Musterlösung 1. Mikroprozessortechnik und Eingebettete Systeme 1 WS2015/2016

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1 Musterlösung 1 Mikroprozessortechnik und Eingebettete Systeme 1 WS2015/2016 Hinweis: Die folgenden Aufgaben erheben nicht den Anspruch, eine tiefergehende Kenntnis zu vermitteln; sie sollen lediglich den Einstieg in weiterführende Literatur erleichtern. Thema: Zahlensysteme (positive, negative und Bruchzahlen) Übungsblatt Nr.: 1 Datum:

2 Aufgabe 1 (Binär nach Dezimal) a) Wandeln Sie die Binärzahl in eine Dezimalzahl um = = = b) Wandeln Sie die Binärzahl in eine Dezimalzahl um = = = Aufgabe 2 (Dezimal nach Binär) a) Wandeln Sie die Dezimalzahlen 171 und 234 jeweils in eine Binärzahl um. 171 : 2 = 85 Rest: 1 (LSB) 85 : 2 = 42 Rest: 1 42 : 2 = 21 Rest: 0 21 : 2 = 10 Rest: 1 10 : 2 = 5 Rest: 0 5 : 2 = 2 Rest: 1 2 : 2 = 1 Rest: 0 1 : 2 = 0 Rest: 1 (MSB) = : 2 = 117 Rest: 0 (LSB) 117 : 2 = 58 Rest: 1 58 : 2 = 29 Rest: 0 29 : 2 = 14 Rest: 1 14 : 2 = 7 Rest: 0 7 : 2 = 3 Rest: 1 3 : 2 = 1 Rest: 1 1 : 2 = 0 Rest: 1 (MSB) =

3 b) Wandeln Sie die Zahl 124,68 in eine Binärzahl (mit 8 Stellen hinter dem Komma) um. 124 : 2 = 62 Rest: 0 (LSB) 62 : 2 = 31 Rest: 0 31 : 2 = 15 Rest: 1 15 : 2 = 7 Rest: 1 7 : 2 = 3 Rest: 1 3 : 2 = 1 Rest: 1 1 : 2 = 0 Rest: 1 (MSB) = (0) Die führende Null ist an dieser Stelle optional. Wie im Dezimalsystem können Sie beliebig viele führende Nullen einfügen, sofern es sich um eine vorzeichenlose Binärzahl handelt. 0,68 * 2 = 1,36 Rest: 1 (MSB) 0,36 * 2 = 0,72 Rest: 0 0,72 * 2 = 1,44 Rest: 1 0,44 * 2 = 0,88 Rest: 0 0,88 * 2 = 1,76 Rest: 1 0,76 * 2 = 1,52 Rest: 1 0,52 * 2 = 1,04 Rest: 1 0,04 * 2 = 0,08 Rest: 0 (LSB) 0,6810 = Zusammen: 124,6810 = , Aufgabe 3 (Hexadezimal nach Dezimal) Es gilt: n 1 I 16 (a n 1 a 0 ) = I 16 (a i ) 16 i i=0 mit: I 16 (0) = 0, I 16 (1) = 1,, I 16 (A) = 10,, I 16 (F) = 15 Diese Formel gilt übrigens auch analog mit jeder beliebigen anderen Basis. Vergleichen Sie z.b. Aufgabe 1 mit I 2 statt I 16. a) Wandeln Sie die hexadezimale (sedezimale) Zahl 89AB in eine Dezimalzahl um. 89AB 16 = = =

4 b) Wandeln Sie die hexadezimale Zahl FE00 in eine Dezimalzahl um. FE00 16 = = = Aufgabe 4 (Dezimal nach Hexadezimal) a) Wandeln Sie die Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl um : 16 = 771 Rest: 9 (9) 771 : 16 = 48 Rest: 3 (3) 48 : 16 = 3 Rest: 0 (0) 3 : 16 = 0 Rest: 3 (3) = b) Wandeln Sie die Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl um : 16 = 6172 Rest: 13 (D) 6172 : 16 = 385 Rest: 12 (C) 385 : 16 = 24 Rest: 1 (1) 24 : 16 = 1 Rest: 8 (8) 1 : 16 = 0 Rest: 1 (0) = 181CD16 Aufgabe 5 (Dezimal nach Oktal, Oktal nach Dezimal) a) Wandeln Sie die Dezimalzahl 2014 in eine Oktalzahl um : 8 = 251 Rest: : 8 = 31 Rest: 3 31 : 8 = 3 Rest: 7 3 : 8 = 0 Rest: = b) Wandeln Sie die Oktalzahl 2014 in eine Dezimalzahl um = = = Aufgabe 6 (Oktal nach Binär, Oktal nach Hexadezimal) Gegeben sei die Oktalzahl Wandeln Sie diese Zahl a) in eine Binärzahl um. 2 8 = 010 2

5 0 8 = = = = b) in eine Hexadezimalzahl (mit Hilfe der errechneten Binärzahl) um (Die Leerzeichen dienen nur zur besseren optischen Darstellung) = C = = = 40C 16 Aufgabe 7 (Hexadezimal nach Binär, Hexadezimal nach Oktal) Gegeben sei die Hexadezimalzahl DA. Wandeln Sie diese Zahl a) in eine Binärzahl um. D 16 = A 16 = DA 16 = c) in eine Oktalzahl (mit Hilfe der errechneten Binärzahl) um (Die Leerzeichen dienen nur zur besseren optischen Darstellung) = = = 3 8 DA 16 = Aufgabe 8 (Binäre Operationen) Gegeben sind zwei binäre Operanden: 1. Operand: Operand: Führen Sie folgende Operationen durch: a) Addieren Sie die beiden Operanden. Binär Hex Dez D C2 194 b)verknüpfen Sie die beiden Operanden bitweise mit dem UND-Operator UND

6 c) Verknüpfen Sie die beiden Operanden bitweise mit dem ODER-Operator ODER d) Verknüpfen Sie die beiden Operanden bitweise mit dem XOR-Operator XOR Einschub: Herleitung des Zweierkomplements Hinweis: Beachten Sie zunächst Aufgabe 13, um zu verstehen, warum in der Regel mit dem Zweierkomplement gerechnet wird. Durch die Verwendung des Zweierkomplements entfällt die Angabe des Vorzeichens einer Zahl, da dies implizit als erstes Bit einer Binärzahl dargestellt wird. Dies ermöglicht es, eine Subtraktion mittels einer Addition durchzuführen (vgl. Aufgabe 11), sodass keine Fallunterscheidung der Zahlen erfolgen muss. Zur Umwandlung zwischen Dezimalzahlen und Binärzahlen in Zweierkomplementdarstellung sind folgende Schritte durchzuführen: Positive Dezimalzahl in Binärzahl: PD1: Umwandlung wie bei vorzeichenlosen Zahlen (vgl. Aufgabe 2) PD2: Führende Null anfügen Negative Dezimalzahl in Binärzahl: ND1: Betrag der Zahl bilden, also das Vorzeichen entfernen ND2: Umwandeln in Binärdarstellung wie bei vorzeichenloser Zahl ND3: Alle Bits invertieren (entspricht Einerkomplementdarstellung) ND4: 1 addieren Positive Binärzahl in Dezimalzahl: PB1: Umwandlung wie bei vorzeichenlosen Zahlen (vgl. Aufgabe 1) Negative Binärzahl in Dezimalzahl: NB1: Alle Bits invertieren NB2: 1 addieren NB3: Umwandeln in Dezimaldarstellung wie bei vorzeichenloser Zahl NB4: Negatives Vorzeichen hinzufügen Aufgabe 9 (Dezimal in das Zweierkomplement) a) Bilden Sie das Zweierkomplement im Binärsystem für die Zahl -27. ND1: = 27 2 ND2: 27 2 = ND3: = ND4: =

7 b) Bilden Sie das Zweierkomplement im Binär- und Hexadezimalsystem für die Zahl ND1: = ND2: = ND3: = ND4: = Hexadezimal: = CAF5 Aufgabe 10 (Zweierkomplement nach Dezimal) a) Wandeln Sie die Binärzahl in eine vorzeichenbehaftete Dezimalzahl um. Das höchstwertige Bit ist 1, also ist die Zahl negativ. NB1: = NB2: = NB3: = NB4: b) Wandeln Sie die Binärzahl sowohl in eine nicht vorzeichenbehaftete als auch eine vorzeichenbehaftete Dezimalzahl um. Nicht vorzeichenbehaftet: PB1: = Vorzeichenbehaftet: NB1: = NB2: = NB3: = NB4: Aufgabe 11 (Subtraktion) Führen Sie folgende im Dezimalsystem angegebenen Subtraktionen im Binärsystem durch: a) ( ) = = Zweierkomplement: = Überlauf, wird ignoriert Ergebnis = 72 10

8 b) ( ) = = Zweierkomplement: = Zweierkomplement: = c) ( ) = Zweierkomplement: = Zweierkomplement: = Zweierkomplement: = Aufgabe 12 (Subtraktion, Addition) a) Führen Sie die Subtraktion im Binärsystem durch ( ) = = Zweierkomplement: = Zweierkomplement: = b) Vorgegeben ist die Rechnung Es handelt sich um vorzeichenbehaftete Zahlen. Führen sie die Rechnung sowohl im Binär-, als auch im Dezimalsystem durch. Binär: Dezimal: = = = ( )

9 Aufgabe 13 (Einerkomplement, Zweierkomplement) Wandeln Sie die Zahlen 1, 0,-0,-1 in eine vorzeichenbehaftete Binärzahl, eine Einerkomplementzahl und eine Zweierkomplementzahl um. Allgemein Für alle drei Darstellungen gilt, dass die Zahlen eine feste Breite haben. In diesen Beispielen 4 Bit. Es kann vorkommen, dass ein Ergebnis einer Operation um ein Bit breiter ist. Dieses Bit wird je nach Situation Carry oder Overflow genannt, wird aber bei der Betrachtung des Zahlenwerts ignoriert. In einer späteren Vorlesung lernen Sie, warum dieses Bit für den Mikroprozessor trotzdem eine große Relevanz besitzt. Vorzeichenbehaftete Binärzahl Beachten Sie bitte, dass es sich in diesem Absatz um einen theoretischen Ansatz zur Zahlendarstellung handelt. Diese Darstellung wird in der Realität nicht verwendet, sondern wird hier nur der Vollständigkeit halber angegeben. Der eigentlich naheliegende Ansatz zur Darstellung von vorzeichenbehafteten Binärzahlen ist, das erste Bit als Vorzeichen zu wenden (0=positiv, 1=negativ) und alle weiteren Bits zur Darstellung des Wertes zu nutzen. Entsprechend würde sich folgende Schreibweise ergeben: 0 2 = = = = = = = = = = = = = = = = Grundlegender Nachteil dieser Darstellung ist zunächst, dass es zwei Darstellungen für die Null (positiv und negativ) gibt. Darüber hinaus ist die Durchführung einer Rechnung in dieser Darstellungsform umständlich. Denn bereits beim Addieren muss unterschieden werden, ob die Vorzeichen identisch oder verschieden sind. Sind die Vorzeichen gleich, können die Beträge ohne Berücksichtigung der Vorzeichen addiert werden, und anschließend das Vorzeichen wieder gesetzt werden. Sind die Vorzeichen ungleich, muss eine Subtraktion ausgeführt werden. Dabei muss aber stets der Betrag der kleineren Zahl von dem Betrag der größeren Zahl abgezogen werden und im Anschluss das Vorzeichenbit wieder korrekt gesetzt werden.

10 Einerkomplement Für positive Zahlen ändert sich bei der Darstellung im Einerkomplement nichts. Negative Zahlen sind in dieser Darstellung bitweise invers zu den betragsmäßig gleichen positiven Zahlen. Das erste Bit stellt auch hier das Vorzeichen dar, muss aber nicht gesondert betrachtet werden, da durch die Inversion das Bit automatisch den richtigen Wert annimmt. Zu beachten gilt es, dass in dieser Darstellung der betragsmäßig kleinste negative Wert nicht mehr durch eine Folge von Nullen, sondern durch Einsen dargestellt wird. Der größte Wert verhält sich Analog. 0 2 = = = = = = = = = = = = = = = = In dieser Darstellung entfällt bei der Berechnung die Fallunterscheidung, da negative Zahlen in Einerkomplementdarstellung einfach addiert werden können. Die doppelte Null erfordert jedoch im Fall eines Wechsels zwischen den positiven/negativen Bereich eine Korrektur des Ergebnisses. Beispiel: Das erwartete Ergebnis einer dezimalen Rechnung wäre 4, jedoch entspricht die Binärdarstellung einer 3. Offensichtlich ist das Ergebnis genau um 1 daneben, was sich durch das doppelte Auftreten der 0 erklären lässt. Es werden nur die Bits betrachtet, die innerhalb der festgelegten Breite liegen. Zur Korrektur müssen Sie den Wert um 1 erhöhen, wenn das Ergebnis positiv ist, bzw. um 1 erniedrigen, wenn das Ergebnis negativ ist.

11 Zweierkomplement (B-2) In der Zweierkomplementdarstellung werden positive Zahlen weiterhin wie gehabt dargestellt. Für negative Zahlen wird zunächst das Einerkomplement gebildet und im Anschluss eine 1 auf das Ergebnis addiert. 0 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = Zwei Dinge fallen in dieser Darstellung sofort auf. Die negative Null entspricht, da der Überlauf wie bereits beschrieben ignoriert wird, genau der Darstellung der positiven Null. Es gibt also nur eine Null. Da nun auf der negativen Seite die Null entfällt, kann dieser Bereich um eine weitere Ziffer nach unten erweitert werden. Durch entfallen der negativen Null muss nun auch keine Korrektur mehr durchgeführt werden, falls eine Bereichsgrenze überschritten wird. Beispiel: