Lösungsvorschlag zu 1. Übung

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1 Prof. Frederik Armknecht Sascha Müller Daniel Mäurer Grundlagen der Informatik 3 Wintersemester 09/10 Lösungsvorschlag zu 1. Übung 1 Präsenzübungen 1.1 Schnelltest a) Welche der Aussagen treffen auf jeden Rechner in von Neumann-Architektur zu? Es existiert ein getrennter Befehls- und Datenspeicher. Er besitzt ein Rechenwerk. Alle Befehle haben die gleiche Länge. Er besitzt eine Komponente zur Kommunikation über Netzwerke. b) Welches sind Bestandteile eines klassischen Betriebssystems? BIOS (Basic Input Output System) Speicherverwaltung Speichercontroller Prozessverwaltung Graphische Benutzeroberfläche c) Was sind die typischen Merkmale von Programmierung in Assembler-Sprachen? Geringes Abstraktionsniveau Gute Wartbarkeit Hohe Effizienz I. A. leichte Portabilität Typsicherheit d) Welche Aussagen zu Compiler, Assembler, Linker und Lader sind zutreffend? Der Präprozessor übersetzt den Programmcode in eine andere Sprache. Unter einem Compiler versteht man allgemein ein Programm, dass aus dem Code einer höheren Programmiersprache äquivalenten Programmcode einer niederen Sprache erzeugt. Der Assembler erzeugt als Ausgabe nicht immer Maschinencode. Der Linker verbindet mehrere Objekt-Programme zu einem ausführbaren Programm. Der Lader wird jedes mal ausgeführt, wenn das Programm ausgeführt wird. 1.2 Gatter Mithilfe der Gatter AND ( ), OR (+) und dem Inverter können alle logischen Schaltungen implementiert werden. Man nutzt gerade diese drei Gatter, da ihre Bedeutung intuitiv ist und man logische Ausdrücke leicht damit formulieren kann. Wir betrachten nun ein anderes, 1

2 ausdrucksstärkeres Gatter, das NAND, das in der Notationsweise aus der Vorlesung folgendermaßen dargestellt wird: wobei gilt out = A B. a) Erstellen Sie eine Wertetabelle für NAND. A B A B A B b) Betrachten Sie die folgende Schaltung, die ausschließlich aus NAND-Gattern besteht: Welche Funktion wird durch diese Schaltung implementiert? Verwenden Sie zur Vereinfachung die De Morganschen Gesetze: x + y = x y x y = x + y (A (B B)) ((A A) B) =(A B) (A B) (wegen x x = x) =(A + B) (A + B) =(A B) + (A B) =A B (De Morgan) (De Morgan) Es handelt sich um eine XOR-Schaltung. c) Zeigen Sie, dass sich alle logischen Schaltungen mithilfe von ausschließlich NAND-Gattern implementieren lassen, man also prinzipiell nur einen einzigen Gattertyp benötigt. 2

3 Es gilt A = A A A B = A B = (A B) (A B) A + B = A B = (A A) (B B) Wenn sich aber AND, OR und die Invertierung mit NAND implementieren lassen, kann man damit alle Schaltungen realisieren. 1.3 Zahlendarstellung a) Gegeben sind die Zahlen 4638 und Stellen Sie diese Zahlen als 16-Bit breite Vorzeichen-Betragsdarstellung sowohl binär als auch hexadezimal dar = = 121E = = 802A Stellen Sie diese Zahlen als 16-Bit 2er-Komplement dar = = 121E = = FFD6 16 b) Für welche Basis b gilt 121 b = ? Zu lösen ist (wie gewohnt in Basis 10 geschrieben) Daraus folgt direkt b = 9. 1 b b b 0 = 100. c) Betrachten Sie die beiden 3-Bit-Zahlen a = und b = Berechnen Sie mit einem möglichst einfachen Verfahren a + b, a b und a b, ohne die Zahlen vorher in die Dezimaldarstellung umzuwandeln. Interpretieren Sie a und b nun als vorzeichenbehaftete 3-Bit Ganzzahlen in Zweierkomplementdarstellung. Können Sie die Ergebnisse, die Sie erhalten haben, irgendwie nutzen? Wenn wir a und b als vorzeichenbehaftet betrachten, gilt a = 1 und b = 3, und außerdem a + b = 1 + ( 3) = 4 = 100 2, a b = 1 ( 3) = 2 = und a b = 1 ( 3) = 3 = Die hinteren drei Bits der Ergebnisse sind jeweils korrekt. d) Um auch rationale Zahlen binär darstellen zu können, kann man die Formel von Kapitel 1, Folie 17 wie folgt verallgemeinern: b n 1 b n 2... b 1 b 0, c 1 c 2... c m 1 c m = 3 n 1 i=0 b i 2 i + m i=1 c i 2 i

4 Die i. binäre Nachkommastelle wird also mit 2 i multipliziert. 1. Stellen Sie die Binärzahl 1100, dezimal dar = Approximieren Sie π 3, binär auf 4 Nachkommastellen genau. π 11, Wichtig ist hier aber in erster Linie der Rechenweg: Entweder man berechnet π , , 1 2 und verschiebt dann das Komma um 5 Stellen nach links, oder man entwickelt die Nachkommastellen von π durch Probieren in der Form π Gleitkommazahlen Gegeben sei ein Rechner, der mit 8-Bit Gleitkommazahlen arbeitet. Diese 8 Bit teilen sich auf in 1 Bit für das Vorzeichen, 3 Bit für den Exponenten und 4 Bit für die Mantisse: V E E E M M M M r = 1 V (1 + M) 2 E Bias a) Wie groß ist der Bias, der für die Darstellung des Exponenten verwendet wird? Allgemein ergibt sich der Bias für einen n-bit Exponenten als 2 n 1 1. Da in diesem Beispiel 3 Bit für den Exponenten zur Verfügung stehen, beträgt der Bias also = 3. b) Wandeln Sie die Zahl 6, 25 in die beschriebene Darstellung um. 6, = 110, 01 2 = 1, Somit besteht die Mantisse aus 1001 und der Exponent mit Bias aus = 5 10 = 101 2, das Vorzeichen ist 0. Insgesamt lautet die 8-Bit Gleitkommazahl c) Wandeln Sie die Zahl 0, in die beschriebene Darstellung um. 0, = 1, = 1, Für die Mantisse ergibt sich wie zuvor 1001, aber der Exponent mit Bias beträgt = 2 10 = 010 2, das Vorzeichen ist 1, da negativ. Damit ergibt sich die Lösung als d) Geben Sie ein Verfahren in Pseudocode an, mit dem zwei Zahlen, die in dieser Darstellung vorliegen, miteinander multipliziert werden können. Als Eingabe erhalten Sie zwei Darstellungen von Gleitpunktzahlen als Tupel V 1, M 1, E 1 bzw. V 2, M 2, E 2. Wie berechnet man das Ausgabetupel V 3, M 3, E 3? Sonderfälle (wie 0, NaN oder ) müssen Sie hier nicht betrachten. function multiply ( V 1, M 1, E 1 >, V 2, M 2, E 2 ): V 3 := return V 3, M 3, E 3 4

5 function multiply ( V 1, M 1, E 1, V 2, M 2, E 2 ): V 3 := V 1 V 2 E 3 := E 1 + E 2 3 M 3 := (1 + M 1 ) (1 + M 2 ) // davon die ersten 5 Stellen while M M 3 := M 3 /2 E 3 := E end while M 3 := M return V 3, M 3, E 3 e) Multiplizieren Sie mit diesem Verfahren die beiden Repräsentation von 6, 25 und 0, Geben Sie das Ergebnis in Gleitkommadarstellung an und wandeln Sie es in die Dezimalzahldarstellung um. Es ergibt sich V 3 = 1. Das Produkt aus M und M ist 10, , wovon nur die ersten fünf Stellen betrachtet werden (4 Bits Mantissenbreite + implizite 1). Nach Multiplikation mit 2 und entfernen der impliziten 1 ergibt sich M 3 = 0, und E 3 = 5, als Gleitkommazahl Als Dezimalzahl ist dies nach der Formel 1 V (1 + M) 2 E Bias = 1 1 1, = 4, Hausübungen 2.1 Negation von Integern In der Zweierkomplementdarstellung wird eine Zahl negiert, indem man sie invertiert und 1 addiert, also x := x + 1. Zeigen Sie, dass dann auch gilt x = x 1. 4 Punkte Setze y := x 1. Es gilt x = (y + 1) = y 1 de f = (y + 1) 1 = y = y = x Schnelle Integer-Multiplikation Wie Sie in Aufgabe 1.3 c gesehen haben, hat die Multiplikation von Binärzahlen quadratische Komplexität in der Anzahl der Bit-Operationen. Durch Ausnutzung der Bit-Darstellung kann man dies jedoch für gewisse Multiplikatoren stark beschleunigen. Wir nutzen hierzu aus, dass man an Bitwerte eine 0 anhängen kann, um sie mit 2 zu multiplizieren. Der Syntax der Programmiersprache C folgend schreiben wir a << b, wenn wir an einen Wert a eine Anzahl von b Nullen anhängen (und damit a 2 b berechnen). Damit lässt sich zum Beispiel das Ergebnis von 65x effizient mit einem solchen Bit-Shift und einer Addition erreichen, da 65 = und daher 65x = (x << 6) + x. Optimieren Sie die folgenden Operationen auf diese Weise und geben Sie jeweils die Anzahl der Bit-Operationen an. Sie können außerdem die Formeln aus der Aufgabenstellung von Aufgabe 2.1 verwenden. a) 5x = 1 Punkt 5x = (x << 2) + x zwei Operationen 5

6 b) 162x = 162x = (x << 7) + (x << 5) + (x << 1) fünf Operationen 1 Punkt c) 1024x = 1 Punkt 2x = x << bzw. 2x = (x << 10) 1 drei Operationen. 2.3 Gleitpunktzahlen Gegeben ist eine Gleitpunktzahl G im einfach genauen IEEE-754 Standard in Hexadezimaldarstellung G = C Leiten Sie den dezimalen Wert von G her. Der Lösungsweg muss klar erkennbar sein! 3 Punkte Die Zahl in Binärschreibweise: G = Das erste Bit ist gesetzt, daher handelt es sich um eine negative Zahl (S = 1). Es gilt E = = 129 und M = 0, = 0. Daher gilt: G = ( 1) S (1 + M) 2 (127 E) = ( 1) 1, = 4, 0 6