Dualzahlen

Transkript

1 Dualzahlen Ein Schüler soll sich eine Zahl zwischen und 6 denken. Nun soll der Schüler seinen Zahl in folgenden Tabellen suchen und die Nummer der Tabelle nennen in welcher sich seine Zahl befindet Hat sich der Schüler z. Bsp. die Zahl 7 gedacht, so wird er die Nummern, und 6 nennen. Der Lehrer kann ihm dann sofort seine gedachte Zahl nennen. Doch wie funktioniert das? Entscheidend zur Berechnung der gedachten Zahl sind die Ziffern die sich links oben in jedem Kästchen befinden. Also: 7 Schaut man sich diese Zahlen (oben links) etwas genauer an, dann stellt man fest, dass es sich hierbei um Zahlen handelt welche alle eine Potenz der Zahl sind. 8 6 Was ist nun passiert? Der Schüler hat gesagt in welchem Kasten seine Zahl steht (ja) und in welchem seine Zahl nicht steht (nein); diese hat er einfach nicht genannt. Fasst man das in einer Tabelle zusammen, dann sieht das so aus: Kasten Nr. 6 Zahl oben links 8 6 Kasten genannt ja nein ja nein nein ja Rechnung Binärzahl

2 Der Schüler hat also ohne es zu wissen seine Zahl in die Bestandteile der entsprechenden Binärzahl umgewandelt und dem Lehrer diese Bestandteile genannt. Der Lehrer hat diese dann wieder in eine normale Zahl umgewandelt. Doch was sind Binärzahlen? Unser Zahlensystem besteht aus den Ziffer,,,,,, 6, 7, 8 und 9. Damit lassen sich alle uns bekannten Zahlen darstellen. Beispiel: 7 Hunderter, 7 Zehner und Einer 7 7 In unserem Zehnersystem ist das alles ganz einfach. Man gibt also die Anzahl der Hunderter, Zehner und Einer an. Ja eigentlich gibt man die Anzahl der verschiedenen Zehnerpotenzen an. Also wie viele, wie viele und wie viele. Gottfried Wilhelm Leibniz hat das Dualsystem (Binärsystem, Zweiersystem) erfunden, in welchem nur zwei Ziffern ( und ) zur Darstellung von Zahlen benutzt werden. Mit der Entwicklung der Digitaltechnik erlangte das Dualsystem dann erst an großer Bedeutung. In der Digitaltechnik werden Zahlen in eine Ziffernfolge aus -en und -en umgewandelt und können somit elektronisch sehr gut verarbeitet (ja sogar gespeichert) werden. So bedeutet die Ziffer Strom an und die Ziffer bedeutet Strom aus. Auf diese Art und Weise lässt sich sogar mit diesen Zahlen rechnen Wollen wir nun mal ein paar Zahlen im Zehnersystem in Zahlen im Dualsystem umwandeln. Dazu verwenden wir obige Tabellen Die Liste lässt sich natürlich noch fortsetzen. Doch wie lassen sich größere Zahlen aus dem Zehnersystem in eine Zahl im Dualsystem umwandeln. Dazu eine sehr anschaulich Methode. Die Schüler sollen ihre Körpergröße (in ganze cm) mit Hilfe verschiedener Latten mit den Längen cm, cm, cm 8cm, 6cm, cm, 6cm und 8cm darstellen.

3 So gilt also z. Bsp.: Notieren wir unsere Ergebnisse um schon mal einige Zahldarstellung zu erhalten: Doch wie lässt sich das ganze ohne diese Latten bewerkstelligen? Lässt sich eine Dezimalzahl auch in eine Dualzahl umrechnen.. Methode: Zweierpotenzsubtraktionsmethode: Man nimmt eine Dezimalzahl und überlegt welche Zweierpotenz in dieser Zahl steckt. Anschließend subtrahiert man diese und überlegt welche Zweierpotenz in die Differenz reingeht usw. Bsp.: Stelle die Zahl im Dualsystem dar Die Zweierpotenzen, die nicht vorkommen haben den Koeffizienten. Somit folgt: Übung: Stelle folgende Zahlen im Dualsystem dar. 99,,.... Methode: Divisionsmethode mit Restbetrachtung: Man nimmt eine Dezimalzahl und dividiert diese durch. Den Rest notiert man als letzte Ziffer der entsprechenden Dualzahl. Das ganzzahlige Ergebnis der Division dividiert man erneut durch und notiert den entsprechenden Rest als vorletzte Ziffer der Dualzahl. Usw. Bsp.: Stelle die Zahl 97 im Dualsystem dar. 97 : 98 Rest 98 : 9 Rest 9 : Rest : Rest : 6 Rest 6 : Rest : Rest : Rest Somit folgt: 97 Übung: Stelle folgende Zahlen im Dualsystem dar.,,...

4 Mit diesen acht Ziffern sind die Zahlen von bis als Dualzahl darstellbar. Sämtliche Steuerzeichen, Buchstaben, Ziffern und Sonderzeichen des Computers wird eine Dezimalzahl zugewiesen, welche als Dualzahl (8-Bit-Code) umgewandelt wird und somit vom Computer verarbeitet bzw. gespeichert werden kann. Ein Datenaustausch zwischen verschiedenen Hard- und Softwaresystemen wird dadurch erst möglich. Der alte ASCII-Code (American Standard Code for Information Interchange) wurde inzwischen vom ANSI-Code abgelöst. Den Steuerzeichen, Buchstaben und Ziffern wird aber in beiden Systemen die gleiche Dezimal- und schließlich auch die gleiche Dualzahl zugeordnet. Drückt man auf der Computertastatur auf das a, so wandelt ein kleiner Chip im Tastaturgehäuse dieses sofort in die zugehörige Dualzahl der Computersprache um a und gibt dies zum Computer weiter. Der Computer speichert jedes Zeichen als Block aus acht Ziffern ab (8-Bit). Somit weiß er immer, wann ein neues Zeichen beginnt. Übersetze die folgende Zeichenfolge in den entsprechenden Text: Erstelle die Zeichenfolge von deinen Vornamen und Nachnamen den ein Computer abspeichert. Um ein Zeichen am Computer abzuspeichern muss sich dieser 8Bit bzw. Byte (=8Bit) merken. Um nun eine ganze Buchseite bestehend aus Zeilen a Zeichen abzuspeichern sind dann schon Byte nötig. Eine Datenmenge von Byte fasst man allerdings zu kbyte zusammen. Somit gilt: Byte kb yte kb MB MB GB GB TB TB PB Um ein Buch mit Seiten (a Zeichen) abzuspeichern sind dann schon.. Zeichen abzuspeichern also.. Byte. Das sind knappe 977kB, also nicht mal MB. Um die gesamte Bibel abzuspeichern benötigt man,mb. Dabei muss allerdings beachtet werden, dass man hier nur reinen Text abspeichert, keine Bilder oder Sonstiges. Aufgabe: Wenn man sich einen Computer kauft mit einer Festplattengröße von GB, dann entspricht das wie vielen TB? Das entspricht dann,977 TB Also eine kleine Mogelpackung!

5 Rechnen mit Dualzahlen Analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Dualzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperation Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Die benötigten Rechenoperationen sind uns schon bekannt und sogar viel einfacher zu handhaben. Addition: Für die Addition der Zahlen und 7 im Dezimalsystem gilt: 7 Wir wandeln zunächst die Zahlen, 7 und 9 in Dualzahlen um und schauen uns die Addition der entsprechenden Dualzahlen an., 7, 9 9 Bei der Addition gilt: Addition Da eigentlich wäre, aber die Zahl ja im Dualsystem ist, wird aus. Man hat dann an entsprechender Stelle eine einzutragen, die wird wie gewohnt nach vorne übertragen. Beispiele: Führen Sie folgende Additionen im Dualsystem durch. 7,, 7, Subtraktion: Multiplikation: Division: Dezimalzahlen als Dualzahlen: