1. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren

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1 1. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Tutorium Nr. 25 Alexis Tobias Bernhard Fakultät für Informatik, KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Programm für heute Organisatorisches Zahlensysteme Darstellung negativer Zahlen Kommadarstellungen Codes (BCD-, Gray-, Aiken- und Stibitz-Code) 2

3 Vorstellung Name: Alexis Tobias Bernhard Alter: 21 Jahre alt Studium: Bachelor Informatik im 6. Semester Mail: Internetseite mit Tutfolien: alexis.ars-felidae.com Wer seid Ihr? 3

4 Organisatorisches Vorlesungshomepage: ti.itec.uka.de Vorlesungsfolien Folien der Saalübung Übungsblätter mit Lösungen Tutoriumsaufgaben Literaturangaben Bei Fragen direkt fragen, wenn die Frage auftaucht! Tutorium ersetzt nicht die Vorlesung & Übung! Die Tutoriumsfolien erheben keinen Anspruch auf absolute Korrektheit! 4

5 Übungsschein Freiwillige Bearbeitung von Übungsblättern Der Übungsschein gibt zwei Bonuspunkte auf eine bestandene Klausur Folgende Bedingungen müssen dazu erfüllt sein: Rechtzeitige Abgabe von min. 10 / 12 Übungsblättern Erreichen von >50% aller Punkte auf allen Übungsblättern zusammen Teilnahme an den Tutorien bei denen das Übungsblatt besprochen wird 5

6 Übungsblätter Übungsblätter erscheinen meistens montags auf ti.ira.uka.de Bearbeitung bis zum darauffolgenden Montag um 13:15 Uhr Einwurf in den zugehörigen Kasten im Keller des Gebäudes Keine Abgabe in Lerngruppen! Das erste Übungsblatt kommt heute heraus und muss bis übernächsten Montag (09.05.) abgegeben werden 6

7 Klausur Nächstes Frühjahr (normalerweise Ende Februar) Tutorium besuchen & Übungsblätter machen! Noch organisatorische Fragen? 7

8 Zahlensysteme Binäres Zahlensystem (2-adische Darstellung) Oktales Zahlensystem (8-adische Darstellung) Dezimales Zahlensystem (10-adische Darstellung) Hexadezimales Zahlensystem (16-adische Darstellung) Warum existieren die ganzen Zahlensysteme? Wie erfolgt die Umrechnung der Zahlen? 8

9 Umwandlungsverfahren Euklidischer Algorithmus Horner-Schema Spezialumwandlungen 9

10 Euklidischer Algorithmus Z = z n 10 n + + z z 0 + z z m 10 m = y p b p + + y 1 b + y 0 + y 1 b y q b q Durchführung: 1. Berechne p mit b p Z < b p+1 2. y i = Z i div b i, R i = Z i mod b i 3. Wiederhole 2. für i = p-1 und setze Z i = R i+1 bis R i = 0 oder b i < tol 10

11 Euklidischer Algorithmus - Beispiel Umrechnung von Z = ins Dualsystem < 2 4 p = 3 11 : 2 3 = 1, Rest: 3 3 : 2 2 = 0, Rest: 3 3 : 2 1 = 1, Rest: 1 1 : 2 0 = 1, Rest: = Verfahren terminiert da Rest: 0 11

12 Horner-Schema (Vorkommateil) Geg. Z, b Ges. Z b Z b = q 0, Rest R 0 q 0 b = q 1, Rest R 1 q 1 b = q 2, Rest R 2 q n 1 b = 0, Rest R n Umrechnung von zur Basis : 16 = 4, Rest 14 4 : 16 = = 4E 16 Z b = R n R 1 R 0 12

13 Horner-Schema (Nachkommateil) Geg. Z, b Ges. Z b Z * b = v 0,n 0 n 0 * b = v 1,n 1 n 1 * b = v 2,n 2 n m 1 * b = v m,0 Umrechnung von 0, zur Basis 8 0, * 8 = 0,625 0,625 * 8 = 5,0 0, = 0,05 8 Z b = 0,v 0 v 1 v m 13

14 Spezialumwandlungen Anwendbar bei Umrechnung von Zahlen zu den Basen 2 und 2 x Beispiel: Umwandlung von einer Oktalzahl zu einer Binärzahl 35 8 = = = =

15 Übungsaufgabe 1 Vervollständigen Sie folgende Tabelle: Dezimalzahl Dualzahl Oktalzahl Hexadezimalzahl CB 43,52 110, , Alexis Tobias Bernhard Tutorium 25

16 Darstellung von negativen Zahlen Vorzeichen-Betrag-Darstellung Einerkomplement-Darstellung Zweierkomplement-Darstellung Exzesscode (Offset-Binary-Darstellung) 16

17 Vorzeichen-Betrag-Darstellung Bildung: Das am weitesten links stehende Bit (Most Significant Bit = MSB) dient als Vorzeichen in einer Zahl Z MSB = 0 Z ist positiv MSB = 1 Z ist negativ Beispielzahlen: = =

18 Einerkomplement Bildung: Bitweises Negieren einer positiven Zahl, um ihr negatives Äquivalent zu erhalten Bsp.: Darstellung von 5 10 mit 4 Bit: (0101) 2 = (EK) Vorteil gegenüber Vorzeichen-Betrag-Darstellung: Addition ist ohne Unterscheidung zwischen pos. und neg. Zahlen möglich 18

19 Zweierkomplement Bildung: Berechnung des Einerkomplements und addieren von +1 bei negativen Zahlen Bsp.: Darstellung von 5 10 mit 4 Bit Zahlenbereich bei 4 Bit: -8 bis = 1010 EK = 1011 ZK Vorteil gegenüber Einerkomplement: Keine doppelte Darstellung der Zahl 0 19

20 Exzesscode (Offset-Binary-Darstellung) Bildung: Verschieben des Nullpunktes auf der Zahlengerade, die kleinste Zahl ist und die größte Zahl ist Bsp.: Excess-3 mit 3 Bit: = = 4 10,, = 0 10, =

21 Übungsaufgabe 2 Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem im Dualsystem x + y = x - y = 1100 Die Koeffizienten seien vorzeichenlose Dualzahlen. Ermitteln Sie x und y. Führen Sie alle notwendigen Berechnungen im Dualsystem durch Geben Sie die 8-Bit Darstellung von in: Vorzeichen-Betrag-Form Einerkomplement-Form Zweierkomplement-Form an. 21

22 Kommadarstellungen Festkommadarstellung Gleitkommadarstellung 22

23 Festkommadarstellung Das Komma ist an einer festen Stelle in einem Maschinenwort Vorteile: einfach Nachteile: Sehr große und sehr kleine Zahlen sind nicht darstellbar Bei Verlassen des Zahlenbereichs können Abgeschlossenheit, Assoziativgesetz und Distributivgesetz verletzt werden Lösung: Gleitkommadarstellung 23

24 Gleitkommadarstellung Eine Gleitkommazahl wird durch drei Werte definiert: Vorzeichen-Bit Mantisse: Ziffern der Zahl Exponent: Verschiebung der Zahl auf die erste Ziffer 0 X b = ( 1) Vz * (0,Mantisse) * b Exponent Der Exponent wird in der Offset-Darstellung gespeichert und dann als Charakteristik bezeichnet Exponent = Charakteristik - b y 1 x y y-1 x x-1 0 Vz Charakteristik Mantisse Alexis Tobias Bernhard Tutorium 25

25 Normalisierung von Gleitkommazahlen Jede Binärzahl enthält mindestens eine Eins Normalisierte Darstellung: Die erste Eins mit dem Exponent wird vor das Komma geschoben Normalisierte Darstellung Vorteile: Gewinn eines Bits bei der Mantisse (da die Eins vor dem Komma) Nachteile: Nicht anwendbar auf sehr kleine Zahlen, da Exponent zu groß Spezielle Darstellung der Null wird benötigt 25

26 IEEE 754 Standard Einheitliches Format zur Festlegung der Bits von dem Vorzeichen, dem Exponenten und der Mantisse Mehrere Darstellungsformen einer Gleitkommazahl IEEE single: 32 Bit ( float ) Vz Charakteristik Mantisse 8 Bit 23 Bit IEEE double: 64 Bit Vz Charakteristik Mantisse 11 Bit 52 Bit IEEE extended: 80 Bit Alexis Tobias Bernhard Tutorium 25

27 Charakteristik im IEEE 754 Standard 1 Charakteristik 254: Exponent = Charakteristik 127 Normalisierung Charakteristik = 0: Kleinstmöglicher Exponent (-126) Keine Normalisierung (wegen Null!) Charakteristik = 255: Mantisse = 0: Überlauf ( ) Mantisse 0: NaN (Not a Number) 27

28 Übersicht: Zahlen im IEEE 754 Standard 28

29 minreal, maxreal minreal = kleinste normalisierte Zahl Vorzeichenbit = 0 kleinste Charakteristik kleinste Mantisse minreal = = (1,0 00) 2 * = maxreal = größte normalisierte Zahl Vorzeichenbit = 0 größte Charakteristik größte Mantisse maxreal = = (1,1 11) 2 * = ( ) * = (1 + ( )) * =

30 smallreal smallreal = kleinste Zahl, die man zu 1 addieren kann, um einen von Eins verschiedenen Wert zu erhalten Vorzeichenbit = 0 Charakteristik kleinste Mantisse (von Eins verschieden) minreal = = (0,0 01) 2 * 2 1 =

31 Übungsaufgabe 3 Wandeln Sie in das 32-Bit-Format des IEEE-754-Standard um. Stellen Sie die Gleitkommazahl als hexadezimale Zahl dar. 31

32 Übungsaufgabe 4 Gegeben sei das folgende Maschinenformat für die Darstellung von Gleitkommazahlen: Bit Vz Charakteristik Mantisse Vorzeichen: VZ = 0 positive Zahl VZ = 1 negative Zahl Charakteristik = Exponent Die Mantisse liegt im Zahlenbereich 16 1 Mantisse ( ) Alexis Tobias Bernhard Tutorium 25

33 Übungsaufgabe 4: Aufgaben Geben Sie in obigem Format die größte und die kleinste negative Zahl in normalisierter und in nichtnormalisierter Maschinendarstellung an. Was sind die Vor- und Nachteile, wenn man statt der Basis 16 die Basis 2 verwendet? Was ändert sich, wenn man (im Fall der Basis 2) ein Bit der Mantisse aufgibt zugunsten eines Bits für die Charakteristik? 33

34 Codes Kodieren von dezimalen Zahlen als binäre Zahlen und umgekehrt BCD-Code Gray-Code Aiken-Code Stibitz-Code 34

35 BCD-Code BCD = Binary Coded Decimal Eine dezimale Ziffer wird durch ihr Äquivalent im Dualsystem durch 4 Bits(Tetrade) dargestellt Die hexadezimalen Ziffern, die keine dezimale Ziffer darstellen heißen Pseudotetraden und sind ungültig (A, B, C, D, E, F) Kommadarstellung meist durch Festkomma-Darstellung Beispiel: BCD =

36 BCD-Code: Codetabelle (4 Bit) Wert Codewort Wert Codewort Alexis Tobias Bernhard Tutorium 25

37 Grey-Code Code, bei dem sich benachbarte Codewörter nur in einer Ziffer unterscheiden Das gilt auch für das niedrigste und höchste Codewort Codetabelle (3 Bit): Wert Codewort Wert Codewort Alexis Tobias Bernhard Tutorium 25

38 Aiken-Code Tetraden und Darstellungen wie beim BCD-Code Pseudotetraden: 5, 6, 7, 8, 9, A Codetabelle (4 Bit) Wert Codewort Wert Codewort Alexis Tobias Bernhard Tutorium 25

39 Stibitz-Code Tetraden und Darstellungen wie beim BCD-Code (= BCD-Code+3) Pseudotetraden: 0, 1, 2, D, E, F Codetabelle (4 Bit) Wert Codewort Wert Codewort Alexis Tobias Bernhard Tutorium 25

40 Übungsaufgabe 5 Vervollständigen Sie folgende Tabelle: Dezimalzahl BCD-Kode AIKEN-Kode STIBITZ-Kode 13, , , , Alexis Tobias Bernhard Tutorium 25

41 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Gibt es noch Fragen? 41