Lineare Gleichungen mit 2 Variablen

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1 Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Lineare Gleichungen mit 2 Variablen sind sehr eng verwandt mit linearen Funktionen. Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion f(x) = m x+q m: Steigung, q: y Achsenabschnitt lässt sich mit y = f(x) auch mit 2 Variablen schreiben: y = m x+q Da die Graphen aller linearen Funktionen Geraden sind, ist klar, dass die Lösungsmenge aller Zahlenpaare (x y) eine Gerade ergeben, wenn wir sie als Punkte in ein zweidimensionales Koordinatensystem einzeichnen. Umgekehrt kann eine Gerade durch eine Gleichung der Form y = m x+q beschrieben werden. Alle Punkte, die auf der Geraden liegen, haben Koordinaten, welche die zugehörige Gleichung erfüllen. Die Gleichung in dieser Form heisst Normalform. g: y = m x+q m, q: reelle Zahlen Beispiel: Die Lösungen der Gleichung y = 2x 3 ergeben in einem Koordinatensystem die Punkte des Graphen der linearen Funktion f(x) = 2x 3, liegen also auf der Geraden g mit Steigung 2 und y Achsenabschnitt 3. Mit der Normalform können nicht alle Geraden beschrieben werden. Eine Gerade, die parallel zur y Achse liegt, kann nicht Graph einer Funktion sein. Deshalb benötigen wir eine weitere Darstellung für Geraden: die Koordinatengleichung. g: A x+b y = C A, B, C: reelle Zahlen, A und B nicht beide gleich 0. Beispiele: Die Gerade g aus dem letzen Beispiel hat die Koordinatengleichung g: 2x y = 3. Die Parameter heissen also A = 2, B = 1 und C = 3. Eine Gerade h, die parallel zur y Achse durch den Punkt (1 0) verläuft, hat die Gleichung h: x = 1. Seite 1

2 Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Wir betrachten nun zwei Gleichungen: I x + 2y = 10 II 5x 4y = 8 Zwei solche Gleichungen bilden zusammen ein lineares Gleichungssystem. Zu jeder Gleichung gehört eine entsprechende Gerade in einem zweidimensionalen Koordinatensystem. Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt P(4 3). Die Koordinaten von P, also x = 4 und y = 3, bilden die gemeinsame Lösung beider Gleichungen. Definition: Unter einer Lösung eines linearen Gleichungssystemes mit 2 Variablen versteht man ein Zahlenpaar, dass alle Gleichungen des Systemes erfüllt. Graphisches Lösen von Gleichungssystemen Eine zeichnerische Lösung erhalten wir, wenn wir die zu den Gleichungen gehörenden Geraden zeichen, indem wir entweder Steigung und y Achsenabschnitt bestimmen oder zwei Punkte finden, durch welche die Gerade geht. Der Schnittpunkt der Geraden liefert uns mit seinen Koordinaten die näherungsweise Lösung. Bitte beachten Sie, dass exakte Lösungen so in den wenigsten Fällen gefunden werden können. Mit dem Taschenrechner können wir ebenfalls ein Gleichungssystem graphisch lösen. Wir müssen dazu die Gleichungen nach y auflösen und sie als Funktionen ( y= Menu) eingeben. Dann lassen wir die Geraden zeichenen. Anschliessend wählen wir aus dem Menu F5 Math den Punkt 5:Intersection, wählen die beiden Geraden aus und geben einen Bereich an, in dem der Rechner die Lösung suchen soll ( lower bound und upper bound ). Der Rechner liefert die Lösung näherungsweise. Mit dem Taschenrechner können wir so auch kompliziertere Gleichungssysteme lösen (z.b. quadratische oder trigonometrische). Seite 2

3 Rechnerisches Lösen von Gleichungssystemen 1. Das Additionsverfahren Das Additionsverfahren bietet sich an, wenn in beiden Gleichungen eines gegebenen Gleichungssystemes die Koeffizienten einer Variablen Gegenzahlen voneinander sind, so dass diese Variable beim Addieren wegfällt. I 2x+5y = 16 Gegebenes Gleichungssystem II 3x 5y = 1 I 2x+5y = 16 von oben abgeschrieben III 5x = 15 Summe von I und II IV x = 3 Durch Umformen von III V y = 2 Durch Einsetzen von IV in I und Umformen Kurzschreibweise: I 2x+5y = 16 II 3x 5y = 1 III 5x = 15 (I+II) x = 3 y = 2 Im folgenden Beispiel muss eine der beiden Gleichungen erst mit einer geeigneten Zahl multipliziert werden, damit bei der darauf folgenden Addition eine Variable wegfällt. I 7x+10y = 3 Gegebenes Gleichungssystem II 2x+ 5y = 3 Kein Koeffizient ist Gegenzahl eines anderen. I 7x+10y = 3 III 4x 10y = 6 Durch Multiplizieren von II mit ( 2) I 7x+10y = 3 IV 3x = 3 Summe von I und III V x = 1 VI y = 1 Seite 3

4 Kurzschreibweise: I 7x+10y = 3 II 2x+ 5y = 3. ( 2) I 2 II 3x = 3 x = 1 y = 1 2. Das Einsetzungsverfahren Verwenden Sie diese Methode, wenn eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist. I x+y = 10 Gegebenes Gleichungssystem II y = 2x 2 II ist bereits nach y aufgelöst I x+y = 10 III x+(2x 2) = 10 Aus I durch Ersetzen von y mit 2x 2 IV x = 4 Durch Umformen von III V y = 6 Durch Einsetzen von IV in I und Umformen Kurzschreibweise: I x+y = 10 II y = 2x 2 IIÆI x+(2x 2) = 10 x = 4 y = 6 Seite 4

5 Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen In der Praxis treten oft Probleme auf, die auf Ungleichungen statt Gleichungen führen. Beispiel: Von zwei Kaffeesorten kostet Sorte A Fr 35. /kg, Sorte B 25 Fr. /kg. Wieviel Kaffee kann von jeder Sorte gekauft werden, wenn maximal Fr 100. ausgegeben werden können und von der billigeren Sorte mindestens doppelt so viel gekauft werden soll wie von der teuren? Das Problem kann mit zwei Ungleichungen beschrieben werden. Seien a und b die Mengen (in kg) der Sorten A und B: Ausgabe Fr 100. : I 35*a+25*b 100 Doppelte Menge von A II 2a b Diese Ungleichungen können wir so umformen, dass wir die zugehörigen Begrenzungsgeraden in eine b(a) Diagramm eintragen können: I b 7/5 a+4 fi b = 7/5 a+4 II b 2 a fi b = 2a Die Ungleichheitszeichen geben an, ob der Bereich unter- oder oberhalb der Geraden zur Lösungsmenge der einzelnen Ungleichung gehört. Es ergibt sich also jeweils immer eine ganze Halbebene. Die Schnittmenge all dieser Mengen stellt die Lösungsmenge des Systems dar. In der folgenden Grafik wird zudem benutzt, dass sowohl a als auch b grösser 0 sind. Aus dieser Lösungsmenge (mit unendlich vielen mathematischen Lösungen) lassen sich dann praxisnahe Lösungen herauslesen. nicht! Beachten Sie, dass mit oder die Begrenzungsgerade dazu gehört, mit < oder > aber Seite 5

6 Lineare Gleichungssysteme mit 3 Variablen Für ein lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen benötigten wir 2 Gleichungen um ein Zahlenpaar als Lösung zu bekommen. Für ein lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen brauchen wir entsprechend 3 Gleichungen um ein Zahlentripel als Lösung zu erhalten. Eine einfache zeichnerische Darstellung wir zuvor ist jetzt nicht mehr möglich. Um ein Gleichungssystem mit 3 Variablen zu lösen, eliminiert man zuerst eine der Variablen und danach eine zweite Variable. Wir können dabei das Additions- und/oder das Einsetzungsverfahren zu Hilfe nehmen. I x + y + z = 6 Gegebenes Gleichungssystem: II x + 2y 3z = 7 3 Gleichungen, 3 Unbekannte III x 4y + 2z = 3 I x + y + z = 6 Elimination von x IV 3y 2z = 1 I+II IV und V bilden ein Gleichungs- V 3y + 3z = 3 I+III system mit 2 Unbekannten (ohne x). I x + y + z = 6 Elimination von y IV 3y 2z = 1 VI z = 2 IV+V VI ist eine Gleichung mit 1 Unbekannten VI z = 2 VII y = 1 VIII x = 3 Ein weiteres Beispiel (in Kurzschreibweise): I 2x + y 3z = 5 II 3x 2y + z = 6 III 4x + 3y 2z = 16 IV 7x 5z = 16 2 I+II V 2x + 7z = 1 ( 3) I+III VI 39z = 39 2 IV+7 V VII z = 1 VIII x = 3 VII Æ IV IX y = 2 VIII Æ I Dieses Verfahren wird im sogenannten Gauss Algorithmus verallgemeinert. Wir erhalten eine Methode, mit deren Hilfe ein Programm ein Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten lösen kann. Das letzte Beispiel würde dann so gelöst: Seite 6

7 1. Schritt: In Gleichung I wird der Koeffizient von x durch Multiplikation der Gleichung (hier mit 1/2) auf 1 gesetzt. Anschliessend werden Vielfache von I von II und III subtrahiert, damit x aus II und III verschwindet. I 2x + y 3z = 5 x+1/2 y 3/2 z = 5/2 II 3x 2y + z = 6 fi 7/2 y+11/2 z = 3/2 III 4x + 3y 2z = 16 y + 4z = 6 2. Schritt: In Gleichung II wird der Koeffizient von y durch Multiplikation der Gleichung (hier mit 2/7) auf 1 gesetzt. Anschliessend werden Vielfache von II von I und III subtrahiert, damit y aus I und III verschwindet. I x+1/2 y 3/2 z = 5/2 x 5/7 z = 16/7 II 7/2 y+11/2 z = 3/2 fi y 11/7 z = 3/7 III y + 4z = 6 39/7 z = 39/7 3. Schritt: In Gleichung III wird der Koeffizient von z durch Multiplikation der Gleichung (hier mit 7/39) auf 1 gesetzt. Anschliessend werden Vielfache von III von I und II subtrahiert, damit z aus I und III verschwindet. I x 16/7 z = 19/7 x = 3 II y 11/7 z = 3/7 fi y = 2 III 39/7 z = 39/7 z = 1 In jeder der drei Gleichungen steht jetzt nur noch eine Variable und die Lösung lässt sich direkt ablesen. Schreiben wir nur die Koeffizienten, so können wir das ganze Gleichungssystem als Matrix schreiben. Ê Á Ë ˆ Ausgangsmatrix Aus der Additionsmethode entstehen folgende Regeln für die Umformung: Eine Matrixzeile kann mit einer Konstanten multipliziert werden. Eine Matrixzeile kann zu einer anderen addiert oder von einer anderen subtrahiert werden. Hier die Matrizen, die bei den drei Schritten des Gauss Algorithmus entstehen. Die Zahlen entsprechen exakt den Werten aus der letzten Rechnung. Ê Á Ë 1 1/ 2-3 / 2 5 / / 2 11/ 2-3 / ˆ Ê Á Ë / 7 16 / / 7 3 / / 7 39 / 7 ˆ Ê Á Ë Umformung 1. Spalte Umformung 2. Spalte Umformung 3. Spalte ˆ Der rref() Befehl des TI 89 formt die Ausgangsmatrix direkt die letzte Form um, sodass die Lösung abgelesen werden kann. Seite 7

8 Lösbarkeit von Gleichungssystemen Bei linearen Gleichungssystemen mit 2 Variablen können 3 Fälle eintreten: I y = 2x 1 I 2y = x 2 I 2y 2 = x II y = x+1 II x = 2y 2 II y = 0.5x+1 Die Geraden schnei- Die Geraden sind pa- Die Geraden fallen zuden sich: 1 Lösung. rallel: keine Lösung. sammen: unendlich viele Lösungen. Beim Auflösen der Gleichungssysteme geschieht folgendes: I 2x y = 1 I x 2y = 2 I x 2y = 2 II x y = 1. ( 1) II x 2y = 2. ( 1) II 0.5x y = 1. ( 2) III x = 2 III 0 = 4 (*) III 0 = 0 (**) IV y = 3 L = {(2,3)} L={} L = {(x,y) y = 0.5x+1} (*) Beide Variablen werden eliminiert. Die entstehende Gleichung III ist falsch. (**) Auch hier werden beide Variablen eliminiert. Die entstehende Gleichung III ist jedoch korrekt. Aber aufgepasst: Deswegen sind noch lange nicht alle beliebigen Zahlenpaare (x,y) Lösungen des Gleichungssystems! Aus der Grafik oben wird dies schnell klar: Die unendlich vielen Lösungen gehören zu den unendlich vielen Punkten auf der Geraden mit der Gleichung y = 0.5x+1. Ein lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen hat entweder - genau eine Lösung oder - keine Lösung oder - unendlich viele Lösungen. Für Gleichungssysteme mit 3 Variablen gilt genau dasselbe. Auch in diesem Fall gibt es genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Die Erkennungsmerkmale sind dieselben wie in (*) und (**) beschrieben. Seite 8