8. Klasse TOP 10 Grundwissen 8 Funktionen verstehen 1

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1 8. Klasse TOP 0 Grundwissen 8 Funktionen verstehen Wesentliches Kennzeichen einer Funktion ist: Zu jedem -Wert gehört genau ein -Wert. Meistens gibt es einen Funktionsterm (eine Formel), die angibt, wie man zu einem gegebenen -Wert den zugehörigen -Wert (Funktionswert) berechnet, z. B. mit der Funktionsgleichung = } {{ } Funktionsterm, Bezeichnung z. B. f() Durch Einsetzen einiger -Werte berechnet man eine Wertetabelle: Die Wertepaare (-Wert, zugehöriger -Wert), z. B. ( ; 5) 3 usw., stellt man in einem Koordinatensstem dar: Funktionsgraph: Er besteht aus allen Punkten 0 (; ), für die die Gleichung Hier (auf der -Achse) = gilt. ist überall = 0 Nullstelle Hier (auf der -Achse) Wichtig: ist überall = 0 -Wert gegeben (z. B. = ), -Wert gesucht (gestrichelte Linie im Bild oben): Einsetzen in die Funktionsgleichung, z. B. = : = = 3 4 -Wert gegeben (z. B. = 4), -Wert gesucht (Bild rechts): Einsetzen in die Funktionsgleichung und Auflösen nach, z. B. = 4 eingesetzt in die Funktionsgleichung = : 4 = =,5,5 Den Schnittpunkt mit der -Achse sieht man sofort (Verstehe: Die -Achse sind Punkte mit = 0, also Einsetzen von = 0 in = ): (0; ) Schnittpunkte mit der -Achse heißen Nullstellen (Verstehe: Die -Achse sind Punkte mit = 0, also Einsetzen von = 0 in die Funktionsgleichung): 0 = = Merke: Nullstellen berechnet man, indem man den Funktionsterm gleich 0 setzt und nach auflöst. Ob ein gegebener Punkt P (z. B. (,5; 4,5)) auf dem Graphen liegt, sieht man durch Einsetzen des -Werts in den Funktionsterm : (,5) = 4 4,5, P liegt also unterhalb der Geraden. Hat man zwei Funktionsgleichungen (z. B. = und = + ) und sucht man Schnittpunkte, also Punkte (; ), für die beide Gleichungen gelten, so muss man die Funktionsterme gleichsetzen: = + 5 = 3 = 3 =, 5 (Danach -Wert durch Einsetzen von in eine der Funktionsgleichungen),5 P 4 4,5,

2 8. Klasse TOP 0 Grundwissen 8 Lineare Funktionen Lineare Funktionen haben eine Gleichung von der Form = m + t Steigung m -Achsenabschnitt t also z. B. = + 3 Das ist der -Achsenabschnitt t 0 Die Zahl, die alleine ohne dasteht (die Konstante, hier ), ist der -Achsenabschnitt und zeigt, wo die Gerade die -Achse schneidet (Einsetzen von = 0, Grundwissen 8. Klasse: Funktionen verstehen) Die Zahl, die bei dabeisteht (der Koeffizient von, hier ), ist die Steigung. Die Steigung 3 bedeutet: Für je Schritt nach rechts muss man gleichzeitig nach oben gehen, oder 3 3 bequemer: 3 nach rechts, nach oben. Steigung nach rechts nach oben Damit die Zeichnung genauer wird, kann man das Steigungsdreieck mehrmals anhängen. Besonderheiten: Steigung ist ganze Zahl, z. B. = +,5 = +,5: nach rechts, nach oben Negative Steigung, z. B. = +,5: Abb. Fallende Gerade: nach rechts, nach unten Keine Konstante: = m, z. B. =,5 = 3 = 3 + 0: Abb. -Achsenabschnitt ist 0, die Gerade geht durch den Ursprung (Proportionalität) Kein -Term, z. B. = = 0 + : Abb. 3 Steigung 0, waagrechte Gerade in Höhe Steigung, z. B. = = : Abb. 4 Steigung, z. B. = = : Abb. 5 Wenn die Gleichung der Geraden nicht in der Form =... gegeben ist, so muss man sie zuerst nach auflösen (z. B. + = 0 ergibt die Gerade aus Abb. 5). Abb. = +,5,5 0 Abb. =,5,5 0 Abb. 3 = 0 Abb. 4 = 0 45 Abb. 5 = 45 0

3 8. Klasse TOP 0 Grundwissen 8 Lineare Gleichungsssteme 3 Lineare Gleichungsssteme mit zwei Variablen Beispiel: Einsetzverfahren Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf und setze in die andere Gleichung ein: I nach aufgelöst: = = 7 (I) = 8 (II) (I ) In II eingesetzt: 4 ( ) + 5 = 8 Jetzt hat man eine Gleichung, die nur noch enthält ( ist eliminiert worden); löse diese Gleichung: = 8 = Additionsverfahren Schreibe die Gleichungen ordentlich untereinander und multipliziere jede Gleichung so, dass die Koeffizienten einer Variablen Gegenzahlen werden; anschließend werden beide Seiten der Gleichungen addiert. Beispiel: I 3 = 7 5 II = 8 3 I 0 5 = 35 II + 5 = 4 I +II = = Berechne die andere Unbekannte durch Einsetzen in I : = ( ) = Die Lösungsmenge enthält genau ein Zahlenpaar als Lösung: L = {( ; )} Jetzt Gegenzahlen 5/+5! Diesen Zwischenschritt schreibt man in der Regel nicht hin, sondern addiert gleich beide Seiten der Gleichungen im Kopf ( = usw.). Die andere Unbekannte berechnet man durch Einsetzen in I oder II: in I: = 7 = L = {( ; )} Man hat jeweils Wahlmöglichkeiten, welche Variable man eliminiert; wähle geschickt! Eine weitere Möglichkeit besteht darin, jede Gleichung nach derselben Variablen aufzulösen und diese Terme gleichzusetzen; dies ist jedoch mit mehr Arbeitsaufwand verbunden! Spezialfälle In Ausnahmefällen kann sich ein Widerspruch von der Sorte 0 = ergeben (dann ist L = {}) oder eine allgemeingültige Gleichung der Sorte 0 = 0 (dann hat man eigentlich nur eine Gleichung mit unendlich vielen Lösungen). Lineare Gleichungsssteme mit mehreren Variablen In der Regel empfiehlt sich das Additionsverfahren, wobei man zunächst aus je zwei verschiedenen Gleichungen dieselbe Variable eliminiert. Beispiel: I 3a b + 5c = 3 II a + 3b + 4c = 3 5 III 5a + 6b c = 3 IV (aus I, II) 7b + 7c = 0 3 V (aus II, III) b + 9c = ( ) 3c = 3 c = in IV 7b + 7 = 0 b = in I 3a ( ) + 5 = 3 a =

4 8. Klasse TOP 0 Grundwissen 8 Einfache Bruch(un)gleichungen 04 Bruchgleichungen sind solche Gleichungen, in denen unten im Nenner vorkommt. Bruchgleichungen löst man, indem man mit dem Hauptnenner (HN) multipliziert. Beispiel: = 3 + HN Betrachte Nenner:, + Definitionsmenge: D = Q\{; } (Q ohne {; }; und sind verboten, da sonst der Nenner 0 wird). HN = ( )( + ) Bei der Multiplikation mit dem HN wird gleich beim Bruch auf der linken Seite und + auf der rechten Seite gekürzt; nicht vergessen, die mit HN zu multiplizieren! ( + ) ( )( + ) = 3( ) Diese Gleichung löst man wie gewohnt. Rechne nach: = 5 Blick zurück auf die Definitionsmenge: 5 ist nicht verboten, also L = { 5 } Beachte: Nenner faktorisieren: In komplizierteren Fällen im Nenner geimeinsame Faktoren ausklammern, Binomische Formeln anwenden ( Grundwissen 7. Klasse: Faktorisieren, Binomische Formeln), dann erst Definitionsbereich und Hauptnenner bestimmen. Kreuzweise Multiplizieren Steht links und rechts des Gleichheitszeichens jeweils nur ein Bruch (nur dann!), dann wird der linke Nenner auf die rechte Seite und der rechte Nenner auf die linke Seite hinübermultipliziert. Beispiel: 3 = + 3( + ) = ( ) Bruchungleichungen kann man z. B. so lösen, indem man sie nach 0 auflöst, die andere Seite auf einem Bruchstrich zusammenfasst und dann Vorzeichenbetrachtung macht. Beispiel: + ; + 0; + ( ) Fall : + : + 0 und > 0 (Nenner darf nicht 0 werden, daher kein = bei > 0). und < L = [ ; [ L = L L = [ ; [ 0; Fall : : 0 und < 0 und > L = {} 0 Das gleiche Verfahren der Vorzeichenbetrachtung kann auch bei Produktungleichungen verwendet werden, wenn die rechte Seite 0 ist.

5 8. Klasse TOP 0 Grundwissen 8 Betrag 5 Unter dem Betrag einer Zahl a versteht man a selbst, wenn a nicht negativ ist, z. B. 5 = 5, und die Gegenzahl von a, wenn a negativ ist, z. B. 5 = 5; formal kann man die Gegenzahl von a schreiben als a; Beispiel: Ist a = 8 (in dem Buchstaben a steckt also das mit drin!), so ist a = ( 8) = +8. Wenn man nicht weiß, ob das, was in Betragsstrichen steht, positiv oder negativ ist (weil Variablen vorkommen), benötigen wir eine Fallunterscheidung. Merke: Wenn Beträge vorkommen, dann:. Fall: Was im Betrag steht 0: Dann Betragsstriche weglassen (und durch runde Klammern ersetzen). Fall: Was im Betrag steht < 0: Dann Betragsstriche durch runde Klammern ersetzen und davor Vorzeichen ändern Beispiel: 3 3 = Schreibe zuerst Fallunterscheidung... { 3 ( ) falls ( ) falls < 0... dann äquivalent umformen: { 4 falls = + falls < Je nach Aufgabenstellung kann man auf diese Weise jetzt z. B Funktionsgraphen zeichnen, z. B. zum Funktionsterm f() = 3, 0... dann Betragsstriche auflösen oder Gleichungen lösen, z. B. 3 = 6 Fall : 0, d. h. : 3 ( ) = 6 4 = 6 = wegen Fall : < 0, d. h. < : 3 + ( ) = 6 + = 6 = 4 passt! Somit: L = { 4 } Etwas einfacher geht es bei Gleichungen vom Tp = 5, wenn auf der rechten Seite nur eine Zahl (keine Variable) steht; dann überlegt man: kann 5 sein, wenn = 5 oder = 5 gilt, also... L = {3; }. Ebenso sieht man sofort: Die Gleichung = 5 hat als Lösungsmenge die leere Menge: L = {}, da Beträge nie negativ sein können.

6 8. Klasse TOP 0 Grundwissen 08 Wichtiges aus der Geometrie 06 Die Familie der besonderen Vierecke Diagonalsmmetrisch Drachen a = b, c = d c b d a Punktsmmetrisch Parallelogramm a = c, b = d ggü. Seiten parallel Diagonalen halbieren sich c d b a Mittensmmetrisch Gleichschenkliges Trapez } {{ } } {{ } Raute Vier gleich lange Seiten Rechteck Vier rechte Winkel } {{ } Quadrat Alle vorigen Eigenschaften Allgemeines Trapez: Zwei parallele Seiten Tangenten an einen Kreis stehen senkrecht auf dem Radius Flächeninhalte r Tangente cm = (0 mm) = 00 mm Prisma h G c m a Sehnen Mittellinie m = a+c γ γ γ = γ A Sehne B Parallelogramm: Grundlinie Höhe: A = a h a Grundlinie Höhe Dreieck: : A = a h a Trapez: Mittellinie Höhe: A = m h = (a+c)h Volumen: V = Grundfläche Höhe = G h

7 8. Klasse TOP 0 Grundwissen 08 Bruchterme 07 Faktorisiere den Nenner ( grund7.pdf), d. h. schreibe ihn als Produkt. Beispiele: 6 4 = 5 a 6 4 (5 a) 6 4 = (+)( ) ab = ab a ab+b (a b) Tipp: Einen faktorisierten Nenner nicht ausmultiplizieren, wenn es nicht nötig ist! Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht 0 werden. In obigen Beispielen ist also zu fordern: 0, a 5 bzw., bzw. a b 0, also a b (Siehe auch Lösen von Bruchgleichungen grund84.pdf) Richtiges Kürzen Kürzen darf man nur, wenn in Zähler und Nenner ein Produkt steht. Man muss also zuerst faktorisieren. Beispiel: 6 6a = 6( a) = 6 a ( a) Bei Summen und Differenzen darf nicht gekürzt werden, z. B. 6+a +a können nicht vereinfacht werden. oder 6( a) a Ausnahme: Man führt das Ausklammern im Kopf durch und kürzt in jedes Glied der Summe. Beispiele: 6 6a = 3 3a 5 (mit gekürzt); = 5 (mit gekürzt) a a Addition, Subtraktion Auf gemeinsamen Nenner bringen (vorher faktorisieren), dann auf gemeinsamem Bruchstrich addieren/subtrahieren (Klammern setzen). In folgendem Beispiel ist der Hauptnenner ( )( + ); der erste Bruch wird erweitert mit ( + ), usw.: = 3 ( ) = ( +)+8( ) ( )(+) = 8 ( )(+) = + 4 = ( 3)(+) ( ) +4 ( )(+) = (+) ( )(+) 4 6 ( )(+) Multiplikation, Division: Wie gewohnt (wie bei normalen Brüchen grund6.pdf). Beispiel: (+)( ) : = (+)( ) = 3( ) (+)( ) 0 = 3 5(+) Doppelbrüche als Quotienten schreiben. Beispiel: m s m s = m s : m s = m s s m = ms sm = s = s Vorzeichen Meist lässt man den ersten Zwischenschritt weg und schreibt gleich direkt den Nenner des Nenners (hier s ) in den Zähler. Auf Minusklammern achten (besonders beim Subtrahieren, siehe oben)! Eventuell kann man in Zähler und Nenner ( ) ausklammern und kürzen. Beispiel: = (+) = + ( Minus durch minus ist plus ) 7 (+7) +7 Ein ausgeklammertes Minus des Zählers oder Nenners darf man auch vor den Bruch schreiben. Beispiel: = = ( Plus durch minus ist minus ) (+) + ( )-Trick: Will man (z. B. um kürzen zu können) eine Differenz umdrehen, so erreicht man dies durch Ausklammern von ( ). Beispiel: 7 = ( 7 + ) = ( 7), also 7 = ( 7) = = 4 ( 7) Denn z. B. bei ( )( + 7) sieht man Definitionsmenge usw. viel leichter als bei Eventuell empfiehlt es sich, in einer Nebenrechnung (NR) den Klammerausdruck gleich 0 zu setzen. Im ersten Beispiel: NR: 5 a = 0; 5 = a; = a 5.

8 8. Klasse TOP 0 Grundwissen 08 Auflösen von Formeln: Teil I 08 In Formeln stehen die Buchstaben (Variablen) als Platzhalter für Zahlen. Beim Umstellen von Formeln gelten die gleichen Regeln wie beim Lösen von Gleichungen. Das Umstellen der Formel läuft meist nach folgendem Schema: Wie oft kommt die gesuchte Größe in der Formel vor? einmal mehrmals Von welcher Art ist der Term, in dem die gesuchte Größe vorkommt? Teil II + : (auch Brüche) (grund89.pdf) Bringe mit der dazugehörigen Gegenrechnung + : entsprechende Teile auf die andere Seite Wiederhole dies so lange, bis die gesuchte Variable alleine dasteht Beispiele: Löse nach A 3 auf: A A + A 3 A 4 = A A + A + A 4 (bei A steht kein Vorzeichen, man kann sich auf der linken Gleichungsseite also +A denken und bringt dies somit als A auf die rechte Seite) A 3 = A A + A + A 4. Löse nach F auf: F R = F F. Hier gibt es zwei Möglichkeiten: (a) F R = F F + F F R + F = F F R (b) F R = F F F F R F = F ( ) F = F F R F R + F = F Es ergibt sich das gleiche Ergebnis. Meist erscheint (a) bequemer. 3. Löse nach I auf: U = R I U. Es handelt sich hier um eine Differenz ( ), 3 daher kommt die Gegenrechnung zur Beseitigung des zuerst und die Gegenrechnung zur Beseitigung des erst danach: 4 U = R I U + U U + U = R I : R U + U R = I 4. Löse nach ϑ auf: W = cm(ϑ ϑ ) : c : m W cm = ϑ ϑ + ϑ W cm ϑ = ϑ W cm 5. Löse nach r auf: 5 b rπ = α (rπ) 360 α b = 360 rπ : α 360, oder 360 α b 360 α = rπ : π b 360 π α = r Hilfreich ist notfalls, die gesuchte Größe (die Variable, nach der aufgelöst werden muss), farbig zu markieren. Falls mehrere Brüche in Verbindung mit +/ vorkommen, empfiehlt sich das im Teil II unter Bruchgleichung beschriebene Verfahren. 3 Wegen Punkt vor Strich gehört R I zusammen ; die Art des Terms und damit die Reihenfolge ergibt sich genauso wie beim Gliedern von Termen. 4 Streng mathematisch müsste R 0 vorausgesetzt werden. 5 Dieses Beispiel wurde hier streng nach obigem Schema gelöst; man könnte in diesem Beispiel jedoch etwas Arbeit sparen, wenn man im ersten Schritt nur r auf die andere Seite hinübermultipliziert.

9 8. Klasse TOP 0 Grundwissen 08 Auflösen von Formeln: Teil II 09 In Formeln stehen die Buchstaben (Variablen) als Platzhalter für Zahlen. Beim Umstellen von Formeln gelten die gleichen Regeln wie beim Lösen von Gleichungen. Das Umstellen der Formel läuft meist nach folgendem Schema: Wie oft kommt die gesuchte Größe in der Formel vor? einmal mehrmals Teil I Von welchem Tp ist die Gleichung? (grund88.pdf) lineare Gleichung Bruchgleichung quadratisch Beispiele:. Löse nach ϑ m auf: d. h. es kommen keine Brüche vor (außer solche mit Zahlen im Nenner), und die gesuchte Größe kommt nicht quadratisch ( hoch ) oder ähnlich vor Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner. Dann entsteht eine lineare (oder andere) Gleichung. Multipliziere Klammern aus, bringe alle Stücke mit der gesuchten Variablen auf eine und den Rest auf die andere Seite. Klammere die gesuchte Variable aus und bringe den Klammerausdruck durch Division auf die andere Seite Klammern ausmultiplizieren: c m (ϑ ϑ m ) = c m (ϑ m ϑ ) und andere 9./0. Klasse c m ϑ c m ϑ m = c m ϑ m c m ϑ + c m ϑ m + c m ϑ Alle Stücke mit ϑ m nach rechts, alle anderen nach links: c m ϑ + c m ϑ = c m ϑ m + c m ϑ m ϑ m ausklammern und die Klammer auf die andere Seite dividieren: c m ϑ + c m ϑ = (c m + c m )ϑ m : (c m + c m ) c m ϑ + c m ϑ c m + c m = ϑ m. Löse nach R auf: R = + RR R R R Mit dem Hauptnenner RR R beide Seiten der Gleichung multiplizieren: 3 R R = RR + RR RR R R RR = RR R (R R) = RR : (R R) R = RR R R Nähere Erläuterungen siehe auch TOP 0 8. Klasse: Bruchgleichungen; TOP 0 9. Klasse: Lösen von Gleichungen. Falls mehrere Brüche in Verbindung mit +/ vorkommen, empfiehlt sich das rechts unter Bruchgleichung beschriebene Verfahren. 3 TOP 0 8. Klasse: Bruchgleichungen.

10 8. Klasse TOP 0 Grundwissen 08 Gleichungen mit Parametern 0 In solchen Gleichungen steht meist für die Lösungsvariable; weitere vorkommende Buchstaben sind so genannte Parameter, die als Platzhalter für Zahlen stehen. Beim Lösen solcher Gleichungen gelten zunächst die üblichen Regeln. Besonders zu beachten ist jedoch: Bei linearen Gleichungen bringe man wie üblich alle Stücke mit auf die eine und den Rest auf die andere Seite; anschließend klammert man aus. Beispiel: 4 a = a 7 7 a = a 4 (7 a) = a 4 Da nicht durch 0 dividiert werden darf, ist vor dem Dividieren nun stets eine Fallunterscheidung erforderlich. Beispiel: () (7 a) = a 4 Fall : 7 a 0 Dann darf durch (7 a) dividiert werden und man erhält = a 4 7 a { } a 4 L = 7 a Beispiel einer Bruchgleichung mit Parameter k: k + + k =,5 Fall : 7 a = 0, d. h. a=7: In diesem Fall lautet die Gleichung (): 0 = = 3 L = {} Definitionsmenge : Q\{k; k } Nach Durchmultiplizieren dieser Gleichung mit dem Hauptnenner ( k)( + k) folgt: () ( + k) + ( k) =,5( k)( + k) + k + k = 3 +,5k 3k,k,5k =,5k k = k Fall : k 0 In diesem Fall darf Gleichung () durch a dividiert werden; es folgt = k k = k, also L = { k} (An dieser Stelle blickt man nochmals zurück auf die Definitionsmenge und stellt fest, dass k nicht verboten ist). Fall : k = 0 In diesem Fall lautet Gleichung (): 0 = 0 0 = 0 Da diese Gleichung stets wahr ist, dürfen in obiger Gleichung alle Werte für eingesetzt werden außer den verbotenen Werten k und k, d. h. L = D = Q\{k; k }. Da k = 0 ist, kann die Lösungsmenge in diesem Fall geschrieben werden als L = Q\{0}. In einer Nebenrechnung oder im Kopf jeweils Nenner gleich 0 setzen!