Exponentialgleichungen

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1 GS f_epgl.mcd Eponentialgleichungen Definition: Eine Gleichung der Form b Definition: Die der Eponentialgleichung b Schreibweise: = log b ( a) Besondere Basen: = a mit a IR + und b IR + \ {} heißt Eponentialgleichung. = a heißt "Logarithmus von a zur Basis b". Basis b = 0 heißt "Dekadischer Logarithmus": 0 = a = log 0 ( a) = lg( a) Basis b = e heißt "Natürlicher Logarithmus": e = a = log e ( a) = ln( a) Basis b = heißt "Zweier - Logarithmus": = a = log ( a) = lb( a) Bestimmung der en: Zur Anwendung kommen die - Potenzgesetze: FS Seite 5 / C - Monotoniegesetze für Potenzen: FS Seite 6 / B - Rechengesetze für Logarithmen: FS Seite 6 / B - Basisumrechnung in die "Taschenrechnerbasen" 0 bzw. e: FS Seite 6 / C : () Bringe die Eponentialgleichung mit den Potenzrechenregeln auf die Form A = B und löse nach auf: = log A ( B) () Stelle beide Seiten der Eponentialgleichung als Potenz derselben Basis dar und löse dann durch Gleichsetzen der Eponenten beider Seiten. Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten. / 9

2 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die smenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von = sweg: Logarithmieren und Basis umrechnen. : = auflösen, ln( ) =.585 ln( ) IL = { ln( ) ln( ) } l( ) := r( ) := : d( ) := l( ) r( ) Bestimme diejenigen -Werte, für die gilt: d( ) = 0 auflösen, ln( ) ln( ) Graphische der 0 0 -Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse -Achse Graph von d() : d() = 0 / 9

3 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die smenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von 7 = sweg : Substitution des Eponenten t = 7, Logarithmieren und Basis umrechnen, Resubstitution und nach auflösen. : 7 = auflösen, ln( 8) =.6 ln( ) IL = { ln( 8) } ln( ) : l( ) := 7 r( ) := d( ) := l( ) r( ) 7 Bestimme diejenigen -Werte, für die gilt: d( ) = 0 d( ) = 0 auflösen, ln( 8) ln( ) Graphische der 0 0 -Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse -Achse Graph von d() : d() = 0 / 9

4 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die smenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von = sansatz: Substitution des Terms t =, quadratische Gleichung lösen, Resubstitution und nach auflösen : = auflösen, i π ln( ) ln( ) ln( ) =.860i 0.6 keine IL = { ln( ) ln( ) } l( ) := r( ) := : d( ) := l( ) r( ) Bestimme diejenigen -Werte, für die gilt: d( ) = 0 d( ) = 0 auflösen, i π ln( ) ln( ) ln( ) Graphische der 0 0 -Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse -Achse Graph von d() : d() = 0 / 9

5 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die smenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von : 6 = 6 = auflösen, ln( ) ln( ) sansatz: Substitution des Terms t =, gleichartige Terme zusammenfassen, quadratische Gleichung lösen, Resubstitution und nach auflösen = IL = { ln( ) ln( ) ; } l( ) := r( ) := 6 : d( ) := l( ) r( ) Bestimme diejenigen -Werte, für die gilt: d( ) = d( ) = 0 auflösen, ln( ) ln( ) Graphische der Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse 5 -Achse Graph von d() : d() = 0 5 / 9

6 Aufgabe 5: a) Bestimmen Sie die smenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von 5 = + sansatz: Aufspalten der Potenzen, -Potenz und Zahlenpotenz separieren, Logarithmieren und Basis umrechnen. : 5 = + auflösen, ln 0 ln 5 =.8 IL = { ln 0 ln 5 } Aufspalten: Separieren: Logarithmieren: 5 = + erweitert auf = 5 9+ auflösen, = 9+ 5 = 5 9+ ln 0 ln 5 =.8 ( ) = 5 9+ = 9 l( ) := 5 r( ) := 5 9+ : d( ) := l( ) r( ) 5 0 Bestimme diejenigen -Werte, für die gilt: d( ) = 0 d( ) = 0 auflösen, ln 0 ln 5 6 / 9

7 Graphische der Variante A Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse 50 -Achse Graph von d() : d() = 0 7 / 9

8 Variante B l( ) := 5 r( ) := + : d( ) := l( ) r( ) 5 + Bestimme diejenigen -Werte, für die gilt: d( ) = 0 d( ) = 0 auflösen, ln 0 ln 5 =.8 Graphische der Variante B Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse 50 -Achse Graph von d() : d() = 0 8 / 9

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