Arithmetik in der Grundschule Di Uhr HS 1. Arithmetik in der Grundschule Anfänge und Ziele Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind

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1 Sommersemester 2016 Arithmetik in der Grundschule Di Uhr HS 1 V V Arithmetik in der Grundschule Anfänge und Ziele Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind V Zahlenraum bis 20 (Kl. 1) V Addieren und Subtrahieren im Zahlenraum bis 20 (Kl. 1) V Ausbau des Zahlenraumes bis 100 (Kl. 2) V Halbschriftliches Addieren und Subtrahieren (Kl. 2) V Multiplizieren und Dividieren (Kl. 2, 3) V Kleines Einmaleins (Kl. 2) V Ausbau des Zahlenraumes bis 1000; bis 1 Million (Kl. 3, 4) V Halbschriftliches Multiplizieren und Dividieren (Kl. 3) V Schriftliches Addieren und Subtrahieren (Kl. 3) V Schriftliches Multiplizieren und Dividieren (Kl. 4) V Klausur Zusammenfassung HS 1; Audimax 1

2 5 Unterrichtssequenz zum halbschriftlichen Rechnen (Kl. 2) ANFANGEN Rechne Aufgaben, bei denen beide Summanden zweistellig sind. ERARBEITEN Stellt Aufgaben vor und erklärt, wie ihr gerechnet habt (Tafel bzw. Smartboard). Ich zeige euch noch einen Blitzrechenweg zur Aufgabe von und von (mit Material zur Unterstützung). BEENDEN Entdeckt für die Aufgabe verschiedene Wege. Ich bin gespannt, wie viele Wege ihr findet.

3 Nachtrag zu V4: Automatisieren des Kleinen Eins-Plus-Eins

4 V 7 Multiplizieren und Dividieren Quellen: Padberg 2005; Padberg/Benz 2011; Selter (1995): Eigenproduktionen im Arithmetikunterricht; Wittmann/Müller (1990). Handbuch prod. Rechenübungen, Bd. 1 4

5 Gliederung 1 Die Operationen Multiplikation und Division 2 Grundvorstellungen zu den Operationen 3 Rechengesetze 5

6 1 Die Operationen Multiplikation und Division Operationen zweiter Stufe

7 Zurückführen der Multiplikation auf die Addition Für die Erklärung der Multiplikation in Ν bedarf es zunächst keiner neuen Modelle, da man sie prinzipiell auf eine Addition gleicher Summanden in N zurückführen kann. Man schreibt für kurz 5 8, allgemein a b = b + b + +b. a Summanden 7

8 Vorerfahrungen zur Operation Multiplikation Multiplikative Konzepte können in der Regel gut verstanden werden. Schon fortgeschrittene Schulanfänger führen diese auf die Addition zurück. Judith Schulanfang

9 Zurückführen der Division auf die Subtraktion Analog zur Multiplikation als fortgesetzte Addition gleicher Summanden kann man die Division als fortgesetzte Subtraktion gleicher Subtrahenden interpretieren. 12:4 =? Wie oft kann ich den Divisor 4 subtrahieren? (Aufteilen: Ich habe 12 Dinge und jeder soll 4 bekommen.) :4=3 vgl. Rechenzeichen 9

10 Begriffe, die zur Multiplikation gehören 3 12 = 36 Faktor mal Faktor ist gleich Produkt Produkt Multiplikator Multiplikand =

11 Die Division in N Die Division in N ist die Umkehrung der Multiplikation. Je eine Umkehrung der Multiplikation 8 5 = 40, erhält man, wenn einer der beiden Faktoren und das Produkt gegeben sind und der andere Faktor gesucht ist. Sind also a und b natürliche Zahlen, wobei b ein Teiler von a sei, so heißt die (eindeutig bestimmte) Lösung der Gleichung b x = a oder x b = a Quotient aus a und b ; man schreibt x = a : b. 11

12 Ausführbarkeit der Division Die Division ist im Bereich der natürlichen Zahlen nicht immer ausführbar. z. B. 17 : 5 3 n = 17 (3 5=15; 3 6=18); 17= Durch Null kann nicht dividiert werden. 5 : 0 = n würde bedeuten n 0 = 5. Für jede Zahl n ist ein solches Produkt aber 0. Auch mit Dividend 0 nicht möglich, da kein eindeutiges Ergebnis zugeschrieben werden kann: 0:0=? (0:0=17, weil 17 0=0 oder 0:0=183, weil 183 0=0 oder...) 12

13 Begriffe, die zur Division gehören Dividend durch Divisor ist gleich Quotient 15 : 3 = 5 Quotient quotiens (lat.): wie oft 13

14 2 Grundvorstellungen zu den Operationen Grundvorstellungen zur Multiplikation zeitlich-sukzessive Handlungen (dynamisch) räumlich simultane Anordnungen (statisch) vgl. Padberg 2005, S. 117 ff. 14

15 zeitlich-sukzessiv (dynamische Komponente der Multiplikation) mehrmalige Wiederholung der gleichen Handlung 15

16 räumlich-simultan (statische Komponente der Multiplikation) räumliche Anordnung in Rechteckform 16

17 Grundvorstellungen zur Division 12 soll durch 4 geteilt werden. Veranschaulichen Sie sich die Rechensituation mit Hilfe eines Kringelbildes. 17

18 12:4 Wie kann ich auf 4... verteilen? Wie oft ist die 4 enthalten? Beim Teilen entstehen (gleichmächtige, paarweise elementfremde) Teilmengen. Man kann den Blick auf die Anzahl der Teilmengen richten oder auf die Anzahl der Elemente der Teilmengen. 18

19 Zwei verschiedene Fragestellungen führen zur Division: Verteilen (Teilen) 12 : 4 = 3 12 Birnen sind gleichmäßig unter 4 Personen zu verteilen. Jede erhält 3. Aufteilen (Enthaltensein) 12 : 4 = 3 12 Birnen sollen aufgeteilt werden. In jeden Beutel sollen 4 Birnen kommen. Man braucht 3 Beutel. Karten verteilen... abpacken... 19

20 Anzahl der Teilmengen oder Anzahl der Elemente einer Teilmenge? Verteilen 12 : 4 = 3 Der Divisor 4 repräsentiert die Anzahl der Teilmengen. Aufteilen 12 : 4 = 3 Der Divisor 4 repräsentiert die Anzahl der Elemente einer Teilmenge. 20

21 Verteilen und Aufteilen wird auch in den Schulbüchern (2. Kl.) unterschieden. Beispiele aus Mathematik 2 von DUDEN 21

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24 Joice am Schulanfang: Aufteilen oder Verteilen?

25 3 Rechengesetze Kommutativgesetz der Multiplikation Assoziativgesetz der Multiplikation Distributivgesetz der Multiplikation bezüglich der Addition 25

26 Kommutativgesetz der Multiplikation Es gilt 3 4=4+4+4=12 und 4 3= =12, d.h., 4 3=3 4. Die Faktoren eines Produkts dürfen vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Für alle natürlichen Zahlen a, b gilt: a b = b a Veranschaulichung Leonardo/Diesterweg 26

27 Assoziativgesetz der Multiplikation Sind drei Zahlen miteinander zu multiplizieren, so sind zunächst zwei von ihnen zu multiplizieren und dieses Produkt dann mit der dritten. Dabei ist die Reihenfolge der Zusammenfassung ohne Einfluss auf das Ergebnis, z. B.: = (4 2) 3 = 8 3 = = 4 (2 3) = 4 6 = 24 Anwendungsbeispiele: s. Vorlesung Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt: (a b) c = a (b c) 27

28 Distributivgesetz Dieses Gesetz der Verteilung drückt einen Zusammenhang zwischen Rechenoperationen verschiedener Stufe aus: 5 (4+3) = Es beschreibt, wie sich bei der Multiplikation einer Summe der andere Faktor auf die Summanden verteilt (Distributivgesetz der Multiplikation bezüglich der Addition). Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt: a (b + c) = a b + a c Aus dem Distributivgesetz sind ableitbar die Beziehungen: (a b) c = a c b c (a + b) : c = a : c + b : c c 0 (a - b) : c = a : c b : c c 0 Für natürliche Zahlen a, b, c sind diese Gleichungen nur sinnvoll, wenn die Subtraktion a - b und die Division a : c und b : c ausführbar sind. 28

29 Distributivgesetz (Veranschaulichung und Anwendung) 2 (3+4) = Anwendungsbeispiele: s. Vorlesung

30 Hinzu kommen Betrachtungen zur Konstanz des Produkts und des Quotienten. Konstanz des Produkts (gegensinniges Verändern) z. B.: Das Produkt bleibt gleich, wenn man einen Faktor verdoppelt und den anderen halbiert (sofern dies im Bereich der natürlichen Zahlen möglich ist). 6 8 = 12 4 = 3 16 = 24 2 = 48 1 = 96 0, = Konstanz des Quotienten (gleichsinniges Verändern) z. B.: Der Quotient bleibt gleich, wenn man den Dividenden verdoppelt und den Divisor verdoppelt. 12:2 = 24:4 = 48:8 =... 24:4 = 240:40 =... 30

31 Weitere Beziehungen Verdoppelt man in einem Produkt einen Faktor, so verdoppelt man das Produkt insgesamt. 3 8=24 6 8=48 Halbiert man in einem Produkt einen Faktor, so halbiert man das Produkt insgesamt. 3 8=24 3 4=12 31

32 Beispiele (5 10)=(4 5) 10 (2 2) 50=2 (2 50) Assoziativgesetz Konstanz des Produkts (25+25)= (100-50)= Distributivgesetz (20+4) 3 (3 8) (2 3) 9 6 (10-1) Welche Gesetze kommen zur Anwendung? 32

33 Übung Finden Sie für die Aufgabe 3 18 verschiedene Möglichkeiten der Berechnung. Welches Gesetz, welcher Zusammenhang liegt jeweils zugrunde?

34 Fazit