Lösung 2. Übungsblatt

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1 Fakultät Informatik, Technische Informatik, Professur für Mikrorechner Lösung 2. Übungsblatt Bildung von Gleitkommazahlen nach IEEE 754 und arithmetische Operationen mit Binärzahlen

2 ANSI/IEEE (single precision) Bitnr.: Vorzeichen Charakteristik Mantisse Vorzeichen: positiv = 0 und negativ = 1 Charakteristik: C = Exponent (e) + Verschiebekonstante (bias) bias = 127 = 7F 16 = Mantisse: m wird so normalisiert, dass die führende 1 vor dem Komma steht (1,xxx...). Die führende 1 wird weggelassen und dadurch ein Bit für die Darstellung der Mantisse dazugewonnen. 2

3 Aufgabe 1 Stellen Sie im 32 Bit Gleitkommaformat nach IEEE 754 dar. a) 3125,97 10 Mantisse ganzzahliger Teil (12 Stellen): 3125 = = Mantisse gebrochener Teil (24-12 = 12 Stellen): 0,97 = ,97 = 0,5 + 0,25 + 0, , , ,765625* , *10-4 0,97 = 0, ,97 = ,

4 Aufgabe 1 Normalisierung (24 Stellen 23 Stellen): 3125,97 = 1, * 2 11 Exponent e = Charakteristik: C = e + bias Bias = = C = = Ergebnis: Vorzeichen Charakter -istik Mantisse 5

5 Aufgabe 1 Stellen Sie im 32 Bit Gleitkommaformat nach IEEE 754 dar. b) 23450,6 10 Mantisse ganzzahliger Teil (15 Stellen): = = Mantisse gebrochener Teil (24-15 = 9 Stellen): 0,6 = (periodisch) 0,6 = 0, ,6 = ,

6 Aufgabe 1 Normalisierung (24 Stellen 23 Stellen): 23450,6 = 1, * 2 14 Exponent e = Charakteristik: C = e + bias Bias = = C = = Ergebnis: Vorzeichen Charakteristik Mantisse 8

7 Aufgabe 2 Bestimmen Sie zum 32 Bit Gleitkommawort nach IEEE 754 den wertgleichen Dezimalwert. a) VZ C m VZ = negativ C = = E = = 11 M = = - 1, * 2 11 (normalisiert) = , = ,0 10

8 Aufgabe 2 b) VZ C m VZ = positiv C = = E = = -5 M = = 1, * 2-5 (normalisiert) = 0, = = 0,

9 Aufgabe 2 Bestimmen Sie das Gleitkommaformat nach IEEE 754 die betragskleinste und betragsgrößte von unendlich verschiedene Zahl. Charakteristik C Wertebereich Exponent E min-1 Nutzung für die Darstellung der Zahl ±0 und für sehr kleine nicht normalisierte GK-Zahlen E min = C min - bias (Verschiebekonst.) = F 16 = -7E 16 = E max = C max - bias (Verschiebekonst.) = FE 16-7F 16 = 7F 16 = E max+1 Darstellung von Sonderfällen, wie Division durch 0, NaN oder ±. 14

10 Aufgabe 2 Wertebereich der Mantisse m m min = 1 (alle 23 Bit von m* = 0, es bleibt die verborgene 1). m max = (alle 23 Bit von m* = 1, plus die verborgene 1) Größte positive Zahl: m max * E max = ( ) * ,4 * Kleinste positive Zahl: normalisiert: m min * E min = 1 * ,2 * nicht normalisiert: m min_a * E min = 2-23 * ,4 *

11 Aufgabe 4 Gegeben sind folgende Deziamalzahlen a=15 10, b=104 10, c=7 10 und d= a) Konvertieren Sie diese Zahlen in 8 Bit Binärformat als B-Komplement- Darstellung. Binär-Betrag Wert mit Vorzeichen (B-Komplement Darstellung)

12 Aufgabe 4 b) c) Berechnen Sie schriftlich a+b, b-d, a+d, a*c. Kennzeichnen Sie dabei evt. auftretenden Zahlenbereichsüberläufe. Überprüfen Sie ihre Ergebnisse durch Rückkonvertierung. a+b kein Überlauf = 119 = Subtraktion durch Addition mit B-Komplement: b-d (B-Komplement von -55 = 55) Überlauf = 159 = 104 -(-55) 21

13 Aufgabe 4 a+d kein Überlauf = = = -40 = 15 + (-55) 22

14 Aufgabe 4 (Zusatzaufgabe) c) Zahlenbereichserweiterung von 8 Bit auf 16 Bit beachten! a*c * = 105 kein Überlauf = 105 = 15 *

15 Aufgabe 5 Stellen Sie die Zeichenkette Hallo Welt als ASCII-Code dar und schreiben Sie das Ergebnis als eine Folge von Hexadezimalzahlen. Aus ASCII-Code Tabelle: C 6C 6F C 74 H a l l o (space) W e l t 25

16 Aufgabe 6 Wie kann der Computer beim lesen eines 32 Bit Speicherwortes zwischen ASCII, IEEE 754 oder Festkomma-Darstellung unterscheiden? Nur durch die mit den Daten ausgeführten Operationen erhalten die Daten eine bestimmte Semantik. Das Rechnerwort selbst sagt nichts über die Art der Daten aus, selbst Daten und Befehle lassen sich ohne Zusammenhang nicht unterscheiden (vgl. v. Neumann Variable). 27

17 Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) Berechnen Sie als IEEE 754 Gleitkommazahl a + ε = b, ε = 1, für: a) a = 1 * 2 0 m a =1,0 und e a =0 ε = 1,5 * 2 11 m ε =1,1 und e ε =11 ( ) (Komma von m a wird um 11 Stellen nach links verschoben) m a = 0, m b = m a + m ε = 1,1 + 0, = 1, e b = e ε = 11 c = = 138 = b = b = 1, *

18 Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) b) a = 1 * 2 40 m a =1,0 und e a =40 ε = 1,5 * 2 11 m ε =1,1 und e ε =11 ( ) (Komma von m ε wird um 29 Stellen nach links verschoben) m ε = 0, Betrag der Mantisse m ε verschwindet! m b = m a + m ε = 1,0 + 0,0 = 1,0 e b = e a = 40 c = = 167 = B = b = a = 1,0 * 2 40 Keine Betragsänderung! 31

19 Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) c) ε = 1,5 * 2 17 Das Komma von m ε wird um 23 Stellen nach links verschoben. Dadurch bleibt die letzte 1 der Mantisse erhalten und die Summation ε füht zu einer Betragsänderung. d) Der Exponent das minimale Inkrements ε darf höchstens eine Differenz von 23 zum Exponenten von x haben damit die die Bedingung x + ε > x erhalten bleibt. Da ε mit zunehmenden Exponenten ebenfalls exponentiell wächst, wachsen die Lücken im Darstellungsbereich von Gleitkommazahlen auch exponentiell. 34