Schaltalgebra. Prof. Metzler

Transkript

1 Schaltalgebra 1

2 Schaltalgebra (oolsche lgebra) George oole, britischer Mathematiker, "The mathematical analysis of logic (lgebra zur systematischen ehandlung von Logik) 1847, leitet Claude Elwood Shannon ( , US, ell Labs) eine 2-wertige oolesche lgebra zur eschreibung binärer Schaltung ab (Schaltalgebra, Switching Theory) Sinn: nalyse, Vereinfachung und Synthese von digitalen Schaltungen nach definierten Gesetzen George oole egriffe: xiom: Ursatz, der nicht bewiesen (abgeleitet) werden kann Postulat: Forderung; unbeweisbare, aber unentbehrliche nnahme Theorem: Lehrsatz 2

3 Schaltalgebra (oolsche lgebra) Wie in der normalen lgebra existieren auch in der Schaltalgebra Variable und Konstante. Definition: Die Schaltalgebra kennt nur zwei Konstante: 0 und 1. Sie entsprechen den logischen Zuständen, die eine beliebige Variable annehmen kann. Definition: Konstanten der Schaltalgebra sind Größen, die die Werte oder Zustände 0 oder 1 annehmen können. Veranschaulichung der Variablen und ihre möglichen Werte 0 und 1 Veranschaulichung der Konstanten 0 und 1 3

4 Postulat der UND-Verknüpfung Postulat der ODER-Verknüpfung 4

5 Postulat der NICHT-Verknüpfung 5

6 Unter Heranziehung der ooleschen Postulate (nnahmen, Voraussetzungen) können jetzt die ooleschen Theoreme (Lehrsätze) aufgestellt werden. Die Rechenregeln für die Verknüpfung einer Variablen mit einer Konstanten oder einer Variablen mit sich selbst bzw. ihrer Negation werden Theoreme genannt. Die Richtigkeit dieser Lehrsätze kann jederzeit mit Hilfe der Postulate überprüft werden (z.. unter Verwendung von Wahrheitstafeln). 6

7 Theorem der UND-Verknüpfung 7

8 Theorem der ODER-Verknüpfung 8

9 Theorem der NICHT-Verknüpfung Zwei Negationsstriche heben sich gegenseitig auf 9

10 Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) Definition: Die Reihenfolge, in der Variable der UND-Verknüpfung unterzogen werden, ist beliebig (10). Sie hat keinen Einfluß auf das Ergebnis. Definition: Die Reihenfolge, in der Variable der ODER-Verknüpfung unterzogen werden, ist beliebig (11). Sie hat keinen Einfluß auf das Ergebnis. 10

11 Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) Kommutativgesetz der UND-Verknüpfung Kommutativgesetz der ODER-Verknüpfung 11

12 ssoziativgesetz (Verbindungs- oder Zuordnungsgesetz) Definition: Die Reihenfolge der Zuordnung der Variablen bei der UND- Verknüpfung ist beliebig (12). Sie hat keinen Einfluß auf das Ergebnis. 12

13 ssoziativgesetz (Verbindungs- oder Zuordnungsgesetz) Definition: Die Reihenfolge der Zuordnung der Variablen bei der ODER- Verknüpfung ist beliebig (13). Sie hat keinen Einfluß auf das Ergebnis. 13

14 Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) Das Distributiv- oder Verteilungsgesetz hat eine große praktische edeutung bei der Umformung und Vereinfachung schaltalgebraischer Gleichungen. Es entspricht der Regel über das usmultiplizieren und usklammern eines Faktors in der normalen lgebra. ezogen auf die beiden logischen Grundverknüpfungen unterscheidet man das konjunktive und das disjunktive Distributivgesetz konjunktives Distributivgesetz disjunktives Distributivgesetz 14

15 De Morgansche Gesetze Mit ihnen können gegebene Digitalschaltungen so umgerechnet werden, dass man nur mit NND- oder NOR-Gattern auskommt. Dies ermöglicht den Einsatz gleichartiger auteile und damit kostengünstigere, einfachere Schaltungen. ugustus De Morgan *1806 in Indien 1871 in England Dualität: Jedes Gesetz der Schaltalgebra bleibt gültig, wenn 0 und 1 sowie und vertauscht werden Erstes De Morgansches Gesetz: Z = = 16 Zweites De Morgansches Gesetz: Z = = 17 15

16 De Morgansche Gesetze Erstes De Morgansches Gesetz: Z = = 16

17 De Morgansche Gesetze Zweites De Morgansches Gesetz: Z = = 17

18 De Morgansche Gesetze Folgende Gleichung ist zu vereinfachen: P = R S R S Tip: Z = = Gleichung: 6, 7, 8 18

19 indungsregel Die Verknüpfung mehrerer Variablen durch UND und ODER kann zu Mehrdeutigkeiten führen. Die Gleichung Z = C kann auf zwei verschiedene Weisen aufgefasst werden. Variante 1: Z = ( ) C Variante 2: Z = ( C) Definition: Gemäß der Priorität Punktrechnung geht vor Strichrechnung aus der normalen lgebra bindet in der Schaltalgebra eine UND- Verknüpfung stets stärker als eine ODER-Verknüpfung. 19

20 NND- und NOR-Funktion Die Schaltalgebra ist auf drei Grundfunktionen aufgebaut (UND, ODER und NICHT). Mit diesen Funktionen können beliebige Verknüpfungsschaltungen hergestellt werden. Das 1. Morgansche Gesetz zeigt, dass jede UND-Verknüpfung mit einer ODER-Verknüpfung und mehreren NICHT-Funktionen gebildet werden kann. 20

21 NND- und NOR-Funktion = 1. Morgansche Gesetz = = 21

22 NND- und NOR-Funktion Definition: Jede gewünschte Verknüpfungsschaltung lässt sich nur mit NOR-Gattern aufbauen. 22

23 NND- und NOR-Funktion = 2. Morgansche Gesetz = = 23

24 NND- und NOR-Funktion Definition: Jede gewünschte Verknüpfungsschaltung lässt sich nur mit NND-Gattern aufbauen. 24

25 ufgaben Folgende Gleichungen sind zu vereinfachen: a) Z = C b) Y = C C c) X = ( C) ( C) 25

26 26 ufgaben ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( S R P N M C X D C Y C Q R S Z = = = a) b) c) Rechnen Sie die Gleichungen so um, dass die Schaltung a) nur mit NND-Gliedern, b) nur mit NOR-Gliedern aufgebaut werden kann.