Binärzahlen. Vorkurs Informatik. Sommersemester Institut für Informatik Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf

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1 Binärzahlen Vorkurs Informatik Institut für Informatik Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Sommersemester 2016

2 Gliederung 1 Das Binärsystem Einleitung Darstellung 2 Umrechen Modulo und DIV Dezimal in Binär Binär in Dezimal 3 Rechnen mit Binärzahlen 4 Hexadezimal- und Oktalsystem 5 Pingo

3 Zitat Es gibt nur 10 Arten von Menschen auf der Welt: Die, die Binärzahlen verstehen, und die, die sie nicht verstehen. 11/100011

4 Motivation Warum Binärzahlen? Computer kennen nur zwei Zustände. Vereinfacht gesagt: An und Aus Wir bezeichnen diese Zustände mit 0 und 1. Also muss alles was ein Computer verstehen soll mit Nullen und Einsen kodiert werden. 100/100011

5 Denken wir über etwas selbstverständliches nach. Aufgabe 1 Versucht jeder in wenigen Sätzen aufzuschreiben, wie man im Dezimalsystem zählt. (5 Minuten) Diskutiert eure Beschreibung mit eurem Nachbarn und erstellt eine gemeinsame Version. (10 Minuten) Bitte meldet euch, wenn ihr gar keine Ansätze findet. Anschließend sollen einige von euch Ihre Beschreibung vorstellen /100011

29 Das Binärsystem Wir wollen nun also mit zwei Ziffern, 0 und 1, zählen: /100011

37 Das Binärsystem Wir wollen nun also mit zwei Ziffern, 0 und 1, zählen: Aufgabe 2 Zählt im Kurs durch, wie viele Ihr seid - binär natürlich. 110/100011

38 Darstellung Dezimalzahlen stellt man mit dem Index 10 dar. x 10 oder x (10) Binärzahlen stellt man mit dem Index 2 dar. x 2 oder x (2) Wir werden im Weiteren die Schreibweise ohne Klammern verwenden. 111/100011

40 Modulo Modulo gibt den Rest einer Division aus. Wir kennen das aus der (Grund)schule: 7 5 = 1 Rest 2 Also ist 7 mod 5 = /100011

41 Modulo Modulo gibt den Rest einer Division aus. Wir kennen das aus der (Grund)schule: 7 5 = 1 Rest 2 Also ist 7 mod 5 = 2. Aufgabe 3 Welche möglichen Ergebnisse hat eine Rechnung mod 2? 1001/100011

42 Modulo Modulo gibt den Rest einer Division aus. Wir kennen das aus der (Grund)schule: 7 5 = 1 Rest 2 Also ist 7 mod 5 = 2. Aufgabe 3 Welche möglichen Ergebnisse hat eine Rechnung mod 2? Aufgabe 4 Rechnet 1 18 mod mod mod mod mod /100011

43 DIV Mit DIV bezeichnen wir die ganzzahlige Division. Mit dem Beispiel von eben: 7 5 = 1 Rest 2 Also ist 7 DIV 5 = /100011

44 DIV Mit DIV bezeichnen wir die ganzzahlige Division. Mit dem Beispiel von eben: 7 5 = 1 Rest 2 Also ist 7 DIV 5 = 1. Aufgabe 5 Rechnet 1 18 DIV DIV DIV DIV DIV /100011

45 Dezimal zu Binär Beispiel Wie rechne ich die Zahl in das Binärsystem um? i d b i 1011/100011

46 Dezimal zu Binär Beispiel Wie rechne ich die Zahl in das Binärsystem um? i d b i 0 13 div 2 = 6 13 mod 2 = /100011

47 Dezimal zu Binär Beispiel Wie rechne ich die Zahl in das Binärsystem um? i d b i 0 13 div 2 = 6 13 mod 2 = div 2 = 3 6 mod 2 = /100011

48 Dezimal zu Binär Beispiel Wie rechne ich die Zahl in das Binärsystem um? i d b i 0 13 div 2 = 6 13 mod 2 = div 2 = 3 6 mod 2 = div 2 = 1 3 mod 2 = /100011

49 Dezimal zu Binär Beispiel Wie rechne ich die Zahl in das Binärsystem um? i d b i 0 13 div 2 = 6 13 mod 2 = div 2 = 3 6 mod 2 = div 2 = 1 3 mod 2 = div 2 = 0 1 mod 2 = /100011

50 Dezimal zu Binär Beispiel Wie rechne ich die Zahl in das Binärsystem um? i d b i 0 13 div 2 = 6 13 mod 2 = div 2 = 3 6 mod 2 = div 2 = 1 3 mod 2 = div 2 = 0 1 mod 2 = 1 Ergebnis: = /100011

51 Dezimal in Binär formelle Darstellung Sei n + 1 die Anzahl der binären Ziffern. Sei b = b n... b 0. Sei d die gegebene Dezimalzahl. 1100/100011

52 Dezimal in Binär formelle Darstellung Sei n + 1 die Anzahl der binären Ziffern. Sei b = b n... b 0. Sei d die gegebene Dezimalzahl. d = d div 2, b 0 = d mod /100011

53 Dezimal in Binär formelle Darstellung Sei n + 1 die Anzahl der binären Ziffern. Sei b = b n... b 0. Sei d die gegebene Dezimalzahl. d = d div 2, b 0 = d mod 2 d = d div 2, b 1 = d mod /100011

54 Dezimal in Binär formelle Darstellung Sei n + 1 die Anzahl der binären Ziffern. Sei b = b n... b 0. Sei d die gegebene Dezimalzahl. d = d div 2, b 0 = d mod 2 d = d div 2, b 1 = d mod /100011

55 Dezimal in Binär formelle Darstellung Sei n + 1 die Anzahl der binären Ziffern. Sei b = b n... b 0. Sei d die gegebene Dezimalzahl. d = d div 2, b 0 = d mod 2 d = d div 2, b 1 = d mod 2... Aufgabe 6 Probiert das Verfahren mit den Zahlen und aus. Wandelt beide Zahlen in Binärzahlen um. 1100/100011

56 Dezimal in Binär formelle Darstellung Sei n + 1 die Anzahl der binären Ziffern. Sei b = b n... b 0. Sei d die gegebene Dezimalzahl. d = d div 2, b 0 = d mod 2 d = d div 2, b 1 = d mod 2... Aufgabe 6 Probiert das Verfahren mit den Zahlen und aus. Wandelt beide Zahlen in Binärzahlen um. Aufgabe 7 Diskutiert in Paaren, weshalb das Verfahren immer an einer Stelle zuverlässig endet. 1100/100011

57 Binärzahlen, Dezimalzahlen Ist doch alles das Gleiche. Dezimalzahlen: = = = = /100011

58 Binärzahlen, Dezimalzahlen Ist doch alles das Gleiche. Dezimalzahlen: = = = = Binärzahlen:... 4 = = = /100011

59 Binärzahlen, Dezimalzahlen Ist doch alles das Gleiche. Dezimalzahlen: = = = = Binärzahlen:... 4 = = = = = /100011

60 Binär in Dezimal Beispiel b = /100011

61 Binär in Dezimal Beispiel b = = = = /100011

62 Binär in Dezimal formelle Darstellung Sei d die gesuchte Dezimalzahl. Seien n + 1 die Anzahl der Ziffern. Sei b = b n... b 0 die gegebene Binärzahl. 1111/100011

63 Binär in Dezimal formelle Darstellung Sei d die gesuchte Dezimalzahl. Seien n + 1 die Anzahl der Ziffern. Sei b = b n... b 0 die gegebene Binärzahl. d = b n 2 n + b n 1 2 n b /100011

64 Binär in Dezimal formelle Darstellung Sei d die gesuchte Dezimalzahl. Seien n + 1 die Anzahl der Ziffern. Sei b = b n... b 0 die gegebene Binärzahl. d = b n 2 n + b n 1 2 n b Aufgabe 8 Wandelt die Zahlen und in die Dezimaldarstellung um. 1111/100011

65 Abschluss Binärzahlen Aufgabe 9 Überlegt in Gruppen von 3-5 Personen (10 Minuten): a) Wie viele und welche natürliche Zahlen (inkl. 0) lassen sich mit 8 Bits (also 8 Ziffern) darstellen? b) Bereitet euch darauf vor, eure Lösung und euren Lösungsweg (!) anschließend kurz vorzustellen /100011

67 Wichtige Voraussetzung Wir gehen bei allen folgenden Folien davon aus, dass bei den Rechnungen keine negativen Zahlen auftreten. Es gibt natürlich die Möglichkeit auch mit negativen Binärzahlen zu rechnen, dies geht jedoch über diesen Vorkurs hinaus. Ihr werdet dies spätestens in der Vorlesung Informatik II lernen. Insbesondere ist das Rechnen mit negativen Binärzahlen kein Schulstoff, und daher kein Inhalt des Vorkurses /100011

68 Erinnert ihr euch an schriftliche Addition? /100011

69 Erinnert ihr euch an schriftliche Addition? an schriftliche Subtraktion? /100011

70 Nun in Binär - Beispiel Addition /100011

71 Nun in Binär - Beispiel Addition Subtraktion /100011

72 Aufgaben zum Rechnen Aufgabe 10 Rechnet die folgenden Zahlen erst ins Binärsystem um und führt anschließend die Rechnungen aus: /100011

74 Motivation Schon kleine Binärzahlen sind sehr lang (32 10 hat bereits 6 Stellen). Hierdurch kommt es leicht zu Lese- und Übertragungsfehlern! Daher benutzen wir in der Informatik häufig auch das Hexadezimalsystem und manchmal das Oktalsystem. Da 8 und 16 Vielfache von 2 sind, kann man so besonders einfach mehrere Binärziffern zu einer Oktal- oder Hexadezimalziffer zusammenfassen. Beispiel: Eine 12-stellige Binärzahl wie = lässt sich mit vier Oktalziffern ( ) oder mit drei Hexadezimalziffern (9F 3 16 ) darstellen /100011

75 Das Oktalsystem Das Oktalsystem besteht aus 8 Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, /100011

76 Das Oktalsystem Das Oktalsystem besteht aus 8 Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Dezimal zu Oktal: i d o i DIV mod 8 = DIV mod 8 = DIV mod 8 = = /100011

77 Das Oktalsystem Das Oktalsystem besteht aus 8 Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Dezimal zu Oktal: i d o i DIV mod 8 = DIV mod 8 = DIV mod 8 = = Oktal zu Dezimal: = = = = Genaugenommen müsste man hier an jede Zahl einen Index schreiben. Der Übersichtlichkeit halber schreiben wir diesen nur bei der ersten und der letzten Zahl. Die Zahlen dazwischen sind alle im Dezimalsystem /100011

78 Das Hexadezimalsystem Das Hexadezimalsystem besteht aus 16 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F /100011

79 Das Hexadezimalsystem Das Hexadezimalsystem besteht aus 16 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Dezimal zu Hex: i d h i DIV mod 16 = DIV mod 16 = DIV mod 16 = 1 Wegen = F 16 und = A 16 ergibt sich: = 1AF /100011

80 Das Hexadezimalsystem Das Hexadezimalsystem besteht aus 16 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Dezimal zu Hex: i d h i DIV mod 16 = DIV mod 16 = DIV mod 16 = 1 Wegen = F 16 und = A 16 ergibt sich: = 1AF 16 Hex zu Dezimal: A F 1AF 16 = = = = /100011

81 Aufgabe 11 Füllt folgende Tabelle vollständig aus: Dezimal Binär Oktal Hexadezimal A /100011

82 Vereinfachte Umwandlung Oktal Das war viel Rechenaufwand. Wir benutzen Oktal- und Hexadezimalzahlen aber, um es uns leichter zu machen! Wir schauen uns die Spalten Binär und Oktal nochmal an: Binär Oktal /100011

83 Vereinfachte Umwandlung Oktal Das war viel Rechenaufwand. Wir benutzen Oktal- und Hexadezimalzahlen aber, um es uns leichter zu machen! Wir schauen uns die Spalten Binär und Oktal nochmal an: Nun anders formatiert: Binär Oktal /100011

84 Vereinfachte Umwandlung Oktal Das war viel Rechenaufwand. Wir benutzen Oktal- und Hexadezimalzahlen aber, um es uns leichter zu machen! Wir schauen uns die Spalten Binär und Oktal nochmal an: Nochmal ganz deutlich: Binär 001 }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} 4 Oktal /100011

85 Vereinfachte Umwandlung Oktal Das war viel Rechenaufwand. Wir benutzen Oktal- und Hexadezimalzahlen aber, um es uns leichter zu machen! Wir schauen uns die Spalten Binär und Oktal nochmal an: Nochmal ganz deutlich: Binär 001 }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} 4 Oktal Zusammengefasst: Da 8 = 2 3 gilt, 8 also eine Zweierpotenz ist, können wir jeweils drei Binärziffern zu einer Oktalziffer zusammenfassen! Wichtig ist, dass wir dabei von hinten nach vorne vorgehen! 11011/100011

86 Vereinfachte Umwandlung Hexadezimal 16 ist 2 4. Hier können wir es uns also auch einfach machen: Binär Hex A A /100011

87 Vereinfachte Umwandlung Hexadezimal 16 ist 2 4. Hier können wir es uns also auch einfach machen: Binär 0101 }{{} }{{} }{{} A 1010 }{{} A 0110 }{{} }{{} }{{} 4 Hex 5A 66 A /100011

88 Vereinfachte Umwandlung Hexadezimal 16 ist 2 4. Hier können wir es uns also auch einfach machen: Binär 0101 }{{} }{{} }{{} A 1010 }{{} A 0110 }{{} }{{} }{{} 4 Hex 5A 66 A04 Zusammengefasst: Zur Umwandlung von Binär nach Hexadezimal wandeln wir 4 Binärziffern in eine Hexadezimalziffer um /100011

90 Vorbereitung Ihr könnt jetzt mit einem Gerät eurer Wahl unsere Pingo Session öffnen. ID> 11110/100011

91 Frage 1 Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Mit Binärzahlen kann man weniger ganze Zahlen darstellen als mit Dezimalzahlen. Mit Hexadezimalzahlen kann man mehr ganze Zahlen darstellen als mit Dezimalzahlen. Es ist egal, welche Basis wir wählen, wir können die gleiche Anzahl ganzer Zahlen darstellen /100011

92 Frage 1 Lösung Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Mit Binärzahlen kann man weniger ganze Zahlen darstellen als mit Dezimalzahlen. Mit Hexadezimalzahlen kann man mehr ganze Zahlen darstellen als mit Dezimalzahlen. Es ist egal, welche Basis wir wählen, wir können die gleiche Anzahl ganzer Zahlen darstellen /100011

93 Frage 2 Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Binärzahlen sind im Allgemeinen länger als Dezimalzahlen. Binärzahlen lassen sich in kleinere Abschnitte gruppieren, sodass die Dezimalzahl quasi ablesbar ist. Hexadezimalzahlen sind im Allgemeinen länger als Dezimalzahlen. Binärzahlen lassen sich in kleinere Abschnitte gruppieren, sodass die Oktalzahl quasi ablesbar ist /100011

94 Frage 2 Lösung Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Binärzahlen sind im Allgemeinen länger als Dezimalzahlen. Binärzahlen lassen sich in kleinere Abschnitte gruppieren, sodass die Dezimalzahl quasi ablesbar ist. Hexadezimalzahlen sind im Allgemeinen länger als Dezimalzahlen. Binärzahlen lassen sich in kleinere Abschnitte gruppieren, sodass die Oktalzahl quasi ablesbar ist /100011

95 Frage 3 Welche der folgenden Zahlen können wir mit 6 Binärziffern darstellen? /100011

96 Frage 3 Lösung Welche der folgenden Zahlen können wir mit 6 Binärziffern darstellen? /100011

97 Frage 4 Die Zahl entspricht C /100011

98 Frage 4 Lösung Die Zahl entspricht C /100011

99 Frage 5 Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Eine Binärzahl mit genau zwei Einsen kann als Summe von genau zwei Zweierpotenzen dargestellt werden. Eine Binärzahl, die nur aus Einsen besteht, ist immer der Form 2 n 1 für eine natürliche Zahl n. Alle ungeraden Zahlen haben in Binärdarstellung eine Eins als letzte Ziffer. Um eine Binärzahl mit zwei zu multiplizieren reicht es, eine 0 anzuhängen /100011

100 Frage 5 Lösung Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Eine Binärzahl mit genau zwei Einsen kann als Summe von genau zwei Zweierpotenzen dargestellt werden. Eine Binärzahl, die nur aus Einsen besteht, ist immer der Form 2 n 1 für eine natürliche Zahl n. Alle ungeraden Zahlen haben in Binärdarstellung eine Eins als letzte Ziffer. Um eine Binärzahl mit zwei zu multiplizieren reicht es, eine 0 anzuhängen /100011

101 Lösungen I Lösung 1 Die Ergebnisse dieser Gruppenarbeit werden ausschließlich im Kurs besprochen. Lösung 2 Die Ergebnisse dieser Gruppenarbeit werden ausschließlich im Kurs besprochen. Lösung 3 Eine Rechnung modulo 2 hat entweder das Ergebnis 0 oder das Ergebnis 1. 1/110

102 Lösungen II Lösung mod 10 = mod 2 = mod 5 = mod 2 = mod 100 = 35 Lösung DIV 10 = DIV 2 = DIV 5 = DIV 2 = DIV 100 = 0 10/110

103 Lösungen III Lösung = und = Lösung 7 Sobald d = 0 gilt ändert sich nichts mehr. Da wir die Zahl von unten nach oben lesen, und somit führende Nullen entstehen können wir abbrechen. Lösung = und = /110

104 Lösungen IV Lösung 9 Mit einem Bit können wir 2 = 2 1 Zahlen darstellen: 0 und 1. Mit zwei Bits können wir 4 = 2 2 Zahlen darstellen: 0, 1, 2 und Mit acht Bits können wir 256 = 2 8 Zahlen darstellen: /110

105 Lösungen V Lösung = , 8 10 = , = , = , 7 10 = /110

106 Lösungen VI Lösung 11 Dezimal Binär Oktal Hexadezimal A A /110