Warum ist Teilen schwer?
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- Hildegard Brahms
- vor 7 Jahren
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1 Warum ist Teilen schwer? Zum Entwickeln guter Vorstellungen zu Brüchen und Prozenten 1. Dresdner Fachtagung zum Thema Lernschwierigkeiten Duden Institut für Lerntherapie Dresden Dr. Lorenz Huck (DIL Berlin-Steglitz)
2 Gliederung 1. Eine erste Annäherung. Warum ist Teilen schwer? Hindernisse auf dem Weg der Vorstellungsentwicklung und wie man sie überwindet.1 Handlungsvorstellungen zur Division. Bruchvorstellungen.3 Rechnen mit Brüchen 3. Dezimalbrüche und Prozente Duden Institut für Lerntherapie
3 Linda, 7. Klasse, Gymnasium Welcher Teil ist gefärbt? Antwort: Duden Institut für Lerntherapie
4 Kira, 9. Klasse, ISS 3 4 = = 10 0 = 6 Ida, 4. Klasse, Grundschule 50 Apfelsinen werden in 5 Netze verpackt. Rechnung: 50 x 5 = 50 [mit Hilfe] Antwort: Es sind insgesamt 50 Apfelsinen. 4 Duden Institut für Lerntherapie
5 Warum ist Teilen schwer? Drei Gründe 1. Grundlage für Bruchvorstellungen sind geeignete Handlungsvorstellungen zur Division und die sind schwer zu erwerben. 5 Duden Institut für Lerntherapie
6 Handlungsvorstellungen zur Division Gefahren einer zu frühen Automatisierung: Effektive Lösung von Divisionen durch Inversion von Einmaleins -Aufgaben Z.B.: 1 : 3 = 7, weil 3 * 7 = 1 Gefahr: Der Prozess wird nicht mehr erkennbar! Erst müssen Handlungsvorstellungen entwickelt werden! 6 Duden Institut für Lerntherapie
7 Handlungsvorstellungen zur Division Man kann prinzipiell zwei Arten von Handlungsvorstellungen zur Division unterscheiden: Verteilen: 4 Kinder haben 0 Bonbons. Wie viele Bonbons bekommt jedes Kind? (Die Bonbons müssen an vier Kinder, allgemeiner: vier Stationen, verteilt werden.) 7 Duden Institut für Lerntherapie
8 Handlungsvorstellungen zur Division Man kann prinzipiell zwei Arten von Handlungsvorstellungen zur Division unterscheiden: Aufteilen: Bei einem Spiel braucht jeder Mitspieler 4 Spielfiguren. Wie viele Kinder können mitspielen, wenn insgesamt 0 Spielfiguren vorhanden sind? (Die Figuren müssen in Portionen zu 4 Stück aufgeteilt werden.) 8 Duden Institut für Lerntherapie
9 Weitere Handlungsvorstellungen zur Division 1. Umkehroperation der Multiplikation. wiederholte Subtraktion/Rückwärtszählen Zunächst eher formal und wenig anwendungsnah, jedoch eine wichtige Ergänzung zum Auf- und Verteilen. 9 Duden Institut für Lerntherapie
10 Warum ist Teilen schwer? Drei Gründe 1. Grundlage für Bruchvorstellungen sind geeignete Handlungsvorstellungen zur Division und die sind schwer zu erwerben.. Kinder müssen Bruchvorstellungen entwickeln und dazu über einen längeren Zeitraum Erfahrungen in unterschiedlichen Kontexten sammeln. 10 Duden Institut für Lerntherapie
11 Ein Bruch steht für drei Handlungen Formale Definitionen von Brüchen (Bruch als andere Schreibweise für eine Division, Brüche als Äquivalenzklassen ganzer Zahlen, mit denen nach bestimmten Regeln gerechnet werden darf) führen in der Arbeit mit schwächeren Kindern nicht weiter. Bewährt hat sich die Rückführung von Brüchen auf Handlungen. (Mathematisch steckt das Operator-Konzept von Brüchen dahinter.) 11 Duden Institut für Lerntherapie
12 Ein Bruch steht für drei Handlungen Jeder Bruch steht für eine dreiteilige Handlung 1) Es wird ein Ganzes ausgewählt. ) Dieses Ganze wird in eine (durch den Nenner) bestimmte Anzahl gleich großer Teile aufgeteilt. 3) Von diesen Teilen wird eine (durch den Zähler) bestimmte Anzahl ausgewählt. 1 Duden Institut für Lerntherapie
13 Ein Bruch steht für drei Handlungen Probleme im Einzelnen: 1) Es wird ein Ganzes ausgewählt und dieses Ganze kann alles Mögliche sein. Als Ganzes kann man auch definieren, was der Alltagsvorstellung von einem Ganzen widerspricht: 13 Duden Institut für Lerntherapie
14 Ein Bruch steht für drei Handlungen Probleme im Einzelnen: ) Dieses Ganze wird in eine (durch den Nenner) bestimmte Anzahl gleich großer Teile aufgeteilt und diese Aufteilung muss man in das Ganze hineinsehen, wenn man mit konkreten Vorstellungen operiert, was wiederum praktische Erfahrung voraussetzt. 14 Duden Institut für Lerntherapie
15 Ein Bruch steht für drei Handlungen Probleme im Einzelnen: 3) Von den Teilen wird eine (durch den Zähler) bestimmte Anzahl ausgewählt oder hervorgehoben. Dies erfordert spätestens bei den unechten Brüchen z.b. fünf Viertel eine gehörige Abstraktionsleistung: Mario (14): Ich habe ein Ganzes in vier gleich große Teile geteilt und soll davon jetzt fünf auswählen (Denkpause) Aber ich habe doch nur vier Teile! 15 Duden Institut für Lerntherapie
16 Entwickeln der Grundvorstellung 16 Duden Institut für Lerntherapie
17 Warum ist Teilen schwer? Drei Gründe 1. Grundlage für Bruchvorstellungen sind geeignete Handlungsvorstellungen zur Division und die sind schwer zu erwerben.. Kinder müssen Bruchvorstellungen entwickeln und dazu über einen längeren Zeitraum Erfahrungen in unterschiedlichen Kontexten sammeln. 3. Rechnen mit Brüchen stellt Kinder vor zusätzliche Herausforderungen Vorstellungen können nicht aus dem Bereich der natürlichen Zahlen übernommen werden, nicht jede Rechnung ist gut zu veranschaulichen 17 Duden Institut für Lerntherapie
18 Rechnen mit Brüchen Viele Vorstellungen, die im Bereich der natürlichen Zahlen sinnvoll waren, sind hier unzureichend: - Oben plus (bzw. minus) und unten plus (bzw. minus). - Mal macht Zahlen größer, geteilt macht Zahlen kleiner. - Man kann keine kleinere Zahl durch eine größere dividieren. Andere sind brauchbar (und machen meist weniger Probleme): - Oben mal und unten mal. (Im Grunde gilt ja auch weiter:) Oben geteilt und unten geteilt. 18 Duden Institut für Lerntherapie
19 Rechnen mit Brüchen Wie ist Multiplikation zu verstehen? Man kann Kindern gut begreiflich machen, dass 1 1 = 1 4 bedeutet, von der Hälfte die Hälfte nehmen. ( Von -Ansatz!) Ebenso lassen sich auch andere einfache Multiplikationen veranschaulichen. 19 Duden Institut für Lerntherapie
20 Rechnen mit Brüchen Nur auf recht hoher Abstraktionsebene zu klären: Die Multiplikation mit dem Kehrwert! Am Spezialfall wird deutlich: Vorstellungen aus dem Raum der natürlichen Zahlen sind durchaus brauchbar! 4 1 : 3 = 4 = 1 0 Duden Institut für Lerntherapie
21 1 Duden Institut für Lerntherapie Rechnen mit Brüchen Da die Zahlen kaum je so günstig sind, muss man im Normalfall erweitern und das läuft auf die Multiplikation mit dem Kehrwert hinaus! Ein konkretes Beispiel reicht, da die Verallgemeinerbarkeit unmittelbar klar ist Variablen tragen nicht zum Erkenntnisgewinn bei : : : 4 1 = = = =
22 Dezimalbrüche und Prozente Im Grunde ist den Kindern, wenn sie gute Vorstellungen zu gemeinen Brüchen entwickelt haben, nur mitzuteilen: 1. Dezimalbrüche sind eine nützliche Art, Zehntel, Hundertstel, Tausendstel usw. auszudrücken.. % ist eine andere Schreibweise für Hundertstel. Natürlich muss der Umgang mit den neuen Ausdrücken geübt werden! Duden Institut für Lerntherapie
23 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Duden Institut für Lerntherapie Dresden Elisenstraße Dresden Telefon:
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