12 Lineare Gleichungssysteme

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1 2 2. Einführung Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen, die verschiedene Variablen enthalten können. Wir werden uns im Wesentlichen auf Gleichungssysteme mit zwei Variablen beschränken. Die Lösung eines linearen Gleichungssystems aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen ist jedes Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt. Für das Lösen eines linearen Gleichungssystems gibt es drei gebräuchliche Methoden:. Einsetzmethode 2. Additionsmethode 3. Gleichsetzungsmethode Die drei Lösungsmethoden werden anhand der Kinoaufgabe vorgestellt. Zwei Erwachsene und zwei Kinder. 20 Franken, bitte! Ein Erwachsener und drei Kinder. 7 Franken, bitte! Daraus entsteht die. Gleichung: 2K 2E 20 Daraus entsteht die 2. Gleichung: 2 3K E 7 Gesucht werden die Eintrittspreise für ein Kind (K) bzw. für einen Erwachsenen (E). Kommentar Wenn eine Aufgabe zwei Unbekannte aufweist (K und E im Beispiel oben), müssen zwei Gleichungen (Gleichungssystem) aufgestellt werden, damit die Unbekannten eindeutig bestimmt werden können. Anzahl Unbekannte = Anzahl Gleichungen Die Unbekannten müssen nicht immer x und y heissen. Im obigen Beispiel sind die Variablen K für Kind bzw. E für Erwachsene die besseren Variablennamen (eindeutige Zuordnung). Es gelten dieselben Rechenregeln wie bei den Gleichungen mit einer Unbekannten.

2 2.2 Einsetzmethode (Substitutionsmethode) Vorgehensweise: Eine Gleichung wird nach einer Variablen aufgelöst. Der Term, den man dadurch für diese Variable erhält, wird in die andere Gleichung eingesetzt. Man erhält eine lineare Gleichung mit nur einer Variablen. Ursprüngliches Gleichungssystem: Der kleinste Rechenaufwand ergibt sich für die Variable E bei der Gleichung (2). Deshalb wird die Gleichung (2) nach E aufgelöst: Danach wird (2a) in () eingesetzt. Man erhält eine Gleichung mit nur einer Variablen: Die Gleichung (a) wird nach K aufgelöst: Für die Berechnung von E wird das Resultat (c) in (2a) eingesetzt: Probe, durch Einsetzen der beiden Lösungen in die ursprünglichen Gleichungen: Lösungsmenge, ist ein Zahlenpaar (K;E), welches die beiden Gleichungen erfüllt: 2K 2E K E 7 2a E 7 3K 7 3K a 2K 2 20 b 2K 34 6K 20 4K 4 4 c K a E E wahre Aussage wahre Aussage L 3.5; 6.5 Kommentar Die konsequente Durchnummerierung der Gleichungen erhöht den Überblick und hilft den Lösungsweg nachzuvollziehen. Durch Einsetzen in die ursprünglichen Gleichungen kann ein Gleichungssystem kontrolliert werden. Die Lösung einer Gleichung mit den Lösungsvariablen x, y (oder K, E) ist ein Zahlenpaar (x-wert, y-wert), welches die beiden Gleichungen erfüllen. Die Lösungsmenge ist immer anzugeben! 2

3 2.3 Additionsmethode Vorgehensweise: Die Gleichungen werden so umgeformt, dass bei der Addition der Gleichungen eine Variable entfällt. Man erhält eine lineare Gleichung mit nur einer Variablen. Ursprüngliches Gleichungssystem: Damit bei einer Addition eine Variable wegfällt, muss eine der Variablen in beiden Gleichungen entgegengesetzt gleiche Koeffizienten besitzen. Dies kann erreicht werden, indem eine oder beide Gleichungen mit geeigneten Zahlen multipliziert werden. Der kleinste Rechenaufwand ergibt sich, wenn die Variable E weggeschafft wird: Variable E beseitigen durch Addieren der beiden Gleichungen. Die linken und die rechten Seiten werden jeweils addiert: 2K 2E K E 7 2 3K E 7 2 2a 6K 2E 34 2K 2E 20 2a 6K 2E K 4 Die Gleichung (3) wird nach K aufgelöst: 4 3a K Für die Berechnung von E wird das Resultat (3a) in (2) eingesetzt: Probe, durch Einsetzen der beiden Lösungen in die ursprünglichen Gleichungen: Lösungsmenge, ist ein Zahlenpaar (K;E), welches die beiden Gleichungen erfüllt: E E 7 E wahre Aussage wahre Aussage L 3.5; 6.5 Kommentar Die konsequente Durchnummerierung der Gleichungen erhöht den Überblick und hilft den Lösungsweg nachzuvollziehen. Durch Einsetzen in die ursprünglichen Gleichungen kann ein Gleichungssystem kontrolliert werden. Die Lösung einer Gleichung mit den Lösungsvariablen x, y (oder K, E) ist ein Zahlenpaar (x-wert, y-wert), welches die beiden Gleichungen erfüllen. Die Lösungsmenge ist immer anzugeben! 3

4 2.4 Gleichsetzungsmethode Vorgehensweise: Beide Gleichungen werden nach derselben Variablen aufgelöst. Danach können die Gleichungen gleichgesetzt werden. Man erhält eine lineare Gleichung mit nur einer Variablen. Ursprüngliches Gleichungssystem: Beide Gleichungen werden nach derselben Variablen aufgelöst. Der kleinste Aufwand ergibt sich hier, wenn beide Gleichungen nach 2E aufgelöst werden. Dazu muss die zweite Gleichung mit 2 multipliziert werden: Die beiden Gleichungen (a) und (2b) werden gleichgesetzt. Man erhält eine neue Gleichung (3) mit nur einer Variablen: Die Gleichung (3) wird nach K aufgelöst: Für die Berechnung von E wird das Resultat (3b) in (2a) eingesetzt: Probe, durch Einsetzen der beiden Lösungen in die ursprünglichen Gleichungen: Lösungsmenge, ist ein Zahlenpaar (K;E), welches die beiden Gleichungen erfüllt: 2K 2E K E 7 a 2E 20 2K 2a E 7 3K 2 2b 2E 34 6K K 34 6K 3a 4K 4 4 3b K a E E wahre Aussage wahre Aussage L 3.5; 6.5 Kommentar Die Koeffizienten der Variablen müssen zum Gleichsetzen nicht zwingend sein. Wichtig ist, dass beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst werden und vor dem Gleichsetzen den gleichen Koeffizienten haben (im Beispiel oben wurde z. B. nach 2E aufgelöst und nicht nach E). Die konsequente Durchnummerierung der Gleichungen erhöht den Überblick und hilft den Lösungsweg nachzuvollziehen. Durch Einsetzen in die ursprünglichen Gleichungen kann ein Gleichungssystem kontrolliert werden. Die Lösung einer Gleichung mit den Lösungsvariablen x, y (oder K, E) ist ein Zahlenpaar (x-wert, y-wert), welches die beiden Gleichungen erfüllen. Die Lösungsmenge ist immer anzugeben! 4

5 2.5 Grafische Lösung der Kinoaufgabe Definitionen: x = Preis für ein Kind in CHF, y = Preis für einen Erwachsenen in CHF Ursprüngliches Gleichungssystem: K = x und E = y einsetzen: Beide Gleichungen nach y auflösen. Danach beide Funktionen in das Koordinatensystem einzeichnen: 2K 2E K E 7 a 2x 2y 20 2a 3x y 7 b 2y 2x 20 : 2 c 2b y x0 y 3x 7 y y x 0 3x 7 Koordinaten des Schnittpunkts S berechnen mit der Gleichsetzungsmethode (c) = (2b): 2x 7 x 3.5 y x S3.5; 6.5 5

6 2.6 Vorgehen beim Lösen von Gleichungssystemen mit zwei Variablen Beim Lösen von Gleichungssystemen mit zwei Variablen gehen wir wie folgt vor:. Bestimmen des Definitionsbereichs (Schreibweise z. B. D = R x R oder D x = R, D y = R) 2. Ausrechnen und ordnen der Terme der Gleichungen 3. Eliminieren einer Variablen mit Hilfe einer bestimmten Methode 4. Ausrechnen der. Variable 5. Einsetzen des Wertes der. Variable und ausrechnen des Wertes der 2. Variable 6. Kontrolle durch Einsetzen in die ursprünglichen Gleichungen 7. Darstellung der Lösungsmenge, L = {(x; y)} Definitionsbereich beachten! Achtung: Bei den nachfolgenden Beispielen muss aufgepasst werden! Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichung in der Grundmenge R x R. Beispiel (Einsetzmethode): Beispiel 2 (Additionsmethode): y 4 x 2 4x 3y 8 y (zuerst Terme ordnen 2. Punkt) x 2y x x 2y x 2 (der Term mit beiden Variablen im Nenner muss eliminiert werden) Beispiel 3 (Gleichsetzungsmethode): 8x 2y 9 5y 5y x 4y (zuerst Terme ordnen 2. Punkt) Gefahr: Es bleiben immer noch zwei Unbekannte! Fazit: Nach dem 3. Punkt unbedingt kontrollieren, ob tatsächlich nur noch Unbekannte vorkommt! 6

7 2.7 Zusammenfassung Anzahl Unbekannte = Anzahl Gleichungen Ziel jeder Methode: Eine Variable muss weggeschafft werden. Man erhält eine lineare Gleichung mit nur einer Variablen. Unbekannte = Gleichung lösbar Bei Textaufgaben: Anzahl Unbekannte = Anzahl Gleichungen Bei zwei Situationen hilft es oft, wenn Sie auch zwei Skizzen erstellen. Die Unbekannten müssen nicht immer x und y heissen. Sinnvolle Namen verwenden, besser H (für Hühner) und K (für Kaninchen) statt x bzw. y. Deklarieren Sie was gegeben ist bzw. was gesucht wird. Es lohnt sich den Grossteil des Zeitaufwandes für die Analyse zu verwenden. Der Rest ist nur noch «Rechenknechtarbeit». Es können immer alle drei Methoden zur Lösung eines Gleichungssystems eingesetzt werden. Je nach Konstellation der Koeffizienten ist der Lösungsaufwand für die jeweilige Methode jedoch unterschiedlich gross. In der Praxis wählt man immer die Methode, für die der Aufwand minimal ist. Mit etwas Erfahrung und Übung werden Sie merken, welche Methode für die jeweilige Problemstellung am effizientesten ist! Zuerst überlegen, welches Lösungsverfahren eignet sich? Insbesondere wenn die Variablen im Nenner stehen, eignet sich das Additionsverfahren sehr gut. Werden die beiden linearen Gleichungen im Koordinatensystem dargestellt, so sind die Graphen immer zwei Geraden. Dadurch müssen drei Fälle unterscheidet werden:. Die beiden Geraden schneiden sich. Die Koordinaten des Schnittpunktes S ergeben das Zahlenpaar (x;y) das beide Gleichungen erfüllt. 2. Die beiden Geraden verlaufen parallel zueinander. Es entsteht kein Schnittpunkt. Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist leer. Das System lässt sich nicht erfüllen, es ist unlösbar. 3. Die beiden Geraden fallen in eine Gerade zusammen. Beide Gleichungen haben die gleiche Lösungsmenge, die aus unendlich vielen Zahlenpaaren (x;y) besteht. Diese unendliche Menge ist zugleich die Lösungsmenge des Systems. Durch Einsetzen in die ursprünglichen Gleichungen kann ein Gleichungssystem kontrolliert werden. Beide Lösungen in die beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen! 7

8 2.8 Übungen Lösen Sie die nachfolgenden Gleichungssysteme grafisch nach den beiden Unbekannten x und y auf. Für alle Aufgaben gilt G = R x R.. 2x y 5 x 2y 4 2 y 2x 5 a 2y x 4 2a y x 2 2b 2 D R x R L 2, 8

9 2. 3x 4y 3 5x 3y 7x 9y 8 3x y 2 y 3 5x 3x a D R x R y 2x 3 b 2y 8 3x 7x 2a 4 b L y 2x 2 9

10 3. 3x 2 4y 8y 24 6x 0 2 4y 3x 2 a 3 y x 3 4 b 8y 6x 24 2a 3 y x 3 4 2b D R x R 3 L x, y x, x 3 4 0

11 Lösen Sie die nachfolgenden Gleichungssysteme mit der Einsetzmethode! Für alle Aufgaben gilt G = R x R. 4. 7x 5y 26 2x y 5 2 D R x R aus 2 : y 2x 5 2a 2a in : 7x 52x x 0x x 5 x in 2a : y 23 5 somit: L 3; Kontrolle mit und 2 : w w 5. 3x 2y 3y 3x 24 2 D R x R aus 2 : 3y 24 3x 2a 2a in : 3y 24 2y 5y 25 3 in 2a : x y x x 3 somit: L 3; 5 Kontrolle mit und 2 : w w

12 6. 5x 2y 55 2x 3y 2 2 Franz Zberg D R x R 2 2x aus 2 : y 2a 3 2 2x 2a in : 5x x 5x x 42 4x 65 4x 23 x in 2a : y somit: L 3; 5 Kontrolle mit und 2 : w w x y x 3 y 2 2 Männel Aufgabe9a, Seite 7 D R \ ; 3 x R \ 4; 2 aus : 9y 4 2x : 3 a 3y 2 4x 4 b aus 2 : 4y 2 8x 3 : 2 2a 2y 4 4x 2 2b 4x 2y 4 2 2y 8 2c 2c in b : 3y 2 2y 8 4 y in 2c : 4x x 2 somit: L 2; 0 Kontrolle mit und 2 : w w 2

13 Lösen Sie die nachfolgenden Gleichungssysteme mit der Additionsmethode! Für alle Aufgaben gilt G = R x R. 8. 5x 2y 26 3x 4y 2 2 Franz Zberg D R x R : 5x 2y 26 2 a : 30x 4y : 3x 4y 2 a + 2 : 33x 264 :33 3 : x 8 3 in 2 : 38 4y 2 4y : 4 y 3 Kontrolle mit und 2 : w w somit: L 8; x 2y 27 x 8y 65 2 Männel Aufgabe 0b auf Seite 70 D R x R : 7x 2y : x 8y 65 3 a : 4x 24y 54 2a : 33x 24y 95 a 2a : 47x 4 : 47 3 : x 3 3 in : 7 3 2y in : y 4 2 Kontrolle mit und 2 : w w somit: L 3; 4 3

14 .8x 2.5y x 3.5y 2 2 Männel Aufgabe a auf Seite 70 D R x R :.8x 2.5y : 2.4x 3.5y 2 3 a : 7.2x 0y 36 2a : 7.2x 0.5y 36 a 2a : 0.5y 0 3 : y 0 3 in :.8x x 5.8 Kontrolle mit und 2 : w w somit: L 5; x y x 2 y 2 Männel Beispiel auf Seite 70 D R \ 2; x R \ ; 2 a : 8y 2 2x ausmultiplizieren b : 8y 6 2x 2 : 2 2a : 5y 8x 2 ausmultiplizieren 2b : 5y 5 8x 36 : 3 c : 4y 8 6x 6 2c : 5y 5 6x 2 c 2c : y : y in c : x 6 x 3 L ; Kontrolle mit TI 4

15 x 2y x 4y 3 2 Männel Aufgabe 22b auf Seite 7 D R \ 0 x R \ 0 Kontrolle mit und 2 : : 2: a : 2a : x 2y x 4y x 4y x 4y a 2a : 3x 4x 2 3 : x x 2x x w w 3 in : y y y 3 somit: L ; 3 5

16 3. 3 x 2y x 2 y 2 4 Hächler Aufgabe f auf Seite 22 D R \ x R \ 2 Kontrolle mit und 2 : 2: 2a : 2 9 2x 2 y x 2 y : x 2y w 3 9 2a : x 8 x x 8 x x 3 : x x in : 3 2y 4 3 2y 4 2 2y y 4 2 y 3 somit: L 3; 3 6

17 Lösen Sie die nachfolgenden Gleichungssysteme mit der Gleichsetzmethode! Für alle Aufgaben gilt G = R x R. 3x 2y x y 8 x y 20 2 Franz Zberg D x R y R 3x y 0 a : 24x 6y 5x 5y TU b : 9x y 2a : 9x 80 9y b 2a : y 80 9y TU 3 : y 9 20y 80 : 20 3 in b : 9x 9 : 9 x Kontrolle mit und 2 : w w somit: L ; 9 7

18 3x 2y 5. 3y 3x 24 2 Hächler auf Seite 27 D R xr aus : 3x 2y a aus 2 : 3y 24 3x 2a a 2 : 2y 3y 24 TU 25 5y :5 y in : 3x 25 TU 3x 9 : 3 Kontrolle mit und 2 : w w x 3 somit: L 3; 5 8x 2y 9 5y 6. 5y x 4y 2 Hächler auf Seite 27 D R xr aus : 8x 7y 9 a aus 2 : x y 2a 9 7y aus a : x b 8 b 2a : 9 7y y 8 9 7y 8 8y y 3 3 in 2a : x 2 Kontrolle mit und 2 : w w x 2 somit: L 2; 8

19 2.9 Lösen von Gleichungssystemen mit Hilfe einer geeigneten Substitution Manchmal lassen sich Gleichungssysteme durch eine geeignete Substitution auf einfachere Gleichungen zurückführen. Beispiel (G = R x R) 2 2 m n m n 2 m n 2 m n Definitionsbereich : D m; n m, nr 3 4 Substitution : x m n y m n 3 und 4 in : x y in 2 : x 2 7 somit: 7 in 6 : 2y 20 y 0 8 Rücksubstitution : 7 3 : 2 m n : 0 m n : 22 2m m in 0 : n 0 m n 0 Kontrolle : w 2 w somit : L m; n ; Stellvertretung, Ersetzung 9

20 Beispiel 2 (Aufgabe 390c, Frommenwiler) Lösen Sie das Gleichungssystem mit einer geeigneten Substitution. G = R x R. 5q 3 4p q 2p 4q 7q 5 4p q 3 2p 4q 2 q D p R qr p 2q p 4 Kontrolle mit TI! Substitution: q u 4p q und v 2p 4q somit: 3 5u v a 7 5 7u 3 v 2a 5 2 aus a : 35u 7 b v 5 25 aus 2a : 35u 2b 3 v b 2a : 7 TU v 3 v 4 6 v 3 TU 4v 3 TU 3 v in a : 5u 5 u 3 q Rücksubst.: 4 4p q 3 2 p 2q 5 4 aus 4 : 4p q q 4a p 0 4b q 6 4b in 5 : 22q 4q 5a 3 L p; q 0; 6 20

21 Beispiel 3 (Berufsmaturitätsprüfung 999) Lösen Sie das Gleichungssystem mit einer geeigneten Substitution. G = R x R. 8 3 x 3 y y 3 x 3 x 3 0 x 3 gleich Null ist verboten! D x R y R x 3 y 3 y 3 0 y 3 gleich Null ist verboten! Kontrolle mit TI! Substitution: u x 3 und v y somit: a u v aus a 2 und alphabetisch anordnen v u u v 2a : 2b 3 8 a + 2b : 8 TU v v 5 9 TU v 5 5 v in a : TU u u u 4 7 TU Rücksubst.: u x 3 x 3 x v y 3 y 3 y somit: L ;

22 2.0 mit drei Unbekannten Vorgehen Man versucht, aus zwei Gleichungen eine Unbekannte zu eliminieren. Dann eliminiert man aus zwei anderen Gleichungen die gleiche Unbekannte. Damit erhält man ein Gleichungssystem von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, welches wie üblich gelöst wird. Die dritte Unbekannte wird durch Einsetzen der beiden anderen Unbekannten in einer Gleichung berechnet. Beispiel (G = R x R x R) 2x 3y 3z x 2y 2z x 5y z 6 2 z eliminieren aus und 2 : a 2a a 2a : 4x 6y 6z 20 9x 6y 6z 2 3x 2y a 2b 3a Definitionsbereich : D x; y; z x, y, z R 2b 3x 2y 2z 4 8x 0y 2z 2 z eliminieren aus 2 und 3 : : x 2y x 2y 32 5 multipliziert mit : x 2y : 2x 6 reduziertes Gleichungssystem : 6 in 5 : 8 2y 6 x y 72 y

23 z berechnen : 6 und 7 in : z 0 3z 2 z 4 somit : L x; y; z 8; 6; 4 Kontrolle : w w w 2. Übungen, Frommenwiler Lösen Sie die folgenden Aufgaben: Nummer Seite Bemerkungen 382 (alle) 25 Kontrolle mit TI üben 383 (a, b und c) 25 Kontrolle mit TI üben 384 (a und c) 25 Kontrolle mit TI üben 385 (alle) 25 Kontrolle mit TI üben 386 (c und d) 26 Kontrolle mit TI üben Kontrolle mit TI üben 388 (a) 26 Kontrolle mit TI üben 389 (alle) 26 Kontrolle mit TI üben 390 (a, b und d) 27 Kontrolle mit TI üben 39 (c und e) 27 Kontrolle mit TI üben 40 (a und b) 3 Kontrolle mit TI üben 4 (b und d) 3 Kontrolle mit TI üben 23

24 2.2 Anwendungen, die mit Gleichungssystemen gelöst werden können Beispiel (aus der Elektrotechnik) Berechnen Sie die Spannung U 2 und den Strom I 3. gegeben: U = 2 V, R = 820 Ω, R 2 = 80 Ω und R 3 = 220 Ω U I R I 3 gesucht: U 2 =? und I 3 =? R 2 U 2 I 3 R 3 Masche : I R R I R U Masche 2: I R I R R 0 V Masche : I I 80 2 V 3 Masche 2: I 80 I V I bzw. I 3 berechnet: somit: I ma und U2 U3 I3 R ma V Kontrolle: Simulation mit «Crocodile Clips» 24

25 Beispiel 2 (aus der Elektrotechnik) Berechnen Sie die Spannung U 3. I I 2 U 2 gegeben: U = 0 V, U 2 = 2 V R = kω, R 2 =.8 kω und R 3 = 2.2 kω gesucht: U 3 =? Masche : I R R I R U Masche 2: I R I R R U Masche : I k 2.2k I 2.2k 0 V 2 Masche 2: I 2.2k I.8 k 2.2k 2 V I bzw. I 2 berechnet: somit: U I I R.7mA 2.06 ma 2.2k 8.29 V Kontrolle: Simulation mit «Crocodile Clips» 25

26 Beispiel 3 (aus der Mechanik) Eine Strassenlampe mit der Gewichtskraft F G = 0 N ist an zwei Masten so montiert, dass sich die unten abgebildete Seilgeometrie ergibt. Berechnen Sie die Beträge der Seilkräfte F und F 2. gegeben: F 0 N, 70, 37 G gesucht: F? und F? 2 Ansatz: F 0 (Summe aller Kräfte in x-richtung = 0) x F 0 (Summe aller Kräfte in y-richtung = 0) y Winkel: eingesetzt: F F F 0 F cos 20 F cos53 x x 2x 2 F F F F 0 F sin20 F sin53 0 N y y 2y G 2 F u. F 2 berechnet: somit: F 6.29 N und F N 26

27 2.3 Lösen von Gleichungssystemen mit dem TI Beispiel (grafische Lösung) G R x R 4x 4 4y 5y 0x 5 2 D R x R Beide Gleichungen müssen zuerst nach y umgeformt werden (explizite Form): y x a y 2x 2a Eingabe: Schnittpunkt: mit aktivieren y = eintippen y2 = eintippen mit zeichnen und SchnittPkt, danach. Kurve? und 2. Kurve? mit Pfeiltasten auswählen und mit bestätigen. Danach untere und obere Grenze mit dem Cursor ( oder ) festlegen und SchnittPkt ablesen: Ergebnis: xc: 2 yc: 3 L 2; 3 Achtung: Grafische Lösung funktioniert nur bei Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten! Den Definitionsbereich nicht vergessen! 27

28 Beispiel 2 (Lösung mit dem Solver) Mit der Taste und :Löse() lassen sich viele Gleichungen lösen. Die Funktion Löse() zeigt aber den Lösungsweg nicht an. Es kann sogar vorkommen, dass die Funktion falsche Resultate anzeigt. G R x R 4x 4 4y 5y 0x 5 2 D R x R Eingabe: Löse and Ergebnis: x = 2 and y = 3 L 2; 3 Achtung: Auch wenn die Sprache auf Deutsch eingestellt ist, muss das «und» in englischer Sprache eingegeben werden (am einfachsten über ). 28

29 Beispiel 3 (Lösung mit dem Solver) Mit der Taste und :Löse() lassen sich viele Gleichungen lösen. Die Funktion Löse() zeigt aber den Lösungsweg nicht an. Es kann sogar vorkommen, dass die Funktion falsche Resultate anzeigt. G R x R x R 3a 3c 2b 6 a b c 7 2 2c 3b 3 4a D R x R x R Eingabe: Löseacb and abc and cbaabc Ergebnis: a = 2 and b = and c = 4 L a; b; c 2;; 4 Achtung: Auch wenn die Sprache auf Deutsch eingestellt ist, muss das «und» in englischer Sprache eingegeben werden (am einfachsten über ). 29

30 2.4 Cramersche Regel (Determinantenmethode) Eingescannt aus «Algebra für Berufsmaturitätsschulen» von Hans Marthaler und Benno Jakob. 30

31 + 3

32 32

33 33

34 34

35 35

36 36

37 37

38 2.5 Übungen (siehe Übungen 2.8) Lösen Sie die nachfolgenden Gleichungssysteme mit der Determinantenmethode. Für alle Beispiele gilt G = R x R.. 2x y 5 x 2y 4 2 D R xr Kontrolle mit und 2 : 2 D Dx Dy w w x D 6 3 D 3 D 3 D x y 2 y somit: L 2; 2. 2x y 3 4x 2y 8 2 D R xr 2 D Dx x D 0 und D 0 L siehe Fall auf Seite 35 38

39 3. 3x 2 4y 8y 24 6x 0 2 D R xr Kontrolle mit und 2 : 3 4 D Dx Dy aus : y x sei x 8 y w w 3 somit: L x; y x x 2.4y x.8y 3 2 D R xr Kontrolle mit und 2 : D Dx Dy w w x D D D D x y. 2 y 2. 2 somit: L. 2;

40 2.6 Cramersche Regel für Gleichungssysteme mit drei Unbekannten Eingescannt aus «Algebra für Berufsmaturitätsschulen» von Hans Marthaler und Benno Jakob

41 4

42 42

43 2.7 Übungen Lösen Sie die nachfolgenden Gleichungssysteme mit der Determinantenmethode. Für alle Beispiele gilt die Lösungsvariablen sind Element von R.. x y z 2 3x 4y 5z 0 2 5x 2y 6z 3 3 D R x R x R D D x 2 2 D x D y 2 2 D y D z 2 D z D D 7 D 92 D 3 D 5 D 5 D 5 x y z x y z somit: L ; ; Kontrolle mit TI!

44 2. 2x 4y 3z x y 2z 3 2 x y 2z 5 3 D R x R x R D 2 2 D x D x D y D y D z D 3 z 5 D D 2 3 D 20 5 D 6 D 8 2 D 8 2 D 8 x y z x y z somit: L ; ; 2 Kontrolle mit TI!

45 3. 3a 3c 2b 6 a b c 7 2 2c 3b 3 4a 3 Aufgabe 4c, Frommenwiler D R x R x R 3a 2b 3c 6 a a b c 7 2a geordnet 4a 3b 2c 3 3a D D a D a D b D Db c D 7 c D D 20 D 0 D 40 D 0 D 0 D 0 a b c a 2 b c 4 somit: L 2;; 4 Kontrolle mit TI! 45

46 4. x 2y 3z 4u 8 2x 3y 4z 5u 0 2 3x 4y 5z 6u 2 3 4x 5y 6z 7u 6 4 (mit TI berechnen!) D R x R x R x R Merke: Die Regel von Sarrus gilt nur für zwei- und dreireihige Matrizen! D 2' Dx 4' Dy 8' Dz 2' Du 2' D 4'080 8'448 D 2'86 D 2'86 D x y x 5 y 3 D 2'86 D 2'86 D 2'86 D 2'86 z u z u somit: L 5; 3;; Kontrolle mit TI! 46

47 2.8 Lösen von Gleichungssystemen mit dem TI nach der Determinantenmethode Beispiel (für kleinere Matrizen geeignet) G R xr 4x 3y 6 3x 2y 5 2 D R xr x berechnen: Det([6,3;5,2])/ Det([4,3;3,2]) Ergebnis: Dx / D = x = 3 y berechnen: Det([4,6;3,5])/ Det([4,3;3,2]) Ergebnis: Dy / D = y = 2 somit: L 3; 2 47

48 Beispiel 2 (für grössere Matrizen geeignet) G R x R x R 2x 4y 3z x y 2z 3 2 x y 2z 5 3 D R x R x R Schritte TI-89 Tastenfolgen Anzeige Daten/Matrix-Editor starten und eine neue Matrix namens d erstellen d 3 3 Koeffizienten zeilenweise in die Matrix eingeben. Danach Daten/Matrix-Editor mit Home beenden Matrix d öffnen und als neue Matrix namens dx abspeichern dx Matrix dx öffnen und. Spalte ändern Spalte ändern Vorgängige Schritte wiederholen, bis alle Matrizen (d, dx, dy und dz) abgespeichert sind 48

49 Lösungen berechnen, hier am Beispiel von x gezeigt. Det(dx) Det(d) Die Variablen nach der Berechnung wieder löschen, damit die Namen für neue Berechnungen wieder frei sind.! Ergebnis: Dx / D = x = 3/2 Dy / D = y = 5/2 Dz / D = z = 2 somit: 3 5 L x; y; z ; ; Übungen mit dem TI Lösen Sie einige Aufgaben mit dem TI nach der Determinantenmethode: Nummer Seite Bemerkungen 40 (Sie wählen selber) 3 mit TI lösen 4 (Sie wählen selber) 3 mit TI lösen 43 (Sie wählen selber) 3 mit TI lösen 49

50 2.20 Gaußsches Eliminationsverfahren (Gauss-Verfahren) Der Algorithmus von Gauss 2 ist das universelle Verfahren zur Lösung beliebiger linearer Gleichungssysteme. Mit ihm ist die Lösung von Systemen mit quadratischer Koeffizientenmatrix ebenso möglich wie die Bestimmung der Lösungsmenge von Systemen, bei denen die Anzahl der Gleichungen nicht mit der der Unbekannten übereinstimmt. Das Gauss-Verfahren ist vom Prinzip her nichts anderes als das Additionsverfahren, das bereits behandelt wurde. Der Algorithmus von Gauss besteht grundsätzlich aus zwei Phasen. Das Ziel der Eliminationsphase besteht darin, die Anzahl der Unbekannten in den Gleichungen schrittweise so weit zu reduzieren, bis eine Gleichung mit nur einer Variablen entsteht. Die Lösung des Gleichungssystems wird durch Rückwärtseinsetzen ermittelt. Dabei wird zuerst die letzte Gleichung mit einer Variablen gelöst. Durch Einsetzen der schon berechneten Werte in die jeweils vorhergehende Gleichung können nacheinander auch die weiteren Variablen ermittelt werden. Um Schreibarbeit einzusparen, wird das Rechenschema in Form einer Tabelle ausgeführt, in die die Koeffizientenmatrix sowie die rechte Seite eingetragen werden. Als Gedankenstütze empfiehlt es sich, über jeder Spalte die dazugehörige Variable zu notieren. Rechenprinzip x y z 0 8x 0y 2z 6 2x y 3z 5 Rechenschema: Drei Gleichungen mit drei Variablen Die Umformung soll ergeben: Es wird zeilenweise gearbeitet. Zeilen darf man: - vertauschen - mit einer Zahl multiplizieren - durch eine Zahl dividieren - addieren - subtrahieren x y z x y z 0 * * * * * * * * * * bedeutet irgend eine Zahl Hinweise zur Vorgehensweise (Empfehlung):. Brüche vermeiden durch zeilenweise Multiplikation mit dem Hauptnenner. 2. Die erste Zahl in der ersten Zeile soll positiv sein, evtl. Zeilen vertauschen oder ( ) 3. Zuerst werden die Koeffizienten von x eliminiert, danach die Koeffizienten von y, usw. 4. Wer sicher arbeitet, kann mehrere Umformungen gleichzeitig machen, dadurch ist weniger zu schreiben, die Fehlerquote steigt aber! Es kann auch anders umgeformt werden. Das «wie» ist ganz Ihrem Geschick überlassen. Durch intensives Üben finden Sie den optimalen Weg. 2 Johann Carl Friedrich Gauss, deutscher Mathematiker, Astronom und Physiker mit einem breit gefächerten Feld an Interessen. 50

51 Beispiel x y z 0 8x 0y 2z 6 2x y 3z 5 D Rx Rx R Gauss-Verfahren (Eliminationsphase) x y z E E E E /8 E 0 /3 / /3 6/3 x wird eliminiert, Faktor x wird eliminiert, Faktor y wird eliminiert, Faktor 8 8 Lösungen bestimmen (Rückwärtseinsetzen) z z y 4 5 y x 0 x 4 3 Kontrolle: w w w somit: L 3; ; 4 5

52 Beispiel 2 x y z 0 x z 0 2x y D Rx Rx R Gauss-Verfahren (Eliminationsphase) x y z E E E x wird eliminiert, Faktor 2 x wird eliminiert, Faktor 2 E E y wird eliminiert, Faktor Lösungen bestimmen (Rückwärtseinsetzen) 0z unmöglich! somit: L 52

53 Beispiel 3 x y z 3 x 2y 3z 6 2x 3y 4z 9 D Rx Rx R Gauss-Verfahren (Eliminationsphase) x y z E E E E E x wird eliminiert, Faktor 2 x wird eliminiert, Faktor 2 y wird eliminiert, Faktor Lösungen bestimmen (Rückwärtseinsetzen) 0 z 0 z R allgemeingültig y 2z 3 y 3 2z x y z 3 32z x 3 z 3 x z somit: L z; 3 2z; z 53

54 Beispiel 4 x y x z 6 y z 7 D Rx Rx R Gauss-Verfahren (Eliminationsphase) x y z E E E E E x wird eliminiert, Faktor 0 x wird eliminiert, Faktor 0 y wird eliminiert, Faktor Lösungen bestimmen (Rückwärtseinsetzen) 0 z 0 z R allgemeingültig y z 7 y 7 z x y 7z x 7 z x 6 z somit: L 6 z; 7 z; z 54

55 Beispiel 5 (Eintrittstest Fachhochschule) Betrachten Sie das folgende Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den drei Unbekannten x, y und z. Für welchen Wert von a hat das Gleichungssystem Lösungen? x 2y x z a 4x 4y 2z 6 D Rx Rx R Gauss-Verfahren (Eliminationsphase) x y z E a E E x wird eliminiert, Faktor 4 x wird eliminiert, Faktor 4 E 0 2 a E a a + 4 y wird eliminiert, Faktor Lösung bestimmen (Rückwärtseinsetzen) 0 z 2a 4 allgemeingültig falls 2a 4 0 2a 4 a 2 somit: Für a 2 hat das Gleichungssystem Lösungen (unendlich viele). 55

56 Beispiel 6 x 2y 3z 4u 8 2x 3y 4z 5u 0 3x 4y 5z 6u 2 4x 5y 6z 7u 6 D Rx Rx Rx R Gauss-Verfahren (Eliminationsphase) x y z u E E E E E E E E /6 E /3 728/ /3 88/3 2 x wird eliminiert, Faktor 2 3 x wird eliminiert, Faktor 3 4 x wird eliminiert, Faktor 4 0 y wird eliminiert, Faktor 0 y wird eliminiert, Faktor z wird eliminiert, Faktor 96 6 Lösungen bestimmen (Rückwärtseinsetzen) u u z z somit: L 5; 3; ; y y 3 x x 5 56 von 56