Demoseiten für

Transkript

1 Lineare Ungleichungen mit Variablen Anwendung (Vorübungen für das Thema Lineare Optimierung) Datei Nr. 90 bzw. 500 Stand 0. Dezember 009 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 90 / 500 Lineare Ungleichungen mit Variablen Inhalt Lineare Ungleichungen mit Variablen. Wiederholung: Lineare Gleichungen mit Variablen. Lineare Ungleichungen mit Variablen 6 Lineare Ungleichungssysteme mit Variablen 0. Zwei Ungleichungen 0. Drei und mehr Ungleichungen. Weitere Trainingsaufgaben 6 Lösungen aller Trainingsaufgaben 7-6 Vorwort Dieser Text dient der Vorübung für Aufgaben der linearen Optimierung. Er tritt für die Oberstufe noch einmal unter der Nummer 500 in Erscheinung. Die Texte für lineare Optimierung haben die Nummern 9 (Sek ) bzw. 50 (Sek ). Und zusätzlich für Abiturienten ein Text für das Simplexverfahren 5 (März 00)

3 90 / 500 Lineare Ungleichungen mit Variablen Lineare Ungleichungen mit Variablen. Wiederholung: Lineare Gleichungen mit Variablen wie y = x Grundlage : Wenn eine Gleichung wie x + = gelöst werden soll, sucht man diejenigen Zahlen, die man in die Gleichung einsetzen kann, so dass damit eine wahre Aussage entsteht. Man nennt das die Probe machen. Hier gibt es nur eine einige Lösung, das ist die Zahl 4. Die Probe sieht so aus: 4 + =. Das Ergebnis der linken Seite stimmt mit der Zahl rechts überein. Durch dieses Einsetzen ist eine wahres Aussage entstanden. Für die Zahl 5 stimmt die Probe nicht: 5 + = ist eine falsche Aussage, denn links steht als Ergebnis, und = ist eben falsch. Die Zahlen, die durch Einsetzen zu einer wahre Aussage führen, bilden die Lösungsmenge: L= { 4}. Nicht immer ist jede Zahl als Lösung brauchbar! Daher gehört zu jeder Gleichung eine Grundmenge, welche angibt, welche Zahlen der Rechnung zugrunde liegen. In einer Klasse 5 kennt in der man in der Regel weder Bruchrechnen noch negative Zahlen. Dort verwendet man als Grundmenge G=N O = { 0; ; ; ;...}. Bezüglich dieser Grundmenge haben beispielsweise die Gleichungen x = 7 und 4x + 0 = keine Lösung. Lösung der ersten Gleichung wäre die Bruchzahl 7, denn 7 = 7 ist eine wahre Aussage. Und Lösung der. Gleichung wäre -, denn man erhält 4 ( ) + 0 =. Aber beides Zahlen stehen nicht zur Vewrfügung. Auch in manchen Anwendungsbereichen muss man den Definitionsbereich einschränken und kann nicht alle Zahlen zulassen. Dies ist dann zu beachten. Grundlage : Eine Gleichung mit Variablen wie y = x ist anders zu behandeln. Zunächst ist zu beachten, dass es Variable gibt. Daher ist jede Lösung ein Zahlenpaar: ( ) ( ) ( ) 8 ist ein Lösungspaar, denn die Probe liefert die wahre Aussage: = 8 ist ein Lösungspaar, denn die Probe lautet: = 4 ist keine Lösung, denn die Probe liefert die falsche Aussage: 4 =. WISSEN: Eine lineare Gleichung mit Unbekannten hat, wenn man für x und y jeweils die Grundmenge G = R verwendet, unendlich viele Lösungspaare, die man in einem Koordinatensystem als Punkte darstellen kann, die auf einer Geraden liegen. Hat diese Gleichung die Form y = m x+ n, dann nennt man m die Steigung der Geraden und n ihren y-achsenabschnitt.

4 90 / 500 Lineare Ungleichungen mit Variablen 4 Stellt man die Gleichung y = x als Gerade dar, dann ist dies die geometrische Veranschaulichung der Lösungsmenge: Ihre Steigung ist m =. Das bedeutet, wenn man x um vergrößert, nimmt y um zu. Steigungsdreiecke, deren Katheten und sind, bzw. Vielfache davon, verwenden dies. Der y-achsenabschnitt ist -. Das bedeutet, dass die Gerade die y-achse bei y = - S 0, schneidet, also im Punkt ( ) y S y Δ y = Δ x = Δ x = Δ y = WISSEN: Diese Gerade stellt geometrisch die Lösungsmenge der Gleichung y = x dar. Das heißt: Alle Punkte der Geraden sind im Grunde Zahlenpaare, welche die Lösung der Gleichung bilden! Die Grundmenge für die Gleichung mit Variablen schreibt man so auf: G= R R oder auch G = R. Das erste R ist die Grundmenge für x, das zweite R für y. Und die Angabe G= R R besagt, dass für x und y zunächst einmal beliebige reelle Zahlen zur Verfügung stehen. Schränkt man den Definitionsbereich für beide Variablen auf die Menge Z der ganzen Zahlen ein, verwendet also D=Z Z, dann bleiben nur die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten übrig. In der folgenden Darstellung gehören also nur die mit A bis G bezeichneten Punkte zur Lösungsmenge der Gleichung, und natürlich auch die anderen, die nicht mehr ins Koordinatensystem passen.

5 90 / 500 Lineare Ungleichungen mit Variablen 5 Gleich dazu eine Anwendungsaufgabe: Hans erhält 0 und will sich davon in der Tierhandlung Mäuse kaufen. Eine weiße Maus kostet, eine Springmaus. Wie viele kann er sich denn kaufen, wenn er das ganze Geld dafür ausgeben will. Lösung: Wir bezeichnen mit x die Anzahl der weißen Mäuse, mit y die der Springmäuse. Dann lautet die Abrechnung für seinen Einkauf: x + y Will er die ganzen0 ausgeben, gilt: x + y = 0 Ohne die -Zeichen: x + y = 0 () Zum Zeichnen der Lösungsgeraden stellen wir die Gleichung um: Wir rechnen -x: y = x + 0 und dividieren dann durch : 0 y = x+ () Die Gleichungen () und () sind gleichwertig (das heißt: Sie besitzen dieselbe Lösungsmenge). Die Gleichung () ist zum Anfertigen einer Zeichnung besser geeignet. Doch das Problem sind hier die Brüche mit dem Nenner. Also berechnet sich Hans einige Punkte der Geraden. 0 0 Zu x = 0: y 0 0 = + = : P ( 0 ) Zu x = : y 8 = + = + = P ( ) Zu x = : y = + = + = = P ( ) Zu x = : y 4 = + = + = P ( ) Zu x = 4: y 4 4 = + = + = P ( 4 ) Zu x = 5: y 5 0 Weil für Anzahlen nur die Zahlen aus N O = { 0 ; ; ;...} möglich sind, also G = NO N O gilt, gibt es nur zwei Paare, die für die Lösungsmenge brauchbar sind: 4 = + = + = P ( 5 0 ) 6 {( ),( 5 0) } L =. Als kauft er entweder von jeder Sorte oder nur 5 weiße Mäuse!

6 90 / 500 Lineare Ungleichungen mit Variablen 6. Lineare Ungleichungen mit Variablen Beispiel : y x Es gibt 4 Arten von Ungleichungen, die hier denkbar sind: y < x y x y > x y x. Wenn man die Lösungsmenge der zugehörigen Gleichung darstellen kann, also die Gerade mit der Gleichung y = x, dann kann man auch sofort die Lösungsmengen dieser vier Ungleichungen angeben: () Betrachte diese Punkte: A( 4 ) liegt auf der Geraden, AO denn y = 4 = ( ) A 4 liegt über der Geraden, denn yao = > ya AU ( 4 4) liegt unter der Geraden, denn yau = 4 < ya () Betrachte diese Punkte. B (,5) liegt auf der Geraden, denn y = =,5 B BO ( ) liegt über der Geraden, denn ybo = > y BU (,4) liegt unter der Geraden, denn y Bu =,4 < y B B () Für die Punkte C schreibe ich das anders auf: Sie haben alle drei die x-koordinate -, aber für ihre y-koordinaten gilt: ycu < yc < yco. Das heißt: C liegt auf der Geraden g, Co darüber und Cu darunter. Beobachtung: Man kann anhand der y-koordinaten erkennen, ob ein Punkt oberhalb der Geraden liegt oder unterhalb y = x gilt für alle Punkte auf der Geraden, y < x gilt für alle Punkte unterhalb der Geraden, y > x gilt für alle Punkte oberhalb der Geraden.

7 90 / 500 Lineare Ungleichungen mit Variablen 7 Nun drücken wir uns etwas professioneller aus: Die Ungleichung y < x hat als Lösung Zahlenpaare, die als Punkte in einer Halbebene (ohne Rand) unterhalb der Geraden y = x liegen. Man sagt daher auch: Die Ungleichung y < x beschreibt eine untere Halbebene (ohne den Rand, also ohne die Randgerade). Siehe linke Abbildung. Die gestrichelte Linie bedeutet, dass die Punkte dieser Randgeraden nicht mehr zur Ebene dazu gehören. Die Ungleichung y > x hat als Lösung Zahlenpaare, die als Punkte in einer Halbebene (ohne Rand) unterhalb der Geraden y = x liegen. Man sagt daher auch: Die Ungleichung y > x beschreibt eine untere Halbebene (ohne den Rand, also ohne die Randgerade). Siehe Abbildung rechts. Was ändert sich, wenn wir zur Ungleichung noch das Gleichheitszeichen dazuschreiben? y x heißt, dass y kleiner oder gleich groß sein darf. Dann haben wir die y < x y > x untere Halbebene zusammen mit der Randgeraden y = x. y x heißt, dass y größer oder gleich groß sein darf. Dann haben wir die obere Halbebene zusammen mit der Randgeraden y = x.

8 90 / 500 Lineare Ungleichungen mit Variablen 8 Beispiel : y x+ Man darf nicht so argumentieren: y > x+ Die rote Fläche liegt links von der Geraden y = x+. Anschaulich ist dies in diesem Beispiel richtig (weil die Gerade fällt). Die Ungleichungen y < oder y > haben jedoch mit links bzw. rechts nichts zu tun, sondern mit unter und über. Entsprechend dazu liegt die blaue Halbebene oberhalb der Geraden und nicht rechts von ihr, auch wenn dies umgangssprachlich in diesem Beispiel richtig ist. Beide Ungleichungen definieren eine Halbebene ohne Randgerade. Erst wenn das Gleichheitszeichen zusätzlich dasteht, gehört die Randgerade y = x+ zur Halbebene dazu, also in den Fällen y x+ bzw. y x+! Beispiel y x+ Hier liegt eine steigende Gerade vor. Die obere Halbebene liegt jetzt links von der Geraden, oben lag sie rechts davon. Dies soll zeigen, dass die Begriffe links und rechts nichts mit y > oder y < zu tun haben. Beispiel 4 Für welche Paare ist die Summe ihrer Koordinaten a) kleiner als bzw. b) größer als -? Lösung: y < x+ y > x+ Die Bedingung heißt in a) x+ y < bzw. y < x+ und in b) x+ y > bzw. y > x. y < x+ y = x+ y = x x+ y > x+ y <