2.5. Gleitkommaarithmetik

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1 2.5. Gleitkommaarithmetik Bei vorgegebener Länge m des Kodeworts (der rechnerinternen Darstellung) lassen sich nur 2 m verschiedene Werte darstellen. In der Mehrzahl der Fälle ist das zu wenig. Ein Ausweg ist die Vergrößerung von m (vgl. 8-, 16-, Bit-Prozessoren und die entsprechenden Datentypen höherer Programmiersprachen, z. B. short_integer, integer, long_integer,...). Es gibt aber noch einen anderen Ausweg aus dem Dilemma. Sie hatten bestimmt schon mal ein analoges Voltmeter (Zeigerinstrument) mit mehreren Meßbereichen in der Hand. Ein Charakteristikum eines solchen Meßinstruments ist, daß mit ein und derselben Skala alle Meßbereiche überdeckt werden. Nehmen wir weiter an, daß wir beim Ablesen nicht interpolieren sondern immer zum nächstgelegenen Skalenwert hin runden (digitalisieren!), dann ergeben sich die möglichen Meßwerte im Meßbereich 10 V: {0, 1, 2,..., 10} im Meßbereich 100 V: {0, 10, 20,..., 100} im Meßbereich 1000 V: {0, 100, 200,...,1000} usw. Anm.: Da der Meßfehler bei analogen Meßinstrumenten in Prozent des Endausschlags angegeben wird, ist der absolute Meßfehler immer dann besonders hoch, wenn der Meßwert ins erste Drittel der Skala fällt. Deshalb verwendet man in der Praxis meist zwei Skalen und staffelt die Meßbereiche 1 V, 3 V (3,16 23

2 V), 10 V, 30 V (31,6 V),... oder auch drei Skalen mit den Meßbereichen 1V, 2 V (2,16 V), 5 V (4,66 V), 10 V, 20 V, 50 V,... Die Staffelung leitet sich aus der Überlegung ab, daß der Quotient der Endausschläge benachbarter Meßbereiche (näherungsweise) konstant sein soll. Für die Musiker untere Ihnen: Bekanntermaßen zerfällt eine Oktave in 12 Halbtonschritte. Das Frequenzverhältnis einer Oktave ist konstant 2 : 1 (z. B. a = 880 Hz, a = 440 Hz). Das Frequenzverhältnis eines Halbtonschritts ist ebenfalls konstant und zwar 12. Wurzel aus 2 : 1. Auf dem Zahlenstrahl nimmt sich das also so aus: < > Wenn wir uns bei der rechnerinternen Zahlendarstellung von diesen Überlegungen leiten lassen, dann dann würde das heißen, daß je größer die Zahl ist, desto schlechter darf die nötige "Auflösung" sein: Die Lösung heißt Gleitkommadarstellung. Jede Zahl z kann in der Form z = m * b e mit m = Mantisse, b = Basis, e = Exponent dargestellt werden. Beispiel 2.24 Dezimalsystem +12,7 * 10-9 (= 0, ) Betrag des Exponenten Vorzeichen des Exponenten Basis Mantisse Vorzeichen der Mantisse Binärsystem * = (= 44) Aus diesen Beispielen ist erkennbar: - Lage des Punktes und Größe des Exponenten stehen miteinander in einem bestimmten Zusammenhang - Positiver (negativer) Exponent heißt, Mantissenpunkt um Exponent Stellen nach rechts (links) verschieben (falls Mantisse und Exponent im gleichen Zahlensystem beschrieben sind) Für die rechnerinterne Darstellung steht nun wieder das Problem der Endlichkeit des Darstellungsraums, sowohl Exponent als auch Mantisse haben eine feste Länge. Ziel: Jede Zahl so genau wie möglich darstellen (d. h. den kleinstmöglichen Meßbereich wählen, der die Zahl gerade noch erfaßt) 24

3 Bei fester Mantissenlänge ist die Genauigkeit der Zahlendarstellung dann am größten, wenn die höchstwertige Mantissenziffer nicht den Wert Null hat. Beispiel 2.25: Zur Genauigkeit der Zahlendarstellung Des besseren Verständnisses wegen verwende ich das Dezimalsystem. Es soll die Zahl 123,45 so genau wie möglich dargestellt werden. Die Mantisse habe 4 Stellen der Exponent 1 Stelle. Mögliche Darstellungsformen sind: Komma steht rechts von der niederwertigsten Mantissenziffer (ganzzahlige Mantisse) 0001 * 10 2 = * 10 1 = * 10 0 = * 10-1 = 123,4 < so genau wie möglich oder Komma steht links von der höchstwertigen Mantissenziffer (gebrochene Mantisse) [0.]0001 * 10 6 = 100 [0.]0012 * 10 5 = 120 [0.]0123 * 10 4 = 123 [0.]1234 * 10 3 = 123,4 < so genau wie möglich Die Hundertstelstelle ist in diesem Format überhaupt nicht darstellbar. --- Die zuletzt angegebene Darstellung nennt man normalisiert. Def.: Normalisiert ist eine Gleitkommazahl dann, wenn der Punkt links vor der höchstwertigen Mantissenfiffer (MSD) steht und die höchstwertige Mantissenziffer nicht den Wert 0 hat. Beispiel 2.26 Normalisierte Darstellung * * Die Mantisse ist also stets kleiner als Eins! Für die rechnerinterne Darstellung verwendet man abweichend von der Festkommadarstellung zur Darstellung negativer Zahlen nicht das 2er-Komplement. 25

4 Beispiel 2.27 IBM Mainframe (360, 370, 3090 usw.); Datentyp SHORT REAL V Exponent Mantisse Die Basis hat hier den Wert 16. Der Wertebereich des Exponenten beträgt {-2 6,...,+2 6-1} (= {-64,...,+63}. 24 Bit Betrag der Mantisse 7 Bit Exponent (Offsetdarst.) 1 Bit Vorzeichen der Mantisse Kodiert wird aber im Feld Exponent die Summe Exponent = Exponent + 64, d. h. der Wertebereich {0,..., } = {0,..., 127}. Man nennt diese Darstellung Offsetdarstellung. Für die Exponentenlänge n Bit gilt allgemein: {-2 n-1,..., +2 n-1-1} > {0,..., 2 n -1} mit dem Offset 2 n-1. Die Mantisse wird hexadezimal aufgefaßt. D. h. von links beginnend werden jeweils 4 Bit zu einer Tetrade zusammengefaßt. Die Zahl ist dann normalisiert, wenn die linke Tetrade nicht den Wert hat. Was leistet diese Darstellung? Mit b i als dem i-ten Bit, i = 0,1,...,31, kann man schreiben b 0 (b 1 * b 7 * ) z = (-1) * (b 8 * b 31 *2-24 ) * 16 Exponent in Offsetdar- stellung - Offset Mantisse, normalisiert Vorzeichen der Mantisse (0 pos., 1 neg.) Daraus kann der Darstellungsraum berechnet werden. Minimum des Betrags: _0000_0000_0000_0000_0000 * 16 = 2-4 * = 16-1 * =

5 Maximum des Betrags: Betrag: _1111_1111_1111_1111_1111 = 16 wenn man in der niederwertigsten Stelle eine 1 (also 2-24 oder 16-6 ) addiert, dann ergibt sich die Summe zu 1, d. h. die größtmögliche Mantisse hat den Wert oder = ( ) * <= z <= oder 5,4 * <= z <= 7,2 * Darstellunsraum: - 7,2 * <= z <= + 7,2 * Arithmetische Operationen müssen den üblichen Potenzgesetzen gehorchen: Multiplikation: m 1 *b e1 * m 2 *b e2 = m 1 *m 2 *b (e1+e2) Division: m 1 *b e1 / m 2 *b e2 = (m 1/ /m 2 )*b (e1-e2) Für die Strichoperationen müssen zunächst die Exponenten angeglichen werden. Wir nehmen an, daß bei e 2 e 1 der Exponent e 2 an e 1 angeglichen wird: e 2 > e 2 + (e 1 - e 2 ) > e 1 Die Angleichung darf aber den Wert der Gleitkommazahl nicht verändern, d. h. die Mantisse m 2 muß entsprechend korrigiert werden m 2 > m 2 Die Addition von e 1 - e 2 im Exponenten entspricht einer Multiplikation der Mantisse mit b (e1-e2 ), die - um den Wert der Gleitkommazahl nicht zu verändern - durch Verschieben des Punktes in der Mantisse um e 1 - e 2 Stellen nach links (e 1 e 2 ) bzw. um e 2 - e 1 Stellen nach links (e 1 < e 2 ) kompensiert werden muß. Addition: m 1 *b e1 + m 2 *b e2 > m 1 *b e1 + m 2 *b e1 = (m 1 + m 2 )*b e1 Subtraktion: m 1 *b e1 - m 2 *b e2 > m 1 *b e1 - m 2 *b e1 = (m 1 - m 2 )*b e1 Anschließend ist in jedem Falle zu normalisieren. 27