Eingescannt aus «Mathematik für die Fachschule Technik» von Heinz Rapp.
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- Benjamin Bäcker
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1 13 Eingescannt aus «Mathematik für die Fachschule Technik» von Heinz Rapp Einführung 13. Äquivalenzumformungen bei 1
2
3 3
4 13.3 Einfache lineare 13.4 Bruchungleichungen 4
5 5
6 6
7 Andere Schreibweise der Lösungsmenge: L x;3 abhängig vom Fachbuch runde Klammer: Grenze gehört nicht dazu eckige (nach innen gerichtete) Klammer: Grenze gehört dazu eckige (nach aussen gerichtete) Klammer: Grenze gehört nicht dazu Q 7
8 8
9 13.5 Übungen Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender x 70 5x G R 9
10 . 3x x 5 13 G R 10
11 3. x 3 x 3 x 3 G R 11
12 4. x 6 4x 1 G N 1
13 x 5. 1 x 1.5x 6 G Z 13
14 7x x G R
15 5x 0 3 G x 7. R 15
16 13.6 Quadratische Die Lösungsmenge kann mit Hilfe einer Faktorisierung des quadratischen Polynoms und anschliessender Fallunterscheidung bestimmt werden. Dazu wird die quadratische Ungleichung zuerst auf die Form Ax + Bx + C > 0 bzw. Ax + Bx + C < 0 gebracht. Danach wird der Term so umgeformt, dass zwei Faktoren F1 und F entstehen (Faktorzerlegung). F1 F > 0 bzw. F1 F < 0 F1 0 F 0 F1 F 0 für oder F1 0 F 0 Ein Produkt ist > 0 wenn beide Faktoren grösser 0 oder beide Faktoren kleiner 0 sind! Beispiel 1 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung D R x 3x (G = R) x 3x 10 0 Faktorzerlegung x 5 x 0 Fallunterscheidung 1 1. Fall (beide Faktoren positiv) x 5 0 x 0 x 5 x L x x. Fall (beide Faktoren negativ) x 5 0 x 0 x 5 x L x x 5 Lösungsmenge L L 1 oder L x x x 5 16
17 Grafische Interpretation von Beispiel 1 Die linke Seite der Ungleichung x 3x 10 0 wird als Funktionswert einer Funktion aufgefasst, d. h. y x 3x 10. Der Graf dieser Funktion ist eine Parabel (zweiten Grades), die im Koordinatensystem die x-achse bei den Punkten ( 5, 0) und (; 0) schneidet: Interpretation: Die Lösungsmenge der Ungleichung x 3x 10 0 entspricht dem grün markierten Bereich auf der x-achse, in dem die Parabel oberhalb der x-achse liegt! Anschaulich: Alle x die in y eingesetzt werden, müssen einen positiven Funktionswert ergeben. Deshalb muss die Lösungsmenge im Intervall ] ; 5[ oder im Intervall ]; [ liegen. y Bemerkung: ausgeschlossen eingeschlossen 17
18 Beispiel Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung D R x 3 x 3x 3x (G = R) 3x 3x 18 0 : 3 Relationszeichen kehren x x 6 0 Faktorzerlegung 0 Fallunterscheidung 1 1. Fall (beide Faktoren positiv) x 3 0 x 0 x 3 x L x x 3. Fall (beide Faktoren negativ) x 5 0 x 0 x 5 x L x x Lösungsmenge oder 1 L L L x x 3 x 18
19 13.7 Übungen Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender. 1. x x 1 0 G R 19
20 x 3 1 x 1. G R 0
21 3. 5x 5 x 3x x 4 5 GR BM-Prüfung Bern 1
22
23 x 1 R BM-Prüfung Uri x 4. G 3
24 4
25 x 1 x 1 x 3 x 3 5. G R BM-Prüfung Uri
26 6
27 13.8 Übungsprüfung Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender. Für alle Aufgaben gilt G = R x 3x 4. 3x 5 x 1 3 7
28 x 0 Zeichnen Sie den Grafen der Lösungsmenge auf. 4. x x 1 x 1 0 Zeichnen Sie den Grafen der Lösungsmenge auf. 8
29 5. 4 x 1 3 x 9
30 13.9 Grafisches Lösen linearer Eine lineare Ungleichung mit einer Lösungsvariable x lässt sich durch äquivalente Umformungen stets in folgende Form bringen: Ax B 0 bzw. Ax B 0 Ax B 0 bzw. Ax B 0 Die linke Seite der Ungleichung wird als Funktionswert einer Funktion (lineare Funktion) aufgefasst und kann somit als Graf im Koordinatensystem eingezeichnet werden. Beispiel Bestimmen Sie grafisch die Lösungsmenge der Ungleichung x 5. (G = R) x 5 x 3 0 zugehörige (lineare) Funktion: y f x x 3 Lösung: Alle x die in y eingesetzt werden und einen negativen Funktionswert (y < 0) ergeben, sind L x R x 1.5. Lösungen der Ungleichung. Somit: 30
31 13.10 mit dem TI kontrollieren Bei der Kontrolle von muss der gleiche Term mit verschiedenen x-werten getestet werden. Damit das mühsame Eintippen nicht ständig wiederholt werden muss, kann der Term einmal eingetippt und abgespeichert werden. Danach kann der Term mit verschiedenen Werten beliebig oft (und sehr schnell) berechnet werden. Beispiel: 5x 0 3 x mit L x R 0 x 10 (Aufgabe 7 von Übung 14.5) Eingabe: (der Term auf der linken Seite wird unter y abgespeichert) Kontrolle: Der Term wird für x = 10 wie folgt berechnet: links von Ziffer 7 Für weitere Kontrollen muss nur der x-wert geändert werden. z. B. für x = 9.99: Achtung: Variable kann für neue Berechnungen überschrieben werden. Oder mit kann die Variable auch gelöscht werden. 31
32 13.11 Betragsgleichungen Gleichungen, in denen die Unbekannte in Beträgen vorkommt, heissen Betragsgleichungen. Beim Auflösen des Betrages müssen Fallunterscheidungen vorgenommen werden. Ist T(x) ein Term mit der Variablen x, so gilt: T x T x für T x 0 T x für T x 0 Beispiele: Beispiel 1 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Betragsgleichung 4x 1. (G = R) D R 1. Fall 1 4x 1 : 4 x 3 L 3 x 0 Da die Lösung im Intervall [ 0; [ liegt, gehört sie zur Lösungsmenge. x0. Fall x 0 4x 1 : 4 x 3 Da die Lösung im Intervall ] ;0[ liegt, gehört sie zur Lösungsmenge. L 3 x0 Lösungsmenge 1 L L L 3, 3 Kontrolle durch Einsetzen der Lösungen in die ursprüngliche Betragsgleichung oder mit TI: 3
33 Beispiel Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Betragsgleichung x 1 5. (G = R) D R 1. Fall x 1 0 x 1 x x 6 Da die Lösung im Intervall [1; [ liegt, gehört sie zur Lösungsmenge. 1 L 6 x1. Fall x 1 5 x 1 0 x 1 x 1 5 TU x 4 Da die Lösung im Intervall ] ;1[ liegt, gehört sie zur Lösungsmenge. L 4 x1 Lösungsmenge 1 L L L 6, 4 Kontrolle durch Einsetzen der Lösungen in die ursprüngliche Betragsgleichung oder mit TI: 33
34 Beispiel 3 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Betragsgleichung x 3 4x 7. (G = R) D R 1. Fall 3 x 3 0 x x 3 4x 7 x 7 4 x : x Da die Lösung im Intervall [ 3 ; [ liegt, gehört sie zur Lösungsmenge. 1 L 3 x 3. Fall x 3 0 x x 3 4x 7 x 3 4x 7 x x : 6 5 x Da die Lösung nicht im Intervall ] ;3 [ liegt, gehört sie nicht zur Lösungsmenge. 3 L 3 x Lösungsmenge 1 L L L Kontrolle durch Einsetzen der Lösungen in die ursprüngliche Betragsgleichung oder mit TI: 34
35 13.1 Übungen Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Betragsgleichungen. 1. x 11 G R 1. Methode (ohne Festlegung von Intervallen). Methode (mit Festlegung von Intervallen) Kontrolle: 35
36 . x 1 1 G R 36
37 Grafische Darstellung der Lösungsmenge von Aufgabe Variante 1: x1 1 y y 1 Variante : y y 1 x 1 1 y x 1 y x 11 x für x 1 y x 1 1 x für x 1 37
38 x 3. x 4 G R 38
39 Grafische Darstellung der Lösungsmenge von Aufgabe 3 Variante 1: x y1 4 x y Variante : x x 0 4 x y 4 x y1 y x 3 y 4 x x 4 für x 0 x 1 y 4 x x 4 für x 0 39
40 4. x 1 x 5 G R 40
41 Grafische Darstellung der Lösungsmenge von Aufgabe 4 x1 x 5 y y 4 1 y y3 41
42 13.13 Betragsungleichungen Wird in einer Betragsgleichung das Gleichheitszeichen durch "", "", "" bzw. "" ersetzt, entsteht eine Betragsungleichung. Betragsungleichungen können entsprechend den bereits behandelten Regeln (Betragsgleichungen bzw. ) gelöst werden. Allgemein sind die Lösungsmengen von Betragsungleichungen Vereinigungen von Intervallen. Beispiel Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Betragsungleichung x 5 4. (G = R) D R 1. Fall 1 x x 9 x 5 0 x 5 x 5 x 9 L x x x 9. Fall x 5 4 Klammer auflösen x x 1 : 1 x 1 x 5 0 x 5 x 5 x 1 L x x x 1 Lösungsmenge 1 L L L x x 9 x 1 Kontrolle T 0 : w korrekt! T 1 : f korrekt! T 9 : f korrekt! T 10 : w korrekt! 4
43 Grafische Darstellung der Lösungsmenge des Beispiels Variante 1: x 5 4 y y 1 Variante : x 5 4 y x y 1 y1 y x 5 4 x 9 für x 5 y x 5 4 x 1 für x 5 43
44 13.14 Übungen Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Betragsungleichungen. 1. x 7 4 G R 44
45 Grafische Darstellung der Lösungsmenge von Aufgabe 1 Variante 1: x 7 4 y y 1 Variante : x 7 4 y x y 1 y1 y x 7 4 x 11 für x 7 y x 7 4 x 3 für x 7 45
46 x 3 x 5. 6 GR 46
47 47
48 x 3 1 x 3. 3 GR 48
49 49
50 13.15 Lineare Ungleichungssysteme Beispiel 1 (Frommenwiler, Aufgabe 891a) Schraffieren Sie das Gebiet, das durch die folgenden bestimmt ist. Es gilt G = R x R. x y 5 Vereinbarung: ausgezogene Linie Randgerade gehört zur Lösungsmenge! gestrichelte Linie Randgerade gehört nicht zur Lösungsmenge! 50
51 Beispiel (Frommenwiler, Aufgabe 891b) Schraffieren Sie das Gebiet, das durch die folgenden bestimmt ist. Es gilt G = R x R. 0 x y x 5 51
52 Beispiel 3 (Frommenwiler, Aufgabe 89a) Schraffieren Sie das Gebiet, das durch die folgenden bestimmt ist. Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte dieses Gebietes. Es gilt G = R x R. x 0 1 y 0 y x 3 3 y x y x 5 3 5
53 Beispiel 4 (Frommenwiler, Aufgabe 90) Damit eine Halle optimal beleuchtet werden kann, sind mindestens 6 Beleuchtungskörper notwendig. Bei Verwendung von 50-Watt-Leuchten und 500-Watt-Leuchten darf der stündliche Verbrauch nicht mehr als.5 kwh betragen. Wie viele Installationen sind möglich? Zuordnung der Variablen und Festlegung der Definitionsmenge: Ungleichungssystem aufstellen (Nebenbedingungen, Einschränkungen, Restriktionen): ins Koordinatensystem einzeichnen: Lösung: 53
54 13.16 Lineare Optimierung In unserer Wirtschaft und Technik treten Probleme auf, die mit Hilfe geeigneter Ungleichungssysteme gelöst werden können. Solche Probleme sind zum Beispiel: a. Wie kann die Kapazität von Maschinen so eingesetzt werden, dass der Gewinn möglichst gross wird? b. Wie müssen Transportmittel eingesetzt werden, damit die anfallenden Kosten so gering wie möglich bleiben? c. Wie viel Waren von welcher Sorte müssen eingekauft werden, damit bei gegebenem Verkaufspreis ein optimaler Gewinn erzielt werden kann? Zur Lösung solcher Probleme verbindet man genau wie bei der Aufstellung von Textgleichungen die vorgegebenen Bedingungen mit den Variablen x und y in Form von. Durch die Aufgabenstellung wird nach einer sogenannten Zielfunktionsgleichung z = ax + by gefragt, die so klein wie möglich (z. B. Kosten) oder so gross wie möglich (z. B. Gewinn) werden soll. Die Zielfunktion z ist also immer die Grösse, welche optimiert werden soll. Lösungsschema zum linearen Optimieren mit zwei Lösungsvariablen 1. Zuordnung der Variablen und Festlegung der Definitionsmenge.. Die Aussagen des Textes in Form von darstellen. Achtung: Definitionsmenge nicht vergessen! Aus D = N 0 x N 0 folgt: x 0 und y 0 3. Die werden in einem Koordinatensystem grafisch dargestellt. Die Fläche, die von den Geraden berandet wird, nennt man Planungspolygon (Planungsvieleck). 4. Für das zu optimierende Problem (Minimum bzw. Maximum) wird eine Funktion aufgestellt. Diese Funktion heisst Zielfunktion (z min bzw. z max ) und ist eine Gerade. 5. Steigung der Zielfunktion einzeichnen: Die Steigung der Zielfunktion z ist bekannt und kann in das Planungsvieleck eingezeichnet werden (z. B. für z = 0 verläuft diese Hilfsgerade durch den Nullpunkt). 6. Nun wird die Hilfsgerade parallel in dem Planungsvieleck verschoben, dass sie durch den äussersten Eckpunkt oder der äussersten Kante verläuft. Bei einem Maximum muss der y-achsabschnitt maximal bei einem Minimum entsprechend minimal sein! 7. Die x- bzw. y-koordinaten dieses Eckpunktes, eingesetzt in die Zielfunktion, ergeben den optimalen Wert für die Zielfunktion. Da das Herauslesen aus der Grafik zu ungenau ist, wird der Schnittpunkt berechnet. 8. Falls die Gerade der Zielfunktion mit einer Kante des Planungsvielecks zusammenfällt, gibt es unendlich viele Lösungen, die durch den Abschnitt der betreffenden Gerade beschrieben werden. 9. Für den Fall, dass die Nebenbedingungen von drei Entscheidungsvariablen abhängen, ergibt sich die Lösung als Schnittmenge von Ebenen, deren grafische Darstellungen entsprechend schwierig ist. 54
55 Beispiel 1 Ein EDV-Fachgeschäft bietet Monitore mit einer Bilddiagonalen von 17 sowie mit einer von 1 Zoll an. Gemäss Vorgaben sollen von den 1 Zoll-Modellen höchstens 0 Stück mehr als von den 17 Zoll-Modellen angeschafft werden. Von den 17 Zoll-Modellen sollen höchstens 40 Stück, von beiden Modellen zusammen höchstens 60 Stück gekauft werden. Der Gewinn für ein 17 Zoll-Modell beträgt CHF 40., für ein 1 Zoll-Modell CHF 50.. Bei welchen Stückzahlen ist der Gewinn am grössten und wie gross ist er? 55
56 56
57 Beispiel (Frommenwiler, Aufgabe 909) Aus Reis und magerem Schweinefleisch soll ein Eintopf zubereitet werden. Pro Person werden 450 g Eintopf gerechnet, wobei nicht mehr als 300 g Schweinefleisch beigegeben werden darf. Für einen ausgewogenen Geschmack soll der Reisanteil gewichtsmässig höchstens 75 % des Schweinefleischanteils betragen. 1 kg Schweinefleisch enthält 7'36 kj, 1 kg Reis 15'447 kj. Wie muss dosiert werden, damit das Essen möglichst energiereich sein soll? 57
58 58
Inhaltsverzeichnis Mathematik
1. Mengenlehre 1.1 Begriff der Menge 1.2 Beziehungen zwischen Mengen 1.3 Verknüpfungen von Mengen (Mengenoperationen) 1.4 Übungen 1.5 Übungen (alte BM-Prüfungen) 1.6 Zahlenmengen 1.7 Grundmenge (Bezugsmenge)
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