auf, denn das würde bedeuten, dass für jede der 16 Schaltzustände eine 1 raus kommt. as besondere beim ist: s ist eine Kugel. Man muss quasi um den Rand herum denken (vgl.: Heering / ressler / Gutekunst: lektronik für Ingenieure; Springer Verlag; 3. Auflage 1998; Kapitel 11 Grundlagen der digitalen Schaltungstechnik) as bedeutet: Alle äußeren Zeilen und Spalten liegen nebeneinander und die Pakete können übergreifend eingesetzt werden. Sie werden markiert und die (vereinfachte) Gleichung dafür aufgeschrieben. Hierbei helfen die don t care-terme: Sie können als eine 1 angesehen werden und mit in die Pakete eingehen. as ist wichtig, denn man muss so große Pakete wie nur möglich bilden, um die beste Vereinfachung zu bekommen. as ganze wird für dieses eispiel einmal durchgeführt: as erste Paket ist die 4er-Kobination in der obersten Zeile. Sie entspricht der logischen Verknüpfung. as zweite Paket ist ebenfalls eine 4er-Kombination in der Mitte: C. amit deckt man die drei insen ab. Als letztes bleibt eine ins an der Koordinate A C übrig. Sie kann nur mit der rechts benachbarten ins in ein Paket eingebracht werden. as bedeutet: ie Pakete dürfen sich untereinander überlappen. Somit lautet das letzte er 0 0 * 0 Paket: A. Man erkennt sofort, dass man eine Variable mehr braucht, um ein er-paket zu erfassen nämlich drei. aher sollte man so große Pakete wie nur möglich bilden, um die Anzahl der Variablen zu reduzieren. Um die eine ins in der obersten Zeile in ein Paket einzubeziehen, gibt es mehrere Varianten. Man könnte auch ein 4er-Paket senkrecht bilden A C (. Variante) oder ein quadratisches 4er-Paket mit den Koordinaten C (3. Variante).

4 KV * * 0. Variante 3. Variante Ganz gleich für welche Variante man sich entscheidet, es ist immer die einfachste logische Gleichung, die hierbei raus kommt. Man hat nur drei vereinfachte Pakete, die sich zwar unterscheiden, aber die Anzahl der Variablen ist die gleiche. aher kann man den Ausdruck für S wie folgt vereinfachen: ( ) ( C ) ( A ) S =. as ganze muss jetzt noch in ein Schaltbild umgezeichnet werden (siehe Schaltbilder auf Seite KV-01). Um dies relativ einfach zu gestalten, bietet es sich an, alle Leitungen der ingangsvariablen als senkrechte Linien darzustellen und die Querverbindungen zur entsprechenden Schaltung an der jeweiligen Variablen anzuknüpfen. A C 1 S ieses Schaltbild erfüllt die oben angegebene Gleichung für S.

5 KV-05 as Umsetzen der Wertetabelle in das ist ein sehr zeitaufwändiges Verfahren. Man muss in jeder Zeile den Zustand (0 oder 1) der Ausgangsvariablen mit dem Zustand der ingangsvariablen in das eintragen. s gibt hierbei einen Weg, welcher genau diesen Zeitaufwand drastisch minimiert. Man muss als erstes die binäre arstellung der ingangsvariablen in eine dezimale Schreibweise umwandeln. azu ein eispiel: In der dezimalen Schreibweise ist man an die asis 10 gebunden. Man kann jede Zahl in ihre estandteile aufschlüsseln und diese ergeben addiert die ursprüngliche Zahl. ie Zahl 375 setzt sich zusammen aus (sprich: drei Tausender plus sieben Hunderter plus fünf Zehner plus zwei iner). In einer anderen Schreibweise sieht das wie folgt aus: = ie asis ist also das dezimale System. In der binären Schreibweise ist die asis Zwei, weil es nur zwei Zustände gibt (0 oder 1). Auch hier ist die niederwertigste Zahl ganz rechts, daher beginnt man auch dort. ie Zahl 1011 in der binären Schreibweise bedeutet: = = 11. Man erweitert die Wertetabelle um die Spalte der ezimalzahlen, welche sich wie folgt ergeben: ezimal A C S Weil es vier Variablen sind, ergeben sich 16 Schaltzustände (0 bis 15). Man erkennt sofort, welche ezimalzahlen fehlen. iese sind die so genannten don t care-terme in diesem Fall, 4, 7, 1 und 14. Was man jetzt noch benötigt, ist die Übersicht der Position der jeweiligen ezimalzahl im. elässt man die äußere eschriftung des iagramms, nämlich die erste Variable in der oberen Zeile, alle anderen entgegengesetzt im Uhrzeigersinn angelegt, kann man sofort den Zustand der Variablen S in das eintragen. ie Übersicht der ezimalzahlen im sieht wie folgt aus: * 0 Man erkennt die don t care-terme an den Positionen, 4, 7, 1 und 14. Weiterhin alle insen an den (ezimal)positionen 3, 6, 9, 11 und 15. ie anderen Felder müssen zwangsläufig alle Nullen in der Wertetabelle sein: also 0, 1, 5, 8, 10 und 13.

6 Aufgabe 1: Ü-KV-01 ntwickle zu den angegebenen Wertetabellen das dazugehörige und entwickle daraus die einfachste logische Verknüpfung für die Ausgangsvariable S. Zeichne das entsprechende Schaltbild auf. a) W X Y Z S b) c) W X Y Z S A C S d) C A S

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