1 Zahlen im Dezimalsystem

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1 1 Zahlen im Dezimalsystem Es gibt verschiedene Arten Zahlen aufzuschreiben. Zunächst gibt es verschiedene Zahlzeichen wie chinesische, römische oder arabische. Im deutschsprachigen Raum ist die Verwendung der arabischen Zahlzeichen (oder Ziffern) 0, 1, 2,..., 8, 9 gebräuchlich. Dazu gibt es verschiedene. Das sind sozusagen Verabredungen was die Ziffern einer Zahl bedeuten. Im dezimalen Zahlensystem werden die zehn verschiedenen Ziffern 0, 1, 2,..., 8, 9 in der sogenannten Stellenschreibweise eingesetzt. Das ist sozusagen eine abkürzende Schreibweise, bei der man wissen muss auf welches Zahlensystem man sich bezieht. Steht nichts weiter dabei geht man stillschweigend davon aus, dass es sich um das Zehnersystem handelt. Dort beschreibt man den Wert einer Zahl dadurch, dass man Stelle für Stelle aufschreibt aus wie viel Einsern, Zehnern, Hundertern, Tausendern,... sie besteht. Man könnte demnach die Zahl 5423 auch dadurch angeben dass man sagt: 5 Tausender, 4 Hunderter, 2 Zehner und 3 Einer = = = Weil alle diese Basiszahlen Potenzen von zehn sind, nennt man diese Art Zahlen aufzuschreiben das Zehner- oder Dezimalsystem (lat. decem = zehn). Natürlich muss genau festgelegt sein welche Stelle für welche Zehnerpotenz steht. Sonst könnte irgendjemand die Ziffernfolge 5423 auch als 5 Hunderter, 4Einer, 2 Tausender und 3 Zehner interpretieren. Dies entspräche dann aber der Dezimalzahl Damit solche Verwirrungen erst gar nicht aufkommen gilt für alle : Ganz rechts steht immer die Basiszahl hoch Null, eine Ziffer weiter links folgt die Basiszahl hoch eins, noch eins weiter nach links die Basiszahl hoch zwei, usw. Damit die Schreibweise einer Zahl im Zehnersystem eindeutig ist beschränkt man sich auf die Ziffern 0 bis 9. Würde man noch eine weitere Ziffer wir nennen sie einfach mal A mit dem Wert 10 hinzunehmen, so könnte man die Zahl 20 auf zwei Arten angeben = = = A = oder in Worten : 2 Zehner und 0 Einer oder in Worten :1 Zehner und A (also10) Einer Die Zahl 20 hätte also den gleichen Wert wie die Zahl 1A. Um dies zu vermeiden werden in allen n stets nur Ziffern verwendet die kleiner sind als die Basiszahl. Um jedoch alle Zahlen darstellen zu können sind auch wirklich alle ganzzahligen Ziffern von 0 bis eine Ziffer kleiner als die Basiszahl notwendig. Im Dezimalsystem ist die Basiszahl 10, zur Darstellung aller Zahlen werden die Ziffern 0 bis 9 verwendet. Seite 1 von 11

2 2 Dualzahlen Das Zweiersystem (Dualsystem, lat. duo = zwei) funktioniert im Prinzip genauso, nur dass man als Basis für die Stellenschreibweise von Zahlen nicht die Vielfachen von zehn, sondern von 2 verwendet. Dezimalsystem Dualsystem Schreibt man eine Zahl in Stellenschreibweise im Dualsystem an, so gibt man eben nicht mehr an aus wie viel Einern, Zehnern, Hundertern, usw. sie besteht, sondern aus wie viel Einern, Zweiern, Vierern, Achtern, Sechzehnern, Zweiunddreißigern,... sie aufgebaut ist. Wie beim Dezimalsystem sind auch im Dualsystem (und bei allen anderen n) Einer dabei, da sonst keine ungeraden Zahlen angegeben werden können. Diese erhält man automatisch bei jeder beliebigen Basis, da jede Basiszahl hoch Null 1 ergibt. 2.1 Umwandlung einer Dualzahl in eine Dezimalzahl Nimmt man im Dezimalsystem die Zahl 45, so besteht sie aus 4 Zehnern und 5 Einern. Eine Zahl mit genau dem gleichen Wert kann man aber auch im Dualsystem angeben. Dort werden wegen der Eindeutigkeit nur die Ziffern 0 und 1 zur Darstellung einer beliebigen Zahl benötigt = = = = ( in Dezimalschreibweise) Damit ist klar, wie Dualzahlen in Dezimalzahlen umgewandelt werden können: ausführliches anschreiben mit den Potenzen der Basiszahlen (siehe Zeile 1) den Wert für jede Ziffer durch ausmultiplizieren berechnen (siehe Zeile 2) alle Werte addieren (siehe Zeilen 3 und 4) Wandeln Sie nachfolgende Dualzahlen in Dezimalzahlen um = = = = Seite 2 von 11

3 2.2 Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl Das dabei zum Einsatz kommende Verfahren nennt man Euklidscher Algorithmus. Dieser soll hier jedoch nicht näher erklärt werden, da das zu weit führen würde. Wichtig ist, dass man sich das Konzept dahinter merkt und dann wie bei einem Kochrezept stur danach handelt. Es soll die Dezimalzahl 71 in eine Dualzahl umgewandelt werden: 1. Die Dezimalzahl wird durch zwei geteilt. Der Rest dieser Division kann nur 0 oder 1 sein. Diese Ziffer ergibt die erste, ganz rechte Stelle in der gesuchten Dualzahl. 2. Nun nimmt man das ganzzahlige Ergebnis der Division aus 1. und teilt es erneut durch zwei. Auch hier kann der Rest nur den Wert 0 oder 1 haben. Dieser Rest ist die zweite Stelle von rechts der gesuchten Dualzahl. 3. Mit dem ganzzahligen Ergebnis dieser Division wird wieder genau wie in 2. beschrieben verfahren. Dies wird so lange durchgeführt bis der ganzzahlige Anteil der Division Null ist. 71: 2 35 : 2 17 : 2 8 : 2 4 : 2 2 : 2 1: 2 = 35 = 17 = 8 = 4 = 2 = 1 = 0 Rest 1 Rest 1 Rest 1 Rest 0 Rest 0 Rest 0 Rest 1 0 Die Stelle für 2 ist eine 1. 1 Die Stelle für 2 ist eine 1. 2 Die Stelle für 2 ist eine 1. 3 Die Stelle für 2 ist eine 0. 4 Die Stelle für 2 ist eine 0. 5 Die Stelle für 2 ist eine 0. 6 Die Stelle für 2 ist eine 1. Die Dezimalzahl 71 lautet als Dualzahl Wandeln Sie die drei Dezimalzahlen 281, 90 und 318 unter Angabe des vollständigen Rechenweges in Dualzahlen um. Vervollständigen Sie nachfolgende Tabellen (geben Sie in der linken Tabelle alle Dualzahlen mit vier Ziffern an erkennen Sie ein System?). Dezimalzahl Dualzahl Dezimalzahl Dualzahl Seite 3 von 11

4 2.3 Rechenoperationen mit Dualzahlen Addition Bei der Addition zweier Dualzahlen gelten stets folgende Gesetzmäßigkeiten: Summe Übertrag = = = = 0 1 Besitzt ein Summand weniger Stellen als der andere, so werden einfach führende (!) Nullen ergänzt. Beispiel: Übertrag Summe Überprüfen Sie das oben stehende Beispiel indem Sie die Dualzahlen in Dezimalzahlen umrechnen. Führen Sie die nachfolgenden Additionen zunächst mit den Dualzahlen durch. Überprüfen Sie anschließend die Ergebnisse indem Sie alle Dualzahlen in Dezimalzahlen umwandeln Seite 4 von 11

5 2.3.2 Subtraktion Um zwei Dualzahlen voneinander abzuziehen gelten folgende Regeln: 1. Die durch vorsetzen von Nullen so erweitern dass sie die gleiche Anzahl Stellen aufweisen. 2. Beide Zahlen durch vorsetzen einer Vorzeichenstelle erweitern. Diese Stelle hat den Wert 0 für ein positives Vorzeichen und 1 bei einem negativen. 3. Vom Subtrahend (= der abzuziehenden Zahl) das Einer-Komplement bilden. Das heißt die abzuziehende Zahl zu invertieren (alle 0 1 und alle 1 0). 4. Vom Ergebnis aus Punkt 3 das Zweier-Komplement bilden. Dazu wird zur invertierten Zahl einfach eine 1 hinzuaddieren. 5. Das Zweier-Komplement mit dem Minuend addieren. Hierbei den Übertrag in der werthöchste Stelle einklammern (= Vorzeichen) 6. Ist das Vorzeichen negativ (d. h. die Stelle hat den Wert 1), so erhält man den eigentlichen Wert der Zahl durch erneutes bilden des Zweier-Komplements (= alle 0 1 und alle 1 0 und anschließend 1 hinzuaddieren). Beispiel 1: Minuend Subtrahend (0) (0) Minuend und Subtrahend um Vorzeichenstelle erweitert (1) Subtrahend invertieren ergibt Einer-Komplement + (0) den Wert 1 hinzuaddiert (1) ergibt Zweier-Komplement (0) Damit kann die Subtraktion als Addition + (1) angeschrieben werden (0) Vorzeichen ist 0 Ergebnis ist positiv Überprüfen Sie das oben stehende Beispiel indem Sie die Dualzahlen in Dezimalzahlen umrechnen. Seite 5 von 11

6 Beispiel 2: Minuend Subtrahend (0) (0) Minuend um führende Null ergänzt damit beide Zahlen die gleiche Ziffernanzahl haben Minuend und Subtrahend um Vorzeichenstelle erweitert (1) Subtrahend invertieren ergibt Einer-Komplement + (0) den Wert 1 hinzuaddiert (1) ergibt Zweier-Komplement (0) Damit kann die Subtraktion als Addition + (1) angeschrieben werden (1) Vorzeichen ist 1 Ergebnis ist negativ Ergebnis negativ Wert der Subtraktion durch Bildung des Zweier-Komplements des Ergebnisses (Vorzeichen muss nicht mehr beachtet werden) Überprüfen Sie das oben stehende Beispiel indem Sie die Dualzahlen in Dezimalzahlen umrechnen. Berechnen Sie nachfolgende Subtraktionen unter Angabe eines nachvollziehbaren Rechenweges Seite 6 von 11

7 2.3.3 Multiplikation Die Multiplikation erfolgt praktisch genau gleich wie mit Dezimalzahlen. Nur bei den Überträgen muss man besondere Vorsicht walten lassen wie Beispiel 2 zeigt. Beispiel 1: Übertrag Beispiel 2: Übertrag Berechnen Sie nachfolgende Multiplikationen Seite 7 von 11

8 2.3.4 Division Dies ist die schwerste aller Grundrechenarten bei Dualzahlen. Zunächst quasi zur Wiederholung ein Beispiel mit einer Division von Dezimalzahlen: : 1 1 = Rest Und nun genau die gleiche Division in dualer Schreibweise: : = Rest passt einmal in passt Null mal in Führen Sie nachfolgende Division aus und überprüfen Sie das Ergebnis durch Umrechnung aller Zahlen in Dezimalschreibweise : 1101 = Seite 8 von 11

9 3 Hexadezimalzahlen Durch die kleine Basis des Dualsystems ergibt sich der Nachteil, dass Zahlen im Binärsystem im Verhältnis zu Dezimalzahlen relativ lang sind (siehe Tabelle am Seitenende). Dies hat zur Verbreitung des Hexadezimalsystems (lat. hexa = sechs, lat. decem = zehn) geführt, welches die Basis 16 besitzt. Im Vergleich mit dem Dezimal- und dem Dualsystem erhält man somit folgende Basiszahlen: Dezimalsystem Dualsystem Hexadezimalsystem Wenn mit der Basis 16 gearbeitet wird, so werden die Ziffern 0 bis 15 benötigt um alle Zahlen darstellen zu können. Dies führt jedoch zu Problemen! Die Hexadezimalzahl 121 (16) könnte nun verschiedene Bedeutungen haben: (16) = = 289(10) (16) = = 193(10) Deshalb werden die in Hexadezimalzahlen benötigten Ziffern 0 bis 15 durch die Ziffernsymbole 0-9 und die Großbuchstaben A-F (für die Werte 10 bis 15) dargestellt. In obigem Beispiel würde das bedeuten: 289(10) = 121(16) 193( 10 ) = C1( 16 ) Durch diese Schreibweise sind Hexadezimalzahlen verhältnismäßig gut lesbar. So lässt sich zum Beispiel leicht feststellen, dass EDA5 (16) größer ist als ED7A (16) wo hingegen das bei den entsprechenden Dualzahlen (2) und (2) eher nicht mehr der Fall ist. Da 16 eine Potenz von 2 ist (16 = 2 4 ), ist es besonders einfach möglich, Binärzahlen in Hexadezimalzahlen umzurechnen. Dazu werden je vier Binärstellen durch eine Hexadezimalstelle ersetzt, was auch die Länge der dargestellten Zahlen um den Faktor vier verringert. Andererseits ist die Basis der Hexadezimalzahlen noch klein genug, um diese mit bekannten Symbolen darzustellen. Dezimalsystem Dualsystem Hexadezimalsystem A B C D E F Seite 9 von 11

10 3.1 Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl Auch hier kommt, wie bereits bei der Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl der Euklidscher Algorithmus zum Einsatz. Es soll die Dezimalzahl (10) in eine Hexadezimalzahl umgewandelt werden: 4. Die Dezimalzahl wird durch 16 geteilt. Der Rest dieser Division kann nur einen Wert zwischen 0 und 15 haben. Diese Ziffer ergibt die erste, ganz rechte Stelle in der gesuchten Hexadezimalzahl. 5. Nun nimmt man das ganzzahlige Ergebnis der Division aus 1. und teilt es erneut durch sechzehn. Auch hier kann der Rest nur den Wert zwischen 0 und 15 haben. Dieser Rest ist die zweite Stelle von rechts der gesuchten Hexadezimalzahl. 6. Mit dem ganzzahligen Ergebnis dieser Division wird wieder genau wie in 2. beschrieben verfahren. Dies wird so lange durchgeführt bis der ganzzahlige Anteil der Division Null ist : 16 = Rest 10 Die Stelle für 16 0 ist ein A : 16 = Rest 7 Die Stelle für 16 1 ist eine : 16 = 2851 Rest 13 Die Stelle für 16 2 ist ein D : 16 = 178 Rest 3 Die Stelle für 16 3 ist eine : 16 = 11 Rest 2 Die Stelle für 16 4 ist eine : 16 = 0 Rest 11 Die Stelle für 16 5 ist ein B. Die Dezimalzahl lautet als Hexadezimalzahl B23D7A. Wandeln Sie die drei Dezimalzahlen 2181, 90 und unter Angabe des vollständigen Rechenweges in Hexadezimalzahlen um. Vervollständigen Sie nachfolgende Tabelle. Vergleichen Sie diese Hexzahlen mit den Ergebnissen der Tabelle auf Seite 2. Dezimalzahl Hexadezimalzahl Seite 10 von 11

11 3.2 Rechenoperationen mit Hexadezimalzahlen Addition Gewöhnungsbedürftig ist dabei nur das Rechnen mit den Buchstaben. Ergibt die Summe zweier Ziffern einen Wert größer 15 (also F (16) ), so muss man aufpassen welchen Wert die entsprechende Stelle hat und welcher Übertrag sich ergibt. Mathematisch muss die Summe zweier Ziffern modulo 16 gerechnet werden (also durch 16 teilen, der Rest der Division ist das Ergebnis der Modulorechnung) um den Wert der entsprechenden Ziffer im Ergebnis zu erhalten. Mit etwas weniger Übung legt man sich am einfachsten eine Tabelle der folgenden Art an: A+1 = B Ü0 B+1 = C Ü0... usw.... A+2 = C Ü0 B+2 = D Ü0 A+3 = D Ü0 B+3 = E Ü0 A+4 = E Ü0 B+4 = F Ü0 A+5 = F Ü0 B+5 = 0 Ü1 A+6 = 0 Ü1 B+6 = 1 Ü1 A+7 = 1 Ü1 B+7 = 2 Ü1 A+8 = 2 Ü1 B+8 = 3 Ü1 A+9 = 3 Ü1 B+9 = 4 Ü1 A+A = 4 Ü1 B+A = 5 Ü1 A+B = 5 Ü1 B+B = 6 Ü1 A+C = 6 Ü1 B+C = 7 Ü1 A+D = 7 Ü1 B+D = 8 Ü1 A+E = 8 Ü1 B+E = 9 Ü1 A+F = 9 Ü1 B+F = A Ü1 Beispiel: 9 0 A C 2 0 F 1 + D B 0 Übertrag Summe A A 1 Berechnen Sie die folgenden Summen der gegebenen Hexadezimalzahlen DFAEB + 584A5FD EFA Seite 11 von 11

12 Lösungsblatt 1 Seite = 18 (10) = 51 (10) = 226 (10) = 153 (10) Seite 3 Dezimalzahl Dualzahl Dezimalzahl Dualzahl Seite Seite (0) (0) (1) Seite Seite : 1101 = Rest 10 Seite 12 von 11

13 Lösungsblatt 2 Seite 10 Dezimalzahl Hexadezimalzahl Seite DFAEB + 584A5FD EFA 587AC92 6B E5 Seite 13 von 11