02 - Numerik. Technische Grundlagen der Informatik

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1 02 - Numerik Technische Grundlagen der Informatik Automation Systems Group E183-1 Institute of Computer Aided Automation Vienna University of Technology tgi@auto.tuwien.ac.at

2 Numerik Methoden zur Lösung mathematischer Problemstellungen auf Computern Hauptfelder effektive und effiziente Berechnung Fehlerabschätzung Aufwandsabschätzung Stabilitätsanalyse Anwendungsgebiete in Ingenieur-, Natur-, Wirtschafts- und Sozialwissenschaften Vor allem Simulation komplexer Vorgänge Z.B. Wettervorhersage, Windkanalversuche, Finanzmathematik 2

3 Zahlendarstellung im Computer In Mathematik unendliche Zahlenmengen N, Z, Q, R, C Am Computer endliche Zahlenmengen Stellenwertsystem zur Basis 2 mit n Stellen 2 n unterschiedliche Zahlen N: 0 2 n 1 Z: negative Zahlen erfordern Kodierung VZ + Betrag, Einer- / Zweierkomplement, Exzessdarstellung Q, R: Nachkommastellen! 3

4 Festpunkt-Darstellung Gesamtlänge N = 1 + g + n Bit g Vorkommastellen n Nachkommastellen Vorzeichen v (0 positiv, 1 negativ) VZ Vorkommateil (g) Nachkommateil (n) v d n+g 1 d n+g 2 d n d n 1 d 1 d 0 entspricht Skalierung der ganzen Zahl Z um Faktor 2 n Bitfolge vd N 2 d N 3 d 1 d 0 interpretiert als vorzeichenbehaftete Binärzahl mit n Nachkommastellen N 2 vd N 2 d N 3 d 1 d 0 = 1 v 2 n d j 2 j = Kodierung j=0 = 1 v d N 2 d n. d n 1 d 1 d 0 Festpunkt-Zahl 4

5 Festpunkt-Darstellung Für das Festpunkt-Zahlensystem mit N = 16 Bit Breite und n = 3 Nachkommastellen ist die Zahlenmenge durch vd 14 d 13 d 1 d 0 = 14 1 v 2 3 d j 2 j j=0 beschrieben. Bsp.: VZ Vorkommateil (g) Nachkommateil (n) = = = = =

6 Festpunkt-Darstellung Kleinste in diesem Zahlensystem (N = 16, n = 3) darstellbare Zahl VZ g n = = = = = Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen VZ g n = = = ( 1) = = Zahlenbereich [ , ]

7 Festpunkt-Darstellung Beispiel Die Zahl ( ) 10 ist in das folgende (binäre) Festpunktformat umzurechnen. Format: N = 12 Bit Breite und n = 3 Nachkommastellen 1 Bit Vorzeichen, 8 Bit Vorkommateil, 3 Bit Nachkommateil ( ) 10 = ( ) 2 = VZ g n = :

8 Festpunkt-Darstellung Eigenschaften Jede Festpunktzahl ist rational (Q) d.h. irrationale Zahlen können nicht dargestellt werden Manche einfache rationale Zahlen können nicht genau dargestellt werden z.b. ( 1 3) 10 dezimal dargestellt bzw. ( 1 10) 10 binär dargestellt Wir müssen uns damit abfinden, dass reelle Zahlen im Rechner nur mit einer gewissen Genauigkeit dargestellt werden können Ergebnis einer Rechnung von 2 darstellbaren Zahlen muss nicht unbedingt darstellbar sein d.h. es muss gerundet werden 8

9 Festpunkt-Darstellung Gewünschte Eigenschaften für R Große Anzahl an Nachkommastellen in der Umgebung von 0 sehr kleine Zahlen darstellbar Große Anzahl an Vorkommastellen für Zahlen mit großem Absolutbetrag Anzahl der Nachkommastellen kann mit steigendem Absolutbetrag abnehmen, da auch ihre Bedeutung abnimmt Man benötigt ein Zahlensystem, bei dem die Anzahl der Nachkommastellen und damit die Position des Binärpunktes abhängig vom Absolutbetrag variieren (gleiten) kann: Gleitpunktzahlen 9

10 Gleitpunkt-Darstellung Exponentialschreibweise x = m b e z.b = Gesamtlänge N = 1 + n + p Bit Vorzeichenbit v (0 positiv, 1 negativ) n Stellen Exponent p Stellen Mantisse VZ Exponent Mantisse v E n 1 E 0 m 0 m p 1 Indizierung d N 1 d N 2 d N 3 d p d p 1 d 1 d 0 Bitnummer msb lsb 10

11 Gleitpunkt-Darstellung Normalisierung Problem: Exponential-Darstellung ist mehrdeutig z.b.: = = = Normalisierung notwendig Normalisierungsbedingung: erste Stelle der Mantisse m 0 0 genau 1 Stelle vor dem Komma für obiges Beispiel folgt daher = Normalisierte Zahlen auf der Zahlengerade 0 b e mmm Lücke um 0 unerwünscht 0 so nicht darstellbar: Sonderdarstellung für 0, gilt als normalisiert 11

12 Struktur von Gleitpunkt-Zahlensystemen Parameter eines Gleitpunkt-Zahlensystems F b, p, e mmm, e mmm, dddddd b Basis (base, radix) (b 2) p Mantissenlänge (precision) (p 2) e mmm kleinster Exponent e mmx größter Exponent dddddd Normalisierungsindikator tttt enthält denormalisierte Zahlen fffff enthält keine denormalisierten Zahlen Denormalisierte Zahlen auf der Zahlengerade 0 b e mmm 12

13 Gleitpunkt-Darstellung Bsp.: Normalisierte und denormalisierte Gleitpunktzahlen Gleitpunkt-Zahlensystem mit b = 2, p = 3, e mmm = 1, e mmm = 2 normalisierte Gleitpunktzahlen (positiver Teil dargestellt) mit denormalisierten Gleitpunktzahlen Exponent für denormalisierte Zahlen: b e mmm Durch Sonderwert b e mmm 1 im Exponenten kodiert 13

14 Struktur von Gleitpunkt-Zahlensystemen Anzahl der Gleitpunktzahlen Anzahl der normalisierten Zahlen im Gleitpunkt-Zahlensystem F b, p, e mmm, e mmm, dddddd : Vorzeichen (+/-) m 0 0 Anzahl der möglichen Exponenten Die Zahl b 1 b p 1 e mmm e mmm + 1 Anzahl der möglichen normalisierten Mantissen Anzahl der denormalisierten Zahlen: 2 1 (b p 1 1) VZ m 0 =0 Mantisse mit nur 0 IEC/IEEE Gleitpunkt-Zahlensystem F(2, 24, 126, 127, tttt): = normalisierte Zahlen 2 (2 23 1) = denormalisierte Zahlen 14

15 Struktur von Gleitpunkt-Zahlensystemen Größte Gleitpunktzahl größte Gleitpunktzahl eines Gleitpunkt-Zahlensystems x mmm = M mmm b e mmm mit der Mantisse M mmm = δ. δδ δδ b δ = b 1 Wert der Mantisse p Stellen δ δ = b p M mmm = (b p 1) b p 1 Skalierung = (b p 1) b b p = b 1 b p x mmm = M mmm b e mmm = b 1 b p b e mmm 15

16 Struktur von Gleitpunkt-Zahlensystemen Größte und kleinste Gleitpunktzahl kleinste positive normalisierte Gleitpunktzahl x mmm = M mmm b e mmm = b e mmm IEC/IEEE Gleitpunkt-Zahlensystem F(2, 24, 126, 127, tttt): x mmm = x mmm = 2 ( ) Die kleinste positive denormalisierte Zahl eines Gleitpunkt- Zahlensystems im Falle von dddddd = tttt: x mmm = b e mmm p+1 16

17 Struktur von Gleitpunkt-Zahlensystemen Absolute Abstände der Gleitpunktzahlen Für eine normalisierte Gleitpunktzahl besteht die kleinste und die größte Mantisse aus den Ziffern m 0 = 1, m 1 = = m p 1 = 0 bzw. m 0 = m 1 = = m p 1 = δ = b 1 Die Mantisse durchläuft somit Werte zwischen M mmm = b und M mmm = δ. δδ δδ b, mit einer konstanten Schrittweite von uuu = b = b p+1 Grundinkrement der Mantisse: uuu (unit of least precision) Benachbarte Zahlen aus F haben im Intervall b e, b e+1 den konstanten Abstand Δx = 1 uuu b e = b e p+1 17

18 Struktur von Gleitpunkt-Zahlensystemen Positive Zahlen aus dem Gleitpunkt-Zahlensystem F 2, 3, 1, 2, tttt M e (Wert) 2 (Wert) 10 Intervall x denormalisiert 1.11 (111) 2 (7) (101) 2 (5) 10 [2 2,2 3 ) (1.0)2 nein 1.00 (100) 2 (4) (11.1) 2 (3.5) (10.1) 2 (2.5) 10 [2 1,2 2 ) (0.1)2 nein 1.00 (10.0) 2 (2) (1.11) 2 (1.75) 10 [2 0,2 1 ) 1.10 (1.10) 0 2 (1.5) (1.01) 2 (1.25) 10 (0.01) 2 nein 1.00 (1.00) 2 (1.0) (0.111) 2 (0.875) (0.101) 2 (0.625) 10 [2-1,2 0 ) (0.001)2 nein 1.00 (0.100) 2 (0.5) (0.011) 2 (0.375) (0.010) 2 (0.250) 10 (0,2-1 ) (0.001) 2 ja 0.01 (0.001) 2 (0.125) nein 18

19 Gleitpunkt-Zahlensysteme nach IEEE 754 F 2,24, 126, +127, tttt F 2,53, 1022, +1023, tttt Exponent ist in Exzessdarstellung Format Parameter Single Single Ext. Double Double Ext. b p e mmm e mmm denorm tttt tttt tttt tttt Exzess des Exponenten +127 uuuuuu uuuuuu. Bitbreite des Exponenten Bitbreite des Formats

20 Gleitpunkt-Zahlensysteme nach IEEE 754 Codierung nach IEEE 754 Single Precision Format (1 von 3) 1 Bit VZ 8 Bit Exponent 23 Bit Mantisse v E 7 E 0 m 1 m 23 Indizierung d 31 d 30 d 29 d 23 d 22 d 1 d 0 Bitnummer msb lsb Normalisierte Gleitpunktzahlen: Normalisierungsbedingung: m 0 0 daher immer m 0 = 1 Vorkommastelle m 0 wird weggelassen: Implizites erstes Bit Denormalisierte Gleitpunktzahlen: spezieller Exponentenwert e mmm 1 zeigt implizites erstes Bit m 0 = 0 an als Exponentenwert gilt: e mmm 20

21 Gleitpunkt-Zahlensysteme nach IEEE 754 Codierung nach IEEE 754 Single Precision Format (2 von 3) Die Zahl Null , 0 Not a Number (NaN) Sonderwert für Ergebnisse nicht möglicher Berechnungen: e = e mmm + 1 = 128 Darstellung: alle Exponentenbits sind 1, Mantisse > 0, z.b.:

22 Gleitpunkt-Zahlensysteme nach IEEE 754 Codierung nach IEEE 754 Single Precision Format (3 von 3) Unendlich Ergebnis ist betragsmäßig zu groß, um im betreffenden Format dargestellt werden zu können Überlauf es wird auf + bzw. als Rückgabewert zurückgegriffen e = e mmm + 1 = = + 1 = +0 bzw. 1 = = 1 = + bzw. 1 =

23 Gleitpunkt-Zahlensysteme nach IEEE 754 Die Grundformate einfacher und doppelter Genauigkeit Exponent NKSt. f Wert Format allgemein dezimal der Mant. der Gleitpunktzahl single 1 e mmm f 0 NNN 2 e mmm f = 0 1 v 3 e mmm e e mmm 126 e 127 bbbbbbbb 1 v 1. f 2 e 4 e mmm f 0 1 v 0. f e mmm f = 0 1 v 0 double 1 e mmm f 0 NNN 2 e mmm f = 0 1 v 3 e mmm e e mmm 1022 e 1023 bbbbbbbb 1 v 1. f 2 e 4 e mmm f 0 1 v 0. f e mmm f = 0 1 v 0 v VZ-Bit der Mantisse 23

24 Gleitpunkt-Zahlensysteme nach IEEE 754 Bsp: Codierung einer Dezimalzahl in das IEEE754-Format (1 von 2) Wandeln Sie die Zahl in das IEEE 754 Single Precision Format um! (1) Umwandeln ins Binärsystem =

25 Gleitpunkt-Zahlensysteme nach IEEE 754 Bsp: Codierung einer Dezimalzahl in das IEEE754-Format (2 von 2) (2) Normalisierung = (3) Exponent berechnen = Exzess = 7 10 Exponent d. normalisierten Darstellung = Exponent in Exzessdarstellung (4) Vorzeichenbit setzen negative Zahl 1 1 Bit VZ 8 Bit Exp. 23 Bit Mantisse Implizites 1.Bit 25

26 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Runden (1 von 5) unendlich viele reelle Zahlen R endlich viele in einem Computer darstellbare Gleitpunktzahlen F Mittels Rundungsfunktion reelle Zahl auf Gleitpunktzahl abbilden Abbildung : R F, die jeder reellen Zahl x ε R eine bestimmte benachbarte Zahl x ε F zuordnet x 1, x 2 ε F, x Grenzwert Rundungsfunktion bestimmt als Ergebnis der Rundung x einen der beiden Werte x 1 oder x 2 26

27 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Runden (2 von 5) Berechnungen mit Zahlen aus F : Ergebnis meist keine Zahl aus F Runden des Ergebnisses auf eine Zahl aus F notwendig Zu jeder zweistelligen arithmetischen Operation R R R definiert man die gerundete Operation F F F x y = (x y) Eigenschaften einer Rundungsoperation : R F x = x Eine Gleitpunktzahl wird auf sich selbst gerundet (Projektivität) x y x y Die Relation x y bleibt auch nach der Rundung erhalten (Monotonie) 27

28 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Runden (3 von 5) Optimale Rundung (round to nearest) Grenzpunkt liegt genau in der Mitte: x = x 1 + x 2 2 Falls x = x, 2 Möglichkeiten: Round away from zero Round to even auf den Nachbarn runden, dessen letzte Mantissenstelle gerade ist 28

29 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Runden (4 von 5) Abschneiden (truncate) 29

30 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Runden (5 von 5) Gerichtetes Runden (directed rounding) Aufrunden: x = max x 1, x 2 Abrunden: x = min (x 1, x 2 ) 30

31 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Runden Beispiel 1 Bsp.: auf 2 (dezimale) Nachkommastellen Optimale Rundung (round to nearest) x 1 = 1.62, x 2 = 1.63, x = 1.625, x = 1.63 Abschneiden (truncate) x = 1.62 Gerichtetes Runden (directed rounding) Aufrunden x = 1.62 Abrunden x =

32 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Runden Beispiel 2 Bsp.: = auf 2 (binäre) Nachkommastellen Optimale Rundung (round to nearest) x = , x 1 = , x 2 = Zahl liegt genau am Grenzwert, daher weitere Rundungsregel notwendig Round away from zero: x = = Round to even: x = = Abschneiden (truncate) x = = Gerichtetes Runden (directed rounding) Aufrunden = Abrunden =

33 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Rundungsfehler (1 von 2) absoluter Rundungsfehler ε x = ε x = x x relativer Rundungsfehler ρ x = x x x = ε x x Bsp.: = auf 2 (binäre) Nachkommastellen Round away from zero: x = = ε x = = Round to even: x = = ε x = =

34 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Rundungsfehler - Beispiel (1von 2) Bsp. x = a + b + c Demonstration anhand von F 10,3, 9,10, fffff, a = , b = c = , optimale Rundung Auswertungsreihenfolge von links nach rechts: (a b) c = (a + b) c = = ( (a + b) + c) = = ( ( ) ) = = ( ( ) ) = = ( ) = = ( ) = =

35 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Rundungsfehler - Beispiel (2 von 2) Auswertungsreihenfolge von rechts nach links a (b c) = a ( (b + c)) = = (a + ( (b + c))) = = ( ( ( ))) = = ( ( ( ))) = = ( ) = = ( ) = =

36 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Pseudo-Arithmetik keine Gültigkeit der Assoziativität a (b c) (a b) c a (b c) (a b) c keine Gültigkeit der Distributivität a (b c) (a b) (a c) aber wegen a b = (a + b) = (b + a) = b a und a b = (a b) = (b a) = b a Kommutativität 36

37 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Rundung und Vergleich Da verschiedene reelle Zahlen bei der Rundung nach F in dieselbe Gleitpunktzahl übergehen können, ist es im Allgemeinen keine gute Idee, Gleitpunktzahlen auf = 0 abzufragen. Um festzustellen, ob der exakte Wert eines arithmetischen Ausdrucks positiv ist, muss man verlangen, dass seine Auswertung in F weit genug von Null entfernt ist: AAAAAAAA α > 0 37

38 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Iterative Summation Berechnung einer Näherung der unendlichen Summe 1 i 2 i 1 indem man die Summanden für i = 1, 2, 3,... aufaddiert Die Zwischensummen werden immer größer und die Summanden immer kleiner Man gelangt zu einem bestimmten N, ab dem N 1 i 2 1 N = 1 i 2 i=1 N i=1 d.h., dass die Summe ihren Wert nicht mehr ändert. beginnt man mit i = N, N 1, N 2,..., so erhält man sogar einen genaueren Näherungswert π2 6 38

39 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Addition Vorgehensweise 1. Exponenten angleichen größeren Exponenten bestimmen kleineren Exponenten an den größeren anpassen entsprechende Mantisse verschieben 2. Mantissen addieren 3. Normalisieren 4. Runden 39

40 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Gleitpunkt-Arithmetik (1 von 2) Bsp.1: Exponenten angleichen: = Mantissen addieren Normalisieren entfällt 4. Runden (3 Stellen Mantisse): vor Berechnung abschneiden? Runden: round to nearest mit round to even 40

41 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Gleitpunkt-Arithmetik (2 von 2) Bsp.2: = = = vor Berechnung abschneiden? = Zusätzliche Stellen notwendig! Wie viele? Runden: round to nearest mit round to even 41

42 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Gleitpunkt-Arithmetik: Guard Digit 1 zusätzliche Stelle: Guard Digit (g) Bsp.: Ergebnis berechnen, dann runden (3 Stellen Mantisse): = Stellen Mantisse + Guard Digit, Restliches abschneiden, dann Ergebnis berechnen = g Runden: round to nearest mit round to even 42

43 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Gleitpunkt-Arithmetik: Guard Digit Bsp.: Ergebnis berechnen, dann runden (3 Stellen Mantisse): Stellen Mantisse + Guard Digit Restliches abschneiden, dann Ergebnis berechnen g zusätzliche Stelle reicht nicht... Runden: round to nearest mit round to even 43

44 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Gleitpunkt-Arithmetik: Round Digit noch 1 zusätzliche Stelle: Round Digit Bsp.: Ergebnis berechnen, dann runden (3 Stellen Mantisse): Stellen Mantisse + Guard Digit + Round Digit Restliches abschneiden, dann Ergebnis berechnen g r Runden: round to nearest mit round to even 44

45 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Gleitpunkt-Arithmetik: Round Digit Bsp.: Ergebnis berechnen, dann runden (5 Stellen Mantisse): Stellen Mantisse + Guard Digit + Round Digit Restliches abschneiden, Ergebnis berechnen g r 2 zusätzliche Stellen reichen nicht... Runden: round to nearest mit round to even 45

46 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Gleitpunkt-Arithmetik Sticky Bit 3. zusätzliche Stelle, damit man korrekt runden kann 1 zusätzliches Bit: Sticky Bit verändert sich nicht mehr, sobald es einmal den Wert 1 angenommen hat!! Kommen rechts vom Round Digit noch Stellen 0? Sticky Bit eigentlich true/false true es gibt rechts vom Round Digit noch Stellen 0 false es gibt rechts vom Round Digit keine Stellen 0 wird mit 1(true) bzw. 0(false) kodiert 46

47 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Addition/Subtraktion Vorgehensweise (1) Angleichung der Exponenten (2) Mantissen addieren/subtrahieren Vorzeichen gleich: Addition Vorzeichen ungleich: Subtraktion (3) Ergebnis normalisieren (4) Runden (Guard Digit, Round Digit, Sticky Bit) Optimale Rundung G R S Ergebnis / Mantisse 0 x x unverändert 1 1 x += Weitere Rundungsregel für Grenzfall nötig! Vorzeichen gleich Ergebnis += 1 Vorzeichen unterschiedlich unverändert 47

48 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Addition/Subtraktion Vorgehensweise Runden Optimale Rundung / round to even G R S Ergebnis / Mantisse wenn lsb = 0 unverändert wenn lsb = 1 += 1 Optimale Rundung / round away from zero G R S Ergebnis / Mantisse = 1 48

49 Arithmetik-Beispiele nach (modifiziertem) IEEE 754 Beispiel A + B, A B Bsp. Addition und Subtraktion : A = und B = Umrechnung ins Gleitpunktformat nach verkürztem und leicht verändertem IEEE 754-Standard: 5 Bit Exponent, 10 Bit Mantisse mit explizitem (!) ersten Bit, Exzess = 15 Runden durch Abschneiden A + B, A B mit optimaler Rundung mit "round to even" 49

50 Arithmetik-Beispiele nach (modifiziertem) IEEE 754 Umrechnung von A ins Gleitpunktformat Umrechnung ins Gleitpunktformat Zahl A = Umwandeln ins Binärsystem = Normalisieren = Exponent berechnen = Exzess = 2 10 Exponent der normalisierten Darstellung = Exponent in Exzessdarstellung Vorzeichenbit: 0 50

51 Arithmetik-Beispiele nach (modifiziertem) IEEE 754 Umrechnung von B ins Gleitpunktformat Zahl B = Umwandeln ins Binärsystem Normalisieren = = Exponent berechnen = Exzess = 5 10 Exponent der normalisierten Darstellung = Exponent in Exzessdarstellung Vorzeichenbit: 0 VZ Exponent Mantisse A B

52 Arithmetik-Beispiele nach (modifiziertem) IEEE 754 Addition A + B (1 von 3) (1) Angleichung der Exponenten A < B Exponent von A an Exponent von B anpassen Hinausgeschobene Bits füllen Guard/Round/Sticky auf VZ Exponent Mantisse A B Exp.+3 um 3 Bit nach hinten geschoben VZ Exponent Mantisse G R S A B

53 Arithmetik-Beispiele nach (modifiziertem) IEEE 754 Addition A + B (2 von 3) (2) Mantissen addieren VZ Exponent Mantisse G R S A B (3) Ergebnis normalisieren VZ Exponent Mantisse G R S VZ Exponent Mantisse G R S Exp.+1 um 1 Bit nach hinten geschoben 53

54 Arithmetik-Beispiele nach (modifiziertem) IEEE 754 Addition A + B (3 von 3) (4) Runden VZ Exponent Mantisse G R S Runden VZ Exponent Mantisse G R S Ergebnis (Erg.) 0 x x unverändert 1 1 x Ergebnis += 1 lsb = 0 unverändert lsb = 1 Erg. += 1 VZ gleich Erg. += VZ untersch. unverändert Ergebnis: bzw

55 Arithmetik-Beispiele nach (modifiziertem) IEEE 754 Subtraktion A B (1 von 3) (1) Angleichung der Exponenten A < B Exponent von A an Exponent von B anpassen Hinausgeschobene Bits füllen Guard/Round/Sticky auf VZ Exponent Mantisse A B Exp.+3 um 3 Bit nach hinten geschoben VZ Exponent Mantisse G R S A B

56 Arithmetik-Beispiele nach (modifiziertem) IEEE 754 Subtraktion A B (2 von 3) (2) Mantissen subtrahieren B > A wir wissen, dass Ergebnis negativ sein wird Trick um uns Rechnen über 0 zu ersparen: berechnen B A und setzen Ergebnis negativ A B = (B A) VZ Exponent Mantisse G R S B A (3) Ergebnis normalisieren ist bereits normalisiert! VZ Exponent Mantisse G R S

57 Arithmetik-Beispiele nach (modifiziertem) IEEE 754 Subtraktion A B (3 von 3) (4) Runden VZ Exponent Mantisse G R S Runden VZ Exponent Mantisse G R S Ergebnis (Erg.) 0 x x unverändert 1 1 x Ergebnis += 1 lsb = 0 unverändert lsb = 1 Erg. += 1 VZ gleich Erg. += VZ untersch. unverändert Ergebnis: bzw

58 Arithmetik auf Gleitpunkt-Zahlensystemen Multiplikation - Vorgehensweise (1) Multiplikation der Mantissen (2) Summe der Exponenten (3) Normalisieren (4) Runden 58

59 Arithmetik-Beispiele nach (modifiziertem) IEEE 754 Multiplikation A B (1 von 4) VZ Exponent Mantisse A B (1) Multiplikation der Mantissen

60 Arithmetik-Beispiele nach (modifiziertem) IEEE 754 Multiplikation A B (2 von 4) VZ Exponent Mantisse A B (2) Summe der Exponenten: (EEE(A) + EEE(B)) e = (EEE(A)) e +(EEE(B)) e e = EEE(A) e = e = 2 10 EEE A = EEE(B) e = 2 10 EEE A = (EEE(A) + EEE(B)) e 60

61 Arithmetik-Beispiele nach (modifiziertem) IEEE 754 Multiplikation A B (3 von 4) (3) Normalisieren VZ Exponent Mantisse G R S erste 13 Stellen der Multiplikation VZ Exponent Mantisse G R S Exp.+1 um 1 Bit nach hinten geschoben 61

62 Arithmetik-Beispiele nach (modifiziertem) IEEE 754 Multiplikation A B (4 von 4) (4) Runden VZ Exponent Mantisse G R S Runden VZ Exponent Mantisse G R S Ergebnis (Erg.) 0 x x unverändert 1 1 x Ergebnis += 1 lsb = 0 unverändert lsb = 1 Erg. += 1 VZ gleich Erg. += VZ untersch. unverändert Ergebnis: bzw

63 Genauigkeitsbetrachtungen Fehlerfortpflanzung Subtraktion zweier betragsmäßig annähernd gleich großer Zahlen: Auslöschung Die vorderen übereinstimmenden Mantissenstellen der beiden Operanden heben einander auf Damit werden Ungenauigkeiten an hinteren (weniger wichtigen) Stellen relevanter Rechnen mit exakten Werten (x ε R): gutartige Auslöschung Die nach der Auslöschung im Ergebnis verbleibenden hinteren Stellen sind unverfälscht Rechnen mit gerundeten Operanden(x ε F): katastrophale Auslöschung 63

64 Genauigkeitsbetrachtungen Fehlerfortpflanzung Bsp. Bsp.: x 2 y 2 und x y x + y x = 10.1, y = 9.99, optimales Runden auf 3 Stellen genau exakt: x 2 y 2 = = nahezu gutartige Auslöschung (x y) (x y) = = = = (2.211) = 2.21 relativer Rundungsfehler ρ 2.21 katastrophale Auslöschung = (x 2 y 2 ) = ( (102.01)) ( ( )) = = 2.2 relativer Rundungsfehler ρ 2.2 =

65 Genauigkeitsbetrachtungen Fehlerfortpflanzung Aufgrund von Rundungsfehlern Abweichung zwischen im Computer implementierten arithmetischen Operationen von zu Grunde liegenden mathematisch exakten Operationen Jedes Zwischenergebnis einer numerischen Berechnung kann vom exakten Ergebnis abweichen Zwischenergebnisse sind Operanden für nachfolgende Rechenschritte nachfolgende Rechenschritte mit verfälschten Argumenten Fehlerfortpflanzung 65