Betragsungleichungen

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1 GS h_betragsungl.mcd Betragsungleichungen Definition: Betrag einer Zahl: a = a if a> if a = a if a< Betrag eines Terms: a b = ( a b) if a> b if a = b ( b a) if a< b Anschaulich kann man unter a die Maßzahl des Abstandes der Zahl a vom Nullpunkt der Zahlengeraden verstehen. Anschaulich kann man unter a b den Abstand zwischen den Zahlen a und b verstehen. Kommen in einer Gleichung oder Ungleichung Betragsterme vor, so müssen diese mit Hilfe einer Fallunterscheidung erst aufgelöst werden, bevor die endgültige Gleichung oder Ungleichung gelöst werden kann. Es gilt: < a a < < a > a < a > a Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten. /

2 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Unleichung in der Grundmenge IR. Ungleichung: < ID = IR Lösungsweg:. Fall: Auflösen des Betrags. Lösen der linearen Ungleichung. auflösen, < auflösen, < IL = { < }. Fall: auflösen, ( ) < auflösen, < IL = { < } IL = IL IL = { < < } Darstellung der Ungleichung mit : l( ) := ( ) if > if = ( ) if < r( ) := Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse Projektion auf die -Achse Randpunkte nicht definiert Lösungsmenge -Achse /

3 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung in der Grundmenge IR. Ungleichung: > ID = IR Lösungsweg:. Fall: Auflösen des Betrags. Lösen der linearen Ungleichung. auflösen, > auflösen, < IL = { > }. Fall: auflösen, ( ) > auflösen, < IL = { < } IL = IL IL = { I < > } Darstellung der Ungleichung mit : l( ) := ( ) if > if = ( ) if < r( ) := Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse Projektion auf die -Achse Randpunkte nicht definiert Lösungsmenge Lösungsmenge -Achse /

4 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung in der Grundmenge IR. Ungleichung: ID = IR Lösungsweg:. Fall: Auflösen des Betrags. Lösen der linearen Ungleichung. auflösen, auflösen, IL = { }. Fall: auflösen, ( ) auflösen, 7 IL = { 7 } IL = IL IL = { 7 } Darstellung der Ungleichung mit : l( ) := ( ) if < r( ) := if = ( ) if > -Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse Projektion auf die -Achse Lösungsmenge Intervallgrenzen /

5 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung in der Grundmenge IR. Ungleichung: + > ID = IR Lösungsweg: Auflösen der beiden Beträge. Lösen der linearen Ungleichung mit Fallunterscheidung.. Fall: und auflösen, + ( ) > auflösen, < IL = { > }. Fall: und < auflösen, < ( ) > auflösen, < IL = { < }. Fall: > und < auflösen, < < < ( ) > > IL = { }. Fall: < und > auflösen, < Widerspruch IL = IL IL IL = { < > } Darstellung der Ungleichung mit : l( ) := ( ) if ( + ) if if < < r( ) := 5 /

6 -Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse Projektion auf die -Achse Lösungsmenge Lösungsmenge Intervallgrenzen nicht dabei /

7 Aufgabe 5: a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung in der Grundmenge IR. Ungleichung: + ID = IR \ { } Lösungsweg: Auflösen des Betrags. Lösen der Bruchungleichuneg mit Fallunterscheidung.. Fall: + auflösen, < < + auflösen, IL < = { I }. Fall: + auflösen, < < + auflösen, < IL = { } IL = IL IL = { } Darstellung der Ungleichung mit : l( ) := + if < + if < r( ) := 7 /

8 Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse Projektion auf die -Achse Lösungsmenge Lösungsmenge Intervallgrenzen Definitiionslücke -Achse /

9 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung in der Grundmenge IR. Ungleichung: 5 ( ) ( + ) 5 ID = IR Lösungsweg: Auflösen des Betrags mit Fallunterscheidung. Lösen der quadratischen Ungleichungen.. Fall: ( ) ( + ) auflösen, 5 auflösen, IL = { I } 5 = =.5. Fall: ( ) ( + ) auflösen, auflösen, =. 5 + =. IL = { } IL = IL IL = { I } 9 /

10 Darstellung der Ungleichung mit : l( ) := if + + if r( ) := Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse Projektion auf die -Achse Projektion auf die - achse Projektion auf die - Achse Lösungsmenge Lösungsmenge Lösungsmenge Intervallgrenzen -Achse /