Grundzüge der Informatik Tutorium Gruppe 6

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1 Grundzüge der Informatik Tutorium Gruppe 6 Inhalt Einführung Numerik Fest- und Termin Apfelthaler Kathrin Test-Beispiel e @student.tuwien.ac.at Numerik Festpunkt-Darstellung Berechnung unter Verwendung reeller Zahlen (oder deren Nährung) = numerische Berechnung Festpunkt-Darstellung Gleitpunkt-Darstellung Feste Anzahl von Nachkommastellen V VZ g n Betrag N = n + g + (-) v * 2 -n [j=0,n-2] d j * 2 i Festpunkt-Darstellung Bsp Festpunkt-Darstellung Bsp N = 2 Bit, n = 3 Bit ( ) 2 = VZ g n Vorkommateil: 2 0 = 0 2 = 0 VZ = = = = = = g 0 n

2 Festpunkt-Darstellung Bsp Festpunkt-Darstellung Bsp 2 Nachkommateil: = 0 2 = = 4 VZ 6 : 2 3 = 0.75 ( ) 2 = (-49.75) g 0 n N = 2 Bit, n = 3 Bit (-0.375) 0 = Vorkommateil: 0 : 2 = 5 0 Rest 5 : 2 = 2 Rest 2 : 2 = 0 Rest : 2 = 0 Rest (0) 0 = (00) 2 Festpunkt-Darstellung Bsp 2 Festpunkt-Darstellung Bsp 2 N = 2 Bit, n = 3 Bit (-0.375) 0 = Nachkommateil: * 2 = * 2 = * 2 = N = 2 Bit, n = 3 Bit (-0.375) 0 = (00.0) VZ g n (0.375) 0 = (0.0) 2 Festpunkt-Darstellung Gleitpunkt-Darstellung Zahlen haben konstanten Abstand 2 -n Reservierung von n Bit für Nachkommastellen Intervall zwischen größter und kleinster Zahl sehr klein Probleme treten auf bei Darstellung von großen ganzen Zahlen ( Reduktion der Nachkommastellen) kleinen Zahlen ( Reduktion der Vorkommastellen) Skalierungsparameter wird nicht fixiert, sondern ist veränderbar Darstellung von Zahlen, die betragsmäßig sehr groß UND sehr klein sein können Darstellung: +/- Mantisse * Basis +/- Exponent e min = kleinster Exponent e max = größter Exponent 2

3 Normalisierte Gleitpunktzahl Normalisierte Gleitpunktzahl Dieselbe Zahl kann auf verschiedene Weisen dargestellt werden: - 23 * 0-7 = -2.3 *0-6 Normalisierung: Mantisse verfügt über Vorkommastelle, die ungleich 0 ist Bsp: -.23 * 0-5 Zahl Null nicht mehr darstellbar Sonderdarstellung:.00 * b emin- Problem: einige Zahlen sind aufgrund der Normalisierung im Intervall nicht mehr darstellbar Denormalisierte Gleitpunktzahl Normalisierung Subnormale Zahlen m 0 (.Stelle der Mantisse) = 0 für e = e min Exponent wird solange verkleinert / vergrößert, bis Mantisse die Normalisierungsbedingung erfüllt 0.0 * 2 2 =.00 * 2 Exponent muss dabei im vorgegebenen Intervall bleiben Exponent größer als e max = Überlauf Exponent kleiner als e min = Unterlauf Struktur Anzahl der Gleitpunktzahlen Parameter: Basis (b>= 2) Mantissenlänge (p >= 2) Kleinster Exponent (e min < 0) Größter Exponent (e max > 0) Normalisierungsindikator denorm {true,false} Schreibweise F(b,p,e min,e max,denorm) Normalisierte Zahlen: + 2 * (b ) * b p- * (e max e min + ) Denormalisierte Zahlen: 2 * (b p- - ) Größte Gleitpunktzahl: b * (-b -p ) * b emax Kleinste Gleitpunktzahl: b emin 3

4 Abstände Benachbarte Zahlen haben konstanten Abstand: b e-p+ = ulp * b e ulp = unit of last position (Mantisse: Wert einer Einheit der letzten Stelle) VZ EXPONENT MANTISSE Exponent: in Exzessdarstellung Zahlen mit neg. Exponenten scheinen wegen führendem Vorzeichen im Exponenten größer als Zahlen mit pos. Vorzeichen Exzessdarstellung behebt dieses Problem Grundformate: Single bzw. Double Format Implizites erstes Bit Rundung.Stelle der Mantisse muss aufgrund der Normalisierungsbedingung sein (nur bei Basis = 2) Diese Stelle wird nicht codiert. ( Einsparung einer Mantissenstelle) Jeder reellen Zahl wird eine Maschinenzahl zugeordnet Rundung zum nächstgelegenen Wert Round away from zero: Nachbar, der weiter weg liegt von Null, wird gewählt Round to even: Nachbar, dessen letzte Mantissenstelle gerade ist, wird gewählt Rundung Rundungsfehler Abschneiden (truncate) überzählige Mantissenstellen werden abgeschnitten Gerichtetes Runden (directed rounding) x = min(x,x 2 ) bzw. x = max(x,x 2 ) Absoluter Rundungsfehler ε (x) = ε (x) = x - x Relative Rundungsfehler p(x) = ( x x) / x = ε (x) / x 4

5 Schritt : Konvertierung der Zahl Schritt 2: Normalisierung Schritt 3: Exponent bilden Schritt 4: Vorzeichenbit der Zahl ( ) 0 in das Gleitpunktsystem F(2,24,-26,27,true) Vorkommateil umwandeln: 72 : 2 = 86 0 Rest 86 : 2 = 43 0 Rest 43 : 2 = 2 Rest 2 : 2 = 0 Rest 0 : 2 = 5 0 Rest 5 : 2 = 2 Rest 2 : 2 = 0 Rest (72) 0 =(0000) 2 : 2 = 0 Rest Nachkommateil umwandeln: * 2 = * 2 = * 2 = der Zahl ( ) 0 in das Gleitpunktsystem F(2,24,-26,27,true) ( ) 0 =(0000.0) 2 (0.625) 0 =(0) 2 Schritt 2: Normalisierung (0000.0) 2 * 2 0 = (.00000) 2 * 2 7 Schritt 3: Exponent berechnen Exponent = Exzess + Exponent der normalisierten Darstellung Exponent = = 34 0 = (27) = (7) = (34) 0 5

6 Schritt 4: Vorzeichenbit Positive Zahlen: MSB = 0 Negative Zahlen: MSB = (-37,625) 0 MSB = von (-72,625) 0 = (-0000,0) 2 VZ = Exponent = Mantisse = VZ Exponent Mantisse Guard, Round, Sticky Bit Guard, Round, Sticky Bit Hilfestellen, um eventuelle numerische Ungenauigkeiten beim Runden gering zu halten G 0 R x S x Ergebnis unverändert x Ergebnis += Sticky Bit bleibt, sobald es einmal den Wert hat 0 0 lsb=0: unverändert lsb=: Ergebnis += 0 VZ gleich: Ergebnis += VZ unterschiedl.:unverändert Gleitpunktarithmetik Addition / Subtraktion Schritt : Exponenten der betragsmäßig kleineren Zahl an den Exponenten der größeren Zahl angleichen Schritt 2: Die beiden Mantissen addieren Schritt 3: Die Summe normalisieren Schritt 4: Runden Zahl A: (5.52) 0, Zahl B: (62.52) 0, Zahl C: (58.56) 0 Gesucht: A + B, B - C 6

7 Zahl A: (5.52) 0 5 : 2 = 2 Rest 2 : 2 = 0 Rest : 2 = 0 Rest (0) 2 = (5) 0 Mantisse = 0 Stellen Vorkommastellen = 3 Nachkommastellen 7 Zahl A: (5.52) * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = ( ) 2 = (5.52) 0 Zahl B: (62.52) 0 62 : 2 = 3 0 Rest 3 : 2 = 5 Rest 5 : 2 = 7 Rest 7 : 2 = 3 Rest 3 : 2 = Rest : 2 = 0 Rest (0) 2 = (62) 0 Mantisse = 0 Stellen Vorkommastellen = 6 Nachkommastellen 4 Zahl B: (62.52) * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = (0.000) 2 = (62.52) 0 Zahl C: (58.56) 0 58 : 2 = 29 0 Rest 29 : 2 = 4 Rest 4 : 2 = 7 0 Rest 7 : 2 = 3 Rest 3 : 2 = Rest : 2 = 0 Rest (00) 2 = (58) 0 Mantisse = 0 Stellen Vorkommastellen = 6 Nachkommastellen 4 Zahl C: (58.56) * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = (00.000) 2 = (58.56) 0 7

8 NORMIERUNG * 2 0 = * * 2 0 = * 2 6 EXPONENT: Exzess + Exponent der normalisierten Darstellung (6) 0000 (6) 0000 (3) 000 (6) * 2 0 = * 2 6 EXPONENT: (2.Weg) (3) 000 (6) Bit ( )= Vorzeichen des Exponenten (: positiv, 0: negativ), Rest= Betrag der Zahl VORZEICHENBIT setzten: Positiv MSB = 0 A = 5.52 = B = = C = = Addition / Anpassung der Exponenten A = (3) B = (6) Differenz der Exponenten = 6-3= 3 Exponent zur größeren Zahl anpassen Mantisse der kleineren Zahl anpassen 8

9 ADDITION g r s A = (6) B = (6) Ergebnis normieren Nach Normalisierung g r s Tabelle: Fall : g=0 Ergebnis unverändert Subtraktion /Anpassung der Exponenten B = (6) C = (6) Exponenten bereits angepasst Subtraktion B = C = Ergebnis normieren Nach Normalisierung g r s Tabelle: Fall : g=0 Ergebnis unverändert Danke für die Aufmerksamkeit! 9