, 2017S Übungstermin: Di.,

Transkript

1 VU Technische Grundlagen der Informatik Übung 1: Zahlendarstellungen, Numerik , 2017S Übungstermin: Di., Allgemeine Hinweise: Versuchen Sie beim Lösen der Beispiele keine elektronischen Hilfsmittel zu verwenden beim Test werden Sie diese nicht zur Verfügung haben. Damit ein Beispiel anerkannt wird, muss ein Lösungsweg erkennbar sein und es müssen alle enthaltenen Teilaufgaben gelöst sein. Ein korrektes Endergebnis ist nicht zwingend erforderlich! Deadline für das Ankreuzen und Hochladen der Lösungen in TUWEL: Montag, , 13:00 Uhr (Toleranzzeit ohne Gewähr, verspätete Abgaben per werden ausnahmslos nicht akzeptiert!) Aufgabe 1: Zahlenumwandlungen Gegeben sind die folgenden Dezimalzahlen: A = ( ) 10 B = ( 12.1) 10 Wandeln Sie die Zahlen A und B direkt in die nachfolgend angegebenen Zahlensysteme um. Geben Sie das Ergebnis auf n Nachkommastellen genau an. Runden Sie Ihr Ergebnis durch round to nearest (optimale Rundung) auf n Nachkommastellen. Falls es zwei nächstliegende Zahlen gibt, verwenden Sie aufrunden (gerichtetes Runden). Geben Sie Ihre Berechnungen sowie die verwendete Rundungsmethode an! a) Binärsystem, n = 4 A = ( ) 10 = (30) 10 + ( ) mod 2 = = A = (11110) 15 mod 2 = = ( ) 2 7 mod 2 = = = ( ) 2 3 mod 2 = = (Gerichtetes Runden 1 mod 2 = = auf 4 NKS) b) Hexadezimalsystem, n = 2 30 mod 16 = (14) 10 = (E) 16 1 mod 16 = = = 8 c) Quarternäres Zahlensystem (Basis b = 4), n = mod 4 = 2 7 mod 4 = 3 1 mod 4 = = = = 2 A = (1E) 16 + (0.08) 16 = (1E.08) 16 (Genauer Betrag) A = (132) 4 + (0.002) 4 = (132.01) 4 (Gerichtetes Runden auf 2 NKS) Aufgabe 2: Zahlenumwandlungen Führen Sie die folgenden Umwandlungen ohne Umweg über das Dezimalsystem durch. a) Wandeln Sie die Binärzahl ( ) 2 in eine Hexadezimalzahl um! ( ) 2 = ( 5 6. D 4 ) 16 = (56.D4) 16 b) Wandeln Sie die quarternäre Zahl (122.13) 4 in eine Binärzahl um! ( ) 4 = ( ) 2 = ( ) 2 B = (-12.1) 10 = (-12) 10 + (0.1) mod 2 = 0 6 mod 2 = 0 3 mod 2 = 1 1 mod 2 = 1 c) Wandeln Sie die ternäre Zahl ( ) 3 in eine Zahl zur Basis b=9 um! ( ) 3 = ( ) 9 = (37.23) = = = = = mod 16 = (12) 10 = (C) = = mod 4 = 0 3 mod 4 = = = = B = (-1100) 2 + ( ) 2 = ( ) 2 (Optimale Rundung auf 4 NKS) B = (-C) 16 + ( ) 16 = (-C.1A) (Optimale Rundung auf 2 NKS) B = (-30) 4 + (0.012) 4 = (-30.02) 4 (Optimale Rundung auf 2 NKS)

2 Aufgabe 3: Rechnen im Binärsystem Es sind die folgenden Binärzahlen gegeben: A = ( ) 2 B = ( ) 2 C = (10.1) 2 D = ( 100.1) 2 Führen Sie mit diesen Zahlen die folgenden arithmetischen Operationen binär(!) durch. Berechnen Sie die Ergebnisse exakt und geben Sie Ihren Rechenweg an! a) Addition: A + B A + B = ( ) 2 b) Subtraktion: A B c) Multiplikation: A D (-100.1) = A - B = (110.11) A * D = ( ) 2 d) Division: B/C / 10.1 = / 101 = 111, B / C = (111, ) 2

3 Aufgabe 4: Zahlendarstellungen Es sind folgende Zahlen gegeben: A = ( 75) 8 B = (8A) 16 C = (0) 2 Geben Sie die Zahlen A, B und C als 11 Bit lange Maschinenwörter in den nachfolgenden Zahlendarstellungen jeweils in binärer und in hexadezimaler Notation an. Falls es in einer Zahlendarstellung für dieselbe Zahl unterschiedliche Darstellungen gibt, geben Sie alle an! Beispiel für Notationen: binäre Notation: ( ) 2 hexadezimale Notation: (1E7) 16 a) Vorzeichen und Betrag A = (-75) 8 = ( ) 2 -> : ( ) 2 : (43D) 16 B = (8A) 16 = ( ) 2 -> : ( ) 2 : (08A) 16 C = (0) 2 -> : ( ) 2 oder ( ) 2 : (000) 16 oder (400) 16 b) Einerkomplementdarstellung Die negativen Zahlen wurden ausgehend von a) - ausgenommen 11. Bit (=Vorzeichen) - komplementiert, die anderen Zahlen sind gleich geblieben. A : B : C: c) Zweierkomplementdarstellung A : B : C : d) Exzessdarstellung (Exzess = 2 9 1) : ( ) 2 : (7C2) 16 : ( ) 2 : (08A) 16 : ( ) 2 oder ( ) 2 : (000) 16 oder (7FF) 16 Den negativen Zahlen wurde ausgehend von b) 1 addiert, die anderen Zahlen sind gleich geblieben, die negative Zahl 0 ist weggefallen. : ( ) 2 : (7C3) 16 : ( ) 2 : (08A) 16 : ( ) 2 : (000) 16 Exzess = ( ) 2 A e = ( ) 2 - (111101) 2 = ( ) 2 : ( ) 2 : (1C2) 16 B e = ( ) 2 + ( ) 2 = ( ) 2 : ( ) 2 : (289) 16 C e = (0) 2 + ( ) 2 = ( ) 2 : ( ) 2 : (1FF) 16

4 Aufgabe 5: Rechnen in unterschiedlichen Zahlendarstellungen Folgende Bitmuster sind gegeben: Z 1 = ( ) 2 und Z 2 = ( ) 2. Interpretieren Sie Z 1 und Z 2 als Binärzahlen, die beide jeweils in einer der nachfolgend angegebenen Darstellungen a) bis c) codiert sind. Führen Sie damit die Berechnung (Z 1 + Z 2 ) (Addition von Z 1 und Z 2 und anschließende arithmetische Negation des Ergebnisses) mit einer Maschinenwortlänge von 8 Bit binär(!) durch und geben Sie Zwischenschritte an. Geben Sie das Ergebnis der Berechnung auch als decodierte Dezimalzahl an! a) Darstellung durch Vorzeichen und Betrag Z 2 = ( ) 2 = (45) 10 Z 1 = - ( ) 2 = (-30) 10 Z 1 + Z 2 = ( ) 2 = (15) 10 Bitmuster mit Vorzeichen: ( ) 2 Negation : ( ) 2 =(-15) 10 b) Zweierkomplementdarstellung Z 1 = ( ) 2 = (-98) 10 [Z 1 - (1) 2 = ( ) 2 ; ( ) 2 = (98) 10 ] Z 2 = ( ) 2 = (45) 10 Z 1 + Z 2 = ( ) 2 = (-53) 10 Negation : ( ) 2 = (53) 10 [ - (1) 2 = ( ) 2 und danach Umkehrung.] c) Exzessdarstellung mit Exzess = ( ) 2 Z 1 = ( ) 2 = (27) 10 [( ) 2 - ( ) 2 = ( ) 2 ] Z 2 = ( ) 2 = (-86) 10 - [( ) 2 - ( ) 2 = ( ) 2 ] Z 1 + Z 2 = ( ) 2 - Exzess : - ( ) 2 Summe : ( ) 2 Negation : Exzess - Summe = ( ) 2 - ( ) 2 = ( ) 2 = (59) 10 Exzessdarstellung des Ergebnisses: ( ) 2 + ( ) 2 = ( ) 2 Aufgabe 6: Genauigkeit von Zahlenumwandlungen Wandeln Sie die Zahl (4.0625) 10 in eine Binärzahl mit 2 Nachkommastellen um alle weiteren Nachkommastellen werden abgeschnitten (truncate, Rundung durch Abschneiden). a) Berechnen Sie den absoluten und den relativen Rundungsfehler, der bei der Umrechnung ins Binärsystem entstanden ist (siehe Informatik, Grundlagen, 5. Auflage, Kapitel 8.6.2). (4.0625) 10 = ( ) 2 Truncate auf 2 NKS ergibt (100.00) = = = = Absoluter Rundungsfehler : (100.00) 2 - ( ) 2 = (0.0001) 2 = (0.0625) 10 Relativer Rundungsfehler = Absoluter Rundungsfehler / ( ) 2 = ( ) 2 => divergiert gegen ( ) 2 = ( ) 10 b) Durch die Rundung werden alle reellen Zahlen aus einem Intervall [a, b[ R auf dieselbe Binärzahl abgebildet. Geben Sie die dezimalen Werte a, b für das Intervall an, in dem (4.0625) 10 liegt! x 1 = (100.00) 2 = (4) 10 x 2 = (100.01) 2 = (4.25) 10 Alle Werte zwischen x 1 und x 2 werden durch Abschneiden auf (100.00) 2 = (4) 10 gerundet. Daher ist das betreffende Intervall [4, 4.25[.

5 Aufgabe 7: IEEE 754 Gleitpunktzahlen Stellen Sie die nachfolgenden Zahlen A und B im Single Precision-Format (mit implizitem ersten Bit) des IEEE 754 Gleitpunkt-Zahlensystems dar (vgl. Informatik Grundlagen, 5. Auflage, Kapitel 8.5)! A = ( ) 4 B = ( 0.088) 16 ( ) 4 = ( ) 2 = ( ) (7) 10 = (111) 2 [+ Exzess] (111) 2 + ( ) 2 = ( ) 2 Mantisse : Exponent : ( ) 16 = ( ) 2 = ( ). 2-5 (-5) 10 = (-101) 2 [+ Exzess] ( ) 2 - (101) 2 = ( ) 2 Mantisse : 0001 Exponent : A : B: Aufgabe 8: Codierung von Gleitpunktzahlen Gegeben ist ein Gleitpunkt-Zahlensystem F (2, 6, 2, 3, true), die Codierung erfolgt analog zum IEEE 754 Single Precision-Format. Hinweis: Durch diese Vorgabe folgt unter anderem, dass obiges Format eine implizite Darstellung des ersten Bits verwendet und somit eine Wortlänge von 9 Bit (1 Bit Vorzeichen, 3 Bit Exponent und 5 Bit Mantisse) besitzt. Weiters ergibt sich (3) 10 = (11) 2 für den Exzess des Exponenten. In diesem Gleitpunkt-Zahlensystem sind die nachfolgenden Codewörter gegeben. Geben Sie zu jedem Codewort die entsprechende Dezimalzahl oder die symbolische Bedeutung (z.b.: +, NaN,...) an! a) => Vorzeichen - Der Exponent ist (111) 2 - (11) 2 = (100) 2 = (4) 10 = e max + 1 Wegen der Mantisse und des Exponenten e max + 1 entspricht diese Codierung -. b) => Vorzeichen - Der Exponent ist (000) 2 - (11) 2 = (-11) 2 = (-3) 10 = e min - 1. Die Zahl ist eine denormalisierte Gleitpunktzahl mit implizitem ersten Bit 0, der Exponent ist e min. Der Wert ist = (-0.001) 2 = (-0.125) 10. c) => Vorzeichen + Der Exponent ist wie in a) (100) 2 = (4) 10 = e max + 1. Da die Mantisse > 0 ist entspricht diese Codierung NaN. d) => Vorzeichen + Der Exponent ist wie in b) (-11) 2 = (-3) 10 = e min - 1. Da die Mantisse aus Nullen besteht, ist der Betrag des Ausdruckes 0. e) => Vorzeichen + Der Exponent ist (11) 2 - (11) 2 = (0) 2. Wegen der Mantisse 011 ist die Zahl (1.011) 2 = (1.375) 10.