Grundlagen der Informatik

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1 Grundlagen der Informatik Teil II Speicherung und Interpretation von Information Seite 1

2 Speicherung und Interpretation von Information Beginn der Datenverarbeitung => Erfindung von Zahlensystemen Quantifizierung von Objekten Menge der Schafe in einer Herde Anzahl von Getreidesäcken Kontrolle von Beständen durch Vergleich von Zahlenmengen Basis: Abzählen der Finger, also 10er-System Seite 2

3 Zahlensysteme Römische Zahlen Seite 3

4 Positionssysteme Babylonier, Chinesen, Mayas, Inder Wert einer Zahl hängt von Form und Position ab Positions- Stellenwertsysteme Einführung der 0 Unser Zahlensystem stammt aus Indien (Arabische Zahlen, weil von Indien über den nahen Osten nach Europa) Seite 4

5 Positionssysteme Heutige Rechner: Dual- oder Binärsystem Also 0 und 1 Grund: Einfachere Bauteile Nur zwei Zustände 0 => kein Strom 1 => Strom Alle Daten auf Rechnern werden binär kodiert Seite 5

6 Zahlensysteme Positionssysteme bei natürlichen Zahlen Ein Positionssystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl n nach Potenzen von B zerlegt wird. Seite 6

7 Zahlensysteme Positionssysteme bei natürlichen Zahlen Beispiel: n (2017 ) Seite 7

8 Aufgaben 1. Wie viele Ziffern stehen im Oktalsystem zur Verfügung? 2. Geben Sie alle Ziffern im Oktalsystem an! 3. Wie viele Ziffern stehen im Hexadezimalsystem zur Verfügung? 4. Geben Sie alle Ziffern des Hexadezimalsystems an! Seite 8

9 Aufgaben 1. Stellen Sie die Zahl (7508)10 in Summenform dar! 2. Rechnen Sie die folgenden Zahlen in das Dezimalsystem um (315)8 (11001)2 (777)8 Seite 9

10 Zahlensysteme Positionssysteme bei natürlichen Zahlen Seite 10

11 Zahlensysteme Positionssysteme bei gebrochenen Zahlen Gebrochene Zahlen lassen sich durch folgende Summenformel beschreiben: Seite 11

12 Zahlensysteme Positionssysteme bei gebrochenen Zahlen Beispiele: Seite 12

13 Aufgaben 1. Geben Sie zu folgenden Zahlen die Summenform und die Darstellung im Dezimalsystem an: (1573.4)8, (ABC.CBA)16, ( )2, (0.4)8 Seite 13

14 Zahlensysteme Konvertieren zwischen Dual- und Hexadezimalsystem Dualdarstellung der Ziffern des Hexadezimalsystems Seite 14

15 Zahlensysteme Konvertieren in andere Zahlensysteme Dualsystem => Oktalsystem Bilden von Dualtriaden (Dreiergruppen) Dualsystem => Hexadezimalsystem: Bilden von Dualtetraden (Vierergruppen) Seite 15

16 Aufgaben 1. Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in das Oktalsystem: ( )2, ( )2 2. Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in das Hexadezimalsystem: ( )2, ( )2 Seite 16

17 Zahlensysteme Konvertieren in andere Zahlensysteme Eine in einem Positionssystem mit der Basis B dargestellte natürliche Zahl n: lässt sich mit Hilfe des Hornerschemas wie folgt darstellen: Mit Hilfe dieser Darstellung können Konvertierungen in das Dezimalsystem einfach durchgeführt werden. Seite 17

18 Zahlensysteme Konvertieren in andere Zahlensysteme Algorithmus zur Konvertierung eines Zahlensystems in eine anderes: 1. x : n = y Rest z 1. x = y wenn x!= 0 => Schritt 1 wenn x = 0 => Schritt 3 3. Reste z ergeben Ergebniszahl Seite 18

19 Zahlensysteme Konvertieren in andere Zahlensysteme Beispiel: (30)10 = (?)2 n = 2 x1 = 30 x n y z => Abbruch z = (11110)2 Seite 19

20 Aufgaben 1. Berechnen Sie (43)10 = (?)2 1. Berechnen Sie (7294)10 = (?)8 1. Berechnen Sie (87599)10 = (?)16 Seite 20

21 Rechenoperationen im Dualsystem Addition von Dualzahlen Für die duale Addition gilt allgemein: Seite 21

22 Aufgaben 1. Berechnen Sie Seite 22

23 Rechenoperationen im Dualsystem Subtraktion und negative Zahlen Negative Zahlen werden durch ihren Betrag mit vorangestelltem Minuszeichen dargestellt: - 1 Diese Darstellung wäre auch rechnerintern denkbar, hat jedoch den Nachteil, dass man eine gesonderte Vorzeichenrechnung durchführen müsste und man ein Rechenwerk benötigt, das sowohl addieren als auch subtrahieren kann. Man kann die Subtraktion auf eine Addition zurückzuführen durch das Verfahren der Komplementbildung. Man unterscheidet zwei Arten der Komplementbildung: B-Komplement und (B-1)-Komplement B-Komplement technisch leichter realisierbar Arbeiten mit B-Komplement (spez. Zweier-Komplement) Seite 23

24 Rechenoperationen im Dualsystem Subtraktion und negative Zahlen Zuordnung der Bitkombinationen zu positiven und negativen Zahlen Zahlenring für vier Bits, erstes Bit ist Vorzeichenbit Seite 24

25 Rechenoperationen im Dualsystem Regeln für das Zweier-Komplement 1. Ist das erste Bit = 1 => negative Zahl 2. Jedes einzelne Bit invertieren 3. Addieren von 1 (0001) Beispiel: Zweier-Komplement zu 5: (5)10 = (0101)2 Umkehroperation: Negieren 5: 1010 Negieren -5: : : : : 0101 Seite 25

26 Aufgaben 1. Berechnen Sie die folgenden Aufgaben mit Hilfe des Zweier-Komplements und vier zur Verfügung stehenden Bits: a) 2 4 b) 6 2 Seite 26

27 Codes zur Darstellung von Zeichen ASCII-Code ASCII-Code => American Standard for Coded Information Interchange festgelegte Abbildungsvorschrift (Norm) zur binären Kodierung von Zeichen Klein-/Großbuchstaben des lateinischen Alphabets (arabische) Ziffern viele Sonderzeichen Kodierung erfolgt in einem Byte (8 Bits) 256 verschiedene Zeichen Seite 27

28 Codes zur Darstellung von Zeichen ASCII-Code (Ausschnitt) Seite 28

29 Codes zur Darstellung von Zeichen ASCII-Code Speicherung von Texten einzelne Bytes (also jeweils ein Zeichen) werden hintereinander abgespeichert, so dass man eine Zeichenkette (String) erhält. Um das Ende der Zeichenkette zu identifizieren, werden (in den Programmiersprachen) unterschiedliche Verfahren verwendet. Die Länge der Zeichenkette wird im ersten bzw. in den ersten Bytes vor der eigentlichen Zeichenkette gespeichert. Beispiel: PASCAL Das Ende der Zeichenkette wird durch ein besonderes, nicht darzustellendes Zeichen gekennzeichnet. So verwendet z.b. die Programmiersprache C/C++ ein 0-Byte (Byte, in dem alle Bits 0 sind) Seite 29

30 Codes zur Darstellung von Zeichen ASCII-Code Unterscheidung zwischen Ziffern und Zeichen Seite 30

31 Codes zur Darstellung von Zeichen ASCII-Code Beispiele zum Speichern von Zeichen im ASCII-Code: Seite 31

32 Aufgabe Übersetzen Sie folgenden Binär-Code mit Hilfe der ASCII-Tabelle: Seite 32

33 Duale Größenangaben Weil Speicherung im Dualsystem kilo => 1024 Seite 33

34 Datentypen Unterschiedliche Behandlung von Zahlen und Zeichen Klassifikation notwendig Unterschiede: Speicherbedarf u.a. darstellbare Größe von Zahlen Interpretation des Bitmusters Seite 34

35 Datentypen Seite 35

36 Datentypen Seite 36

37 Datentypen Wird versucht, in einem Datentyp einen Wert abzulegen, der nicht in diesen Datentyp passt, so werden einfach die vorne überhängenden Dualziffern abgeschnitten. Beispiel: Seite 37