Technische Informatik I

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1 Technische Informatik I Vorlesung 2: Zahldarstellung Joachim Schmidt

2 Übersicht Geschichte der Zahlen Zahlensysteme Basis / Basis-Umwandlung Zahlsysteme im Computer Binärsystem, Hexadezimalsystem, BCD Negative Zahlen 1er / 2er Komplement Floating Point - wissenschaftliche Zahlen ASCII / Unicode-Kodierung Schlußfolgerung April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 2

3 Zahlwahrnehmung Wieso hat der Mensch den Zahlbegriff entwickelt? Beobachtung der Natur Wunsch, sich darüber zu verständigen Voraussetzung: Alle Menschen haben die gleiche Zahlwahrnehmung Ist das wirklich so? April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 3

4 Zahlwahrnehmung April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 4

5 Zählen Zählen Zahlgefühl Natürliche Grenze liegt bei 3-5 Für alles weitere muss man zählen Man benötigt ein Zahlensysstem April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 5

6 Zahlensysteme Was macht ein Zahlensystem aus? Künstlich geschaffenes System Bijektion Objekt/Symbol Element einer Menge Symbole in Beziehung setzten Rechnen Sollte möglichst allgemein verständlich sein April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 6

7 Zahlzeichen April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 7

8 Zahlzeichen Der Mensch hat viele verschiedene Möglichkeiten entwickelt, Zahlen symbolisch darzustellen Konkrete Zahlzeichen Gegenstände aller Art Kerben in Knochen oder Holz Geknotete Schnüre Gesten mit Fingern, Zehen und anderen Körperteilen April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 8

9 Zahlzeichen Mündliche Zahlzeichen Die Einheit: Sonne, Mond Das Paar: Augen, Flügel eines Vogels Die Drei: Blätter des Klees Die Vier: Pfoten eines Tieres Vom Sinneseindruck losgelöste Zahlwörter eins, zwei, drei Schriftliche Zahlzeichen Graphische Zeichen aller Art April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 9

10 Zahlensysteme mit verschiedenen Basen Dualsystem Quinärsystem Oktalsystem Dezimalsystem Doudezimalsystem Hexadezimalsystem Vigesimalsystem Sexagesimalsystem Repräsentation im Rechner Zählen mit einer Hand Menschenlesbare Darstellung von Maschinenzahlen Zählen mit den Fingern Dutzend, gut zu rechnen Menschenlesbare Darstellung von Maschinenzahlen Zählen mit Fingern und Zehen Astronomie, Mathematik Basis 2 Basis 5 Basis 8 Basis 10 Basis 12 Basis 16 Basis 20 Basis 60 April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 10

11 Eigenschaften der Basis Man benötigt eine für den Menschen überschaubare Größenordnung als Basis kleinere Basis längere Darstellung einfacheres System wenig Zahlzeichen überschaubares "1x1" Grössere Basis kürzere Darstellung schwierigeres System viele Zahlzeichen quadratisch wachsendes "1x1" April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 11

12 Zahlendarstellung Basis des Zahlensystems: B Ziffer: a i {0, 1, 2,, B-1} Zahl: <a 0, a 1, a 2,, a n > Wert: geschrieben: a n a n-1 a 2 a 1 a 0 a 0 *B 0 + a 1 *B a n *B n n = Σ a i *B i i=1 April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 12

13 Zahlendarstellung April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 13

14 Umwandlung Binär Hexadezimal Einfache Lesbarkeit Höhere Informationsdichte April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 14

15 Verschiedene Zahlensysteme Binär Oktal Dezimal Hexadezimal A April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 15

16 BCD Binary Coded Decimal Zahlenformat in COBOL Darstellung von Brüchen Vermeidung von Rundungsfehlern Anwendung bei Versicherungen / Banken April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 16

17 Basiskonversion Wunsch: Jedes Zahlensystem in jedes andere überführen Algorithmus: Umzurechnende Zahl: A, neue Zahl: B=0 Alte Basis: B A, neue Basis: B B Schrittzähler: n=0 Teile (ganzzahlig mit Rest) Zahl A durch neue Basis B B Speichere Ergebnis wieder in A zur Basis B A Füge den Rest als Ziffer zur Basis B B an Stelle n in B ein Nächster Schritt: n += 1 Solange, bis Zahl A=0 April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 17

18 Basiskonversion April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 18

19 Grundrechenarten Binär Angelehnt an schriftliche Addition / Multiplikation Wegen Basis 2 sehr einfach Multiplikation zurückgeführt auf Addition April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 19

20 Negative Zahlen Wunsch: Auch negative Zahlen darstellen 1. Bit codiert Vorzeichen (Sign Bit) Weniger Bits für eigentliche Zahl übrig Vorsicht beim Rechnen! April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 20

21 Einerkomplement Andere Darstellung negativer Zahlen Ersetzte jede 0 durch eine 1, jede 1 durch 0 Bitweise Negation Enthält ebenfalls Vorzeichenbit April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 21

22 Einerkomplement Darstellung ist eindeutig +20: -20: Zwei Darstellungen der Null: +0: -0: April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 22

23 Zweierkomplement Weitere Darstellung negativer Zahlen Ersetzte jede 0 durch eine 1, jede 1 durch 0 Bitweise Negation Addiere 1 Enthält Vorzeichenbit April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 23

24 Zweierkomplement Es gibt keine negative 0 Hat andere Singularität : ist sein eigenes Komplement: = Unsymmetrisch +20: -20: April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 24

25 Graphische Darstellung: 2er Komplement April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 25

26 Subtraktion in Komplementdarstellung Vorteil: Subtraktion = Addition einer negativen Zahl Nur ein Algorithmus / Schaltwerk nötig Problem: Overflow / Bereichsüberschreitung April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 26

27 Subtraktion in Komplementdarstellung April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 27

28 Fließkommazahlen Warum? Auch rationale Zahlen darstellen Sehr große und sehr kleine Zahlen darstellen Lieber feste Anzahl relevanter Stellen als fester Wertebereich Keine feste Position für den Dezimalpunkt Floating Point (FP) Fließkomma-Maschinenzahlen (FKM) April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 28

29 Fließkommazahlen Wie? Angelehnt an wissenschaftliche Notation: = * = * 10 0 = * 2 1 Darstellung ist nicht eindeutig April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 29

30 Prinzip Fließkommazahlen Jede reelle Zahl läßt sich ausdrücken durch ± Mantisse * Basis Exponent Basis im wissenschaftlichen System: 10 Basis im Rechner: 2 (bzw. 2 n ) April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 30

31 Darstellung Fließkommazahlen April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 31

32 Dynamik Fließkommazahlen April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 32

33 Standards Fließkommazahlen Standards definiert in IEEE 754, 1985 Single Precision (32 Bit) Bereich: Double Precision (64 Bit) Bereich: Extended Precision (80 Bit) Meist nur intern benutzt April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 33

34 Normierung Fließkommazahlen 1 Vorzeichenbit: 0 = positiv, 1 = negativ Mantisse: normalisiert, d.h. führendes Bit = 1 ( kann deshalb weggelassen werden ) Basis = 2 Exponent + 127, um das Vorzeichen des Exonenten nicht abspeichern zu müssen April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 34

35 Normierung Fließkommazahlen April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 35

36 Fließkommazahlen April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 36

37 Probleme Fließkommazahlen Darstellung nicht eindeutig A == B? Nicht jede reelle Zahl läßt sich exakt darstellen: 1 /3 = Rechenoperationen (insbesondere Multiplikation und Division) relativ aufwendig, Berechnung im Floating-Point-Prozessor VL: Numerische Methoden der Informatik April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 37

38 ASCII American Standard Code for Information Interchange 127 Zeichen (7 Bit) Alphabet Ziffern Sonderzeichen Steuerzeichen Erweiterung: 256 Zeichen (8 Bit) Unicode: Zeichen (16 Bit) April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 38

39 Unicode April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 39

40 Schlußfolgerung I Jede Zahl / Information läßt sich im Binärsystem darstellen Die meisten Rechenoperationen lassen sich auf elementare Operationen (Addition) zurückführen April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 40

41 Schlußfolgerung II Jede Zahl / Information läßt sich beliebig genau im Rechner darstellen Jede Rechenoperation läßt sich beliebig genau durchführen Für Grundrechenarten gibt es effiziente Algorithmen Einschränkungen durch Geschwindigkeit und Speichergröße April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 41

42 Literatur und Links Universalgeschichte der Zahlen Georges Ifrah, GLB Parkland, 1998 Structured Computer Organization Andrew S. Tanenbaum, Prentice Hall, 1999 Vorlesung: Numerische Methoden der Informatik (voraussichtlich WS 02/03) elearn.rvs.uni-bielefeld.de April 25, 2002 Vorlesung 2: Zahldarstellung 42

43 Technische Informatik I Nächste Woche: Vorlesung 3: Bool sche Algebra Mirco Hilbert

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