Numerisches Programmieren

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1 Informatics V - Scientific Computing Numerisches Programmieren Tutorübung 1 Jürgen Bräckle, Christoph Riesinger 2. Mai 2013 Tutorübung 1, 2. Mai

2 Einführung in die Binärzahlen Zahlendarstellung im Rechner Rundungsfehler und ihre Folgen Tutorübung 1, 2. Mai

3 Einführung in die Binärzahlen Zahlendarstellung im Rechner Rundungsfehler und ihre Folgen Tutorübung 1, 2. Mai

4 Zahlendarstellung zur Basis B gewöhnlich mit B {2, 3, 10, 16} ganze Zahl x: x = mit Nachkommastellen: x = mit r i {0,..., B 1} N r i B i i=0 N r i B i i= Tutorübung 1, 2. Mai

5 Umrechnung von ganzen Zahlen Umrechung der Zahl 26 ins Binärsystem Wert des Bits Binärzahl Rest 26 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = 0 1 Tutorübung 1, 2. Mai

6 Umrechnung von Brüchen am Beispiel 13 4 = : 11 3 ins Trinärsystem. Schriftliches Dividieren 111 : 11 = 10, Tutorübung 1, 2. Mai

7 Umrechnung von Brüchen am Beispiel 13 4 = = ins Trinärsystem. Alternativer Weg , = 10, 02 Man gibt immer den ganzzahligen Anteil an Dieser Anteil wird in jeder neuen Zeile abgezogen Jede neue Zeile wird mit der Basis (hier 3) multipliziert Bsp: ( 9 4 2) 3 = 3 4 Tutorübung 1, 2. Mai

8 Einführung in die Binärzahlen Zahlendarstellung im Rechner Rundungsfehler und ihre Folgen Tutorübung 1, 2. Mai

9 2-Komplement für ganze Zahlen Darstellung von negativen Zahlen bei fester Bit-Anzahl n Stelle des Bits n Wert des Bits 2 n 1 2 n 2 2 n Beispiel: Darstellung der 5 mit n = 4 5 binär 0101 Invertiere 1010 Addiere Tutorübung 1, 2. Mai

10 Gleitkomma-Zahlen: 32-Bit IEEE-Standard Ausgangspunkt: Festkommazahlen erlauben nur wenige darstellbare Zahlen Einführung einer normierten Exponentialdarstellung (Beispiel: ) 32-Bit IEEE-Standard: 1 Bit 8 Bits 23 Bits Vorzeichen 1 = - Exponent (Exp + 127) Nachkommastellen der Mantisse Tutorübung 1, 2. Mai

11 Gleitkomma-Zahlen: Korrektes Runden Rundung der Zahl x = 1, x 1 x 2... x t 1 x t x t+1... Vergleich der Zahl nach der Rundungsstelle x t x t+1... mit der Wertigkeit der letzten verfügbaren Stelle B (t 1) : x t x t+1... > 1 2 B (t 1) Aufrunden ( ) x t x t+1... < 1 2 B (t 1) Abrunden ( ) x t x t+1... = 1 2 B (t 1) Uneindeutiger Fall (1.2 5) Tutorübung 1, 2. Mai

12 Gleitkomma-Zahlen: Korrektes Runden Analoges Vorgehen im IEEE-Standard: x = 1, Aufrunden (1.1) x = 1, Abrunden (1.0) Uneindeutiger Fall x t x t+1 x t+2... = x = 1, Aufrunden (10.0) x = 1, Abrunden (1.0) Tutorübung 1, 2. Mai

13 Fehler absoluter Fehler f abs := x rd(x) relativer Fehler f rel := x rd(x) x Tutorübung 1, 2. Mai

14 Fehler absoluter Fehler f abs := x rd(x) relativer Fehler f rel := x rd(x) x Maschinengenauigkeit ε M bei Rundung mit t-stelliger Mantisse ε M = 2 t größte positive Zahl ε M mit rd(1 + ε M ) = 1 Tutorübung 1, 2. Mai

15 Einführung in die Binärzahlen Zahlendarstellung im Rechner Rundungsfehler und ihre Folgen Tutorübung 1, 2. Mai

16 Ermittlung von π nach Archimedes 1 Tutorübung 1, 2. Mai

17 Ermittlung von π nach Archimedes s n 1 H n h n s n+1 1 Tutorübung 1, 2. Mai